哈尔滨建筑大学：《计算结构力学基础》第二章 变形体位移原理

第二章变形体虛位移原理 弹性力学基本概念一预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 1 第二章变形体虚位移原理 弹性力学基本概念—预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用

预备知识(回顾) 小变形平面问题的几何 方程 线弹性平面问题的平衡 au v u+ 方程 +d 00 r)ay 卩+dr (Txy +d,txy )dx a B B T d L Fhr dxdy u+-dx dx 线应变:anax d +Fh=0 ay 0y↓ 角应变 au av fb=0 A ay ax 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 2

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 2 预 备 知 识（回顾）  线弹性平面问题的平衡 方程  小变形平面问题的几何 方程 0 0 b b + =   +   + =   +   y yx y x x xy F x y F x y     dx dy y  x d y yx  d F x y bx d d x y x x ( x d )d   +   x xy  d ( xy + d y  xy )dx o y v x u y x   =   =   线应变： A B C ' A ' B ' C u v x x u u d   + x x v v d   + y y v v d   y + y u u d   + dx dy 角应变： x v y u xy   +    =

预备知识(回顾)平面应力 Z=0 y √线弹性平面问题物理方程 平面应力 E Ex+ uey) E (8,+ue) 平面应变 E G 02(1+) 平面应变: E Eμ→ yu =0 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 3

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3  线弹性平面问题物理方程 平面应力： xy xy xy y y x x x y E G E E               2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 + = = + − = + − = 平面应变：    −  1 x y z 平面应力：  z =  xz =  yz = 0 平面应变： x y z  z =  xz =  yz = 0 2 μ E E −  1 预 备 知 识（回顾）

预备知识(回顾)]平面向题物理量的矩阵 表示 √平面问题应力边界条件 d]应力矩阵 l]=应变矩阵 n dr FSrds I]=体积力矩阵 F]=表面力矩阵 dx x d=位移矩阵 在应力边界上 已知位移矩阵 N=O /+2T m+o, m zN=(12-m2)+(ax-o,m D]=弹性矩阵 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4 dx dy y  x d y xy  d  xydx x y  d n s F s Sx d F s Sy d x y  平面问题应力边界条件 F l m F l m y xy y x x xy     = + = + S S 在应力边界上： l m lm l lm m N x y x y N x x y y ( ) ( ) 2 2 2 2 2         = − + − = + +  平面问题物理量的矩阵 表示             = 4 2 3 1 2 0 0 0 0 D D D D D D     T x y xy  =        T x y xy  =        T Fb = Fbx Fby     T FS = FSx FSy     T d = u v     T d = u v 应力矩阵 应变矩阵 体积力矩阵 表面力矩阵 位移矩阵 已知位移矩阵 弹性矩阵 预 备 知 识（回顾）

「预备知识(回顺)引入两个算子矩阵 平面问题物理量的矩阵 表示 D]取决于材料性质 各相同性、线性弹性时 ay ax 平面应力 E D中D1=D31-H 微分算子矩阵 D=Eu E 0 m l 4-2(1+ 平面应变 E、E 方向余弦矩阵 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 5  平面问题物理量的矩阵 表示 取决于材料性质 各相同性、线性弹性时 D  引入两个算子矩阵                       = y x x y A 0 0 微分算子矩阵         = m l l m L 0 0 方向余弦矩阵 1 3 2 1−  = = E D中： D D 2 2 1   − = E D 2(1 ) 4 +  = E D 平面应力 平面应变：    − = 1 2 −  = 1 E E 预 备 知 识（回顾）

基本方程矩阵表示」杆系问题的基本方 程(作业) √平衡方程 √平衡方程如何建立? [4JG+{Fb}= √几何方程 的平衡条件建立 以上内容必须 [4P{}-{a} 如何建立? √物理方程 通过自己动手变形条件建立 Dl}-(}=达到熟练掌握间关系如何? ea& 边界条件 M= EI [L]G}-{F}=@}S Q=kGay 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 6

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 6 基本方程矩阵表示  平衡方程 A+Fb = 0  几何方程       0 T A d −  = D−= 0  物理方程  边界条件 d−d= 0 Su L−FS = 0 S 杆系问题的基本方 程（作业）  平衡方程如何建立？ ✓ 几何方程如何建立？  内力和变形间关系如何？ 由微段的平衡条件建立 由微段的变形条件建立   Q kGA x v M EI N EA = = = 2 2 d d 以上内容必须 通过自己动手 达到熟练掌握

变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 一些名词含义的解释 四、勢能驻值原理和最小势能原理 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 7 变形体虚位移原理和势能原理 一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理

变形体虛位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析 0o, dy aT o+ Ox (trv +-. idx y 0+ x dxd lx dj B dx dx (ox+Or+ dy)dy=axqy+高阶小量 0, 同理T rtdx (ox + dx+ox+dx+dy) a、、O0xdx)dy+高阶小量 其余类推 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 8

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 8 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析 dx dy o A B C D  x y y x x d   +   x x x x d   +   y y x x x x x d d   +   +    10 dx dy y  x d F x y bx d d x y x x ( x d )d   +   o A  xydx y x xy xy d )d y (   +   = +高阶小量   = + + y y y y T x x x ( x x d )d d 2 1     高阶小量 同 理 +   = +   +   + +   + = + x y x y y y x x x x T x x x x x x x x x ( d )d ( d d d )d 2 1 d        其余类推

变形体虚位移原理和势能原理 提示:连续函变形体虚位移时外力功计算 能写出音点 数台劳级数展内部微元体的位移分析的位移吗? 开 1(u+dru, v+-dr v 4 dy o 22(+d-n+d,l,+d+d 3(u+-dru+d, u, v+=drv+d,v (Ou=u, ov=v)a dx=odx 4(u+d, u, v+=, v) 移 d2+d1,+=dx2+=dy 2021/2/21 算子符号 哈尔滨工业大学土木学院王焕定

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 9 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的位移分析 dx dy o 1 2 3 4 d ) 2 1 d , 2 1 (u u v v x x 1 + + 2 d ) 2 1 d , d 2 1 (u d u u v v v x y x y + + + + 3 d d ) 2 1 d d , 2 1 (u u u v v v x y x y + + + + 4 d ) 2 1 d , 2 1 (u u v v + y + y d ) 2 1 d 2 1 d , 2 1 d 2 1 (u u u v v v x y x y o + + + + (δu = u,δv = v) A 虚 位 移 y y x x y x d d d d   =   = 算子符号 能写出各点 的位移吗？ 提示：连续函 数台劳级数展 开

变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 请体家良标高出内部微元体力酌总卓功 Ox ou dx au dx au dx·(+ +(7w,+ oy )dx (n+ =+o dy) x 2 ax 2 Oy ou dx au dy Fbx dxdy(u+ y方向的力所做的 功等于多少? σx,orx Fbx)+(x“+xy“)dxdy+ aX 高阶小量(rx av +Gy)+( ax ay )ν]dxdy 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 10 8

2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 10 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 +高阶小量 +   +   +  +   +   = x y  y u x u F u x y x x xy x xy [( ) ( )]d d b     +   +   +  +   +    +   + +   −  +   +    +   + +   = −  + ) 2 d 2 d d d ( d ) 2 d ) ( d )d ( 2 d d ( d ) 2 d ) ( d )d ( 2 d dδ d ( b y y x u x u F x y u y y x u x u y x u y x x u x u x x y u y u x y u x y y u W y u x xy xy xy x x x     外   8 y方向的力所做的 功等于多少？ F v x y y x y v x v y xy y [( xy y ) ( + b ) ]d d   +   +   +       请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功