哈尔滨建筑大学：《计算结构力学基础》第四章 弹性力学平面问题

四、弹性力学平面问题 的有限元分析及程序

四、弹性力学平面问题 的有限元分析及程序 引言 常应变三角形单元 矩形双线性单元 平面问题程序 平面等参数单元 平面问题程序(二 Wilson非协调元

4.1引 言 杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自 然的,但对于平面问题,待分析物体是连续的,并 不存在实际结点。要将物体“拆”成单元,必须用 些假想的线或面作人为地分割。实际计算时,可 将连续体分成多种形状单元,为讨论简单,现暂时 规定只用一种单元来分割。 平面问题有限单元法可用的单元很多,作为初学, 先介绍两种最简单的单元:三角形和矩形。然后再 介绍高级些的单元“等参数单元”。 将物体进行分割时,必须保证相邻单元具有公共 边界。假定相邻单元仅在一些点(顶点或顶点加边 中点)相连接。这些点即为“结点

4.2常应变三角形单元 421面积坐标 角形单元中任一点P可用直 角坐标(x,y)表示。 如图所示连P1、P、P3,则个y 可得三个小三角形。它们和大三 角形△123的面积比,记作L;(= 2 △Pik△123),称为面积坐标 三个面积坐标显然L1+L2+L3=1,只有两个是独 立的。三角形中任一点P的位置可用面积坐标L1、L2 确定。 当P点在时L2=L3=0,L1=1。余类推。可见面积 坐标具有“形函数”的性质

4.2常应变三角形单元 42.2位移模式 由于面积坐标有形函数性质, 因此根据试凑法可得 形函数=N=L;=面积坐标 如果结点i位移为a1、吟,则 单元位移模式(位移场)为 2 =ΣN;EN 1)面积坐标和直角坐标关系 2×A123=1x2y2|=2AL3

 2 111 2 123 3 3 2 2 1 1    x y x y x y 3 3 1 2 2 111 21 x y x y x y L   1 1 2 3 3 111 21 x y x y x y L   2 2 3 1 1 111 21 x y x y x y L  

4.2常应变三角形单元 L =-(a;+b;x+c) 2A 1=;Vk=yXki,j,k=1,2,3 2 Vi-yk Ci=-xitrK 2)矩阵表达 时团【20 i=1,2,3 NN][-L呼-M

( ) 2 1 i i i i L  a  b x  c  i j k j k a  x y  y x i j k b  y  y i j k c   x  x i, j,k  1,2,3          T T 3 T 2 T d e  d1 d d     i i d i  u v T         N  N1 N2 N3        N d e d  u v  T          i i i L L N 0 0 i 1,2,3

4.2常应变三角形单元 423单元列式 1)微分算子矩阵 a 平面应力问题 ay 0 IS:=DvC ay ax b 2)应变、应力矩阵 2 2 E [小式中D0=21v 弹性矩阵:] 1 DIE]-[sldl I_→E1=y

                 y x x y A 0 0           A d  B d e T  弹性矩阵：D          D  S d e           B  B1 B2 B3          i i i i i c b c b B 0 0 2 1                 i i i i i i c b c b S D B D 0 0 2 1           i i i i i i ' i c b c c b b S D 2 1 2 1     2 (1- ) 2   E D'         1- 1 2 E; E

4.2常应变三角形单元 由此可见,单元应变、应力都是常量 当所分析的问题具有初应变时,单元的弹性应变 为|e|={-eol,应力为|al=Dl 3)单元应变能 4)单元外力势能 J[kdA代入位移后,经整理可 2 得 将上述应变、应力代入 P=1-tSLEJINKA =2时4

         dA 2 1 T U t        d e S B d e t U T T 2           (    dl) dA T T T       ij l e e f b F d t d P t F d              e l e f b F t N d P t F N ij ( dl)] [ dA T T T        

4.2常应变三角形单元 5)令总势能一阶变分等于零,推导单元刚度方程 4s-∫NA LB[ DIE HA(S [N Ohs 当有初应变时结果如何? 具体显式表达式见教材 同=NA P。47式(3,2-39) (+f, IN lols)

k t S B e T         e i j kij t S B T   i, j 1,2,3       (    ds) dA T T     ij l e b t N P t N F             (    ds) 0 dA T T T        ij l e b F N t S B d N F                (    ds) dA T T T      ij l e b t N t S B d F t N F                   dA(    ds) dA T 0 T T T        ij l e b t B D t N t S B d F t N F     

4.2常应变三角形单元 7)关于等效结点荷载 等效结点荷载可用公式积分计算,但由于形函数 的图形是一平面(边界处为一直线),因此可证明也 可按杠杆原理通过静力等效来求。 如P48图3-4所示 424解答的收敛性准则 1)位移模式(也称位移函数)必须包含刚体位移。 2)位移模式必须包含常应变位移 3)位移模式必须保证单元间位移协调 1)、2)对平面问题也即要求具有常数项和坐标一 次项,这称作“完备性准则”。 3)称作“协调性准则”。既完备又协调的单元 定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不收敛