第二章变形体虛位移原理 弹性力学基本概念一预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 1 第二章变形体虚位移原理 弹性力学基本概念—预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用
预备知识(回顾) 小变形平面问题的几何 方程 线弹性平面问题的平衡 au v u+ 方程 +d 00 r)ay 卩+dr (Txy +d,txy )dx a B B T d L Fhr dxdy u+-dx dx 线应变:anax d +Fh=0 ay 0y↓ 角应变 au av fb=0 A ay ax 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 2
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 2 预 备 知 识（回顾） 线弹性平面问题的平衡 方程 小变形平面问题的几何 方程 0 0 b b + = + + = + y yx y x x xy F x y F x y dx dy y x d y yx d F x y bx d d x y x x ( x d )d + x xy d ( xy + d y xy )dx o y v x u y x = = 线应变： A B C ' A ' B ' C u v x x u u d + x x v v d + y y v v d y + y u u d + dx dy 角应变： x v y u xy + =
预备知识(回顾)平面应力 Z=0 y √线弹性平面问题物理方程 平面应力 E Ex+ uey) E (8,+ue) 平面应变 E G 02(1+) 平面应变: E Eμ→ yu =0 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 3
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 3 线弹性平面问题物理方程 平面应力： xy xy xy y y x x x y E G E E 2(1 ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 + = = + − = + − = 平面应变： − 1 x y z 平面应力： z = xz = yz = 0 平面应变： x y z z = xz = yz = 0 2 μ E E − 1 预 备 知 识（回顾）
预备知识(回顾)]平面向题物理量的矩阵 表示 √平面问题应力边界条件 d]应力矩阵 l]=应变矩阵 n dr FSrds I]=体积力矩阵 F]=表面力矩阵 dx x d=位移矩阵 在应力边界上 已知位移矩阵 N=O /+2T m+o, m zN=(12-m2)+(ax-o,m D]=弹性矩阵 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 4 dx dy y x d y xy d xydx x y d n s F s Sx d F s Sy d x y 平面问题应力边界条件 F l m F l m y xy y x x xy = + = + S S 在应力边界上： l m lm l lm m N x y x y N x x y y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 = − + − = + + 平面问题物理量的矩阵 表示 = 4 2 3 1 2 0 0 0 0 D D D D D D T x y xy = T x y xy = T Fb = Fbx Fby T FS = FSx FSy T d = u v T d = u v 应力矩阵 应变矩阵 体积力矩阵 表面力矩阵 位移矩阵 已知位移矩阵 弹性矩阵 预 备 知 识（回顾）
「预备知识(回顺)引入两个算子矩阵 平面问题物理量的矩阵 表示 D]取决于材料性质 各相同性、线性弹性时 ay ax 平面应力 E D中D1=D31-H 微分算子矩阵 D=Eu E 0 m l 4-2(1+ 平面应变 E、E 方向余弦矩阵 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 5 平面问题物理量的矩阵 表示 取决于材料性质 各相同性、线性弹性时 D 引入两个算子矩阵 = y x x y A 0 0 微分算子矩阵 = m l l m L 0 0 方向余弦矩阵 1 3 2 1− = = E D中： D D 2 2 1 − = E D 2(1 ) 4 + = E D 平面应力 平面应变： − = 1 2 − = 1 E E 预 备 知 识（回顾）
基本方程矩阵表示」杆系问题的基本方 程(作业) √平衡方程 √平衡方程如何建立? [4JG+{Fb}= √几何方程 的平衡条件建立 以上内容必须 [4P{}-{a} 如何建立? √物理方程 通过自己动手变形条件建立 Dl}-(}=达到熟练掌握间关系如何? ea& 边界条件 M= EI [L]G}-{F}=@}S Q=kGay 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 6
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 6 基本方程矩阵表示 平衡方程 A+Fb = 0 几何方程 0 T A d − = D−= 0 物理方程 边界条件 d−d= 0 Su L−FS = 0 S 杆系问题的基本方 程（作业） 平衡方程如何建立？ ✓ 几何方程如何建立？ 内力和变形间关系如何？ 由微段的平衡条件建立 由微段的变形条件建立 Q kGA x v M EI N EA = = = 2 2 d d 以上内容必须 通过自己动手 达到熟练掌握
变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 一些名词含义的解释 四、勢能驻值原理和最小势能原理 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 7 变形体虚位移原理和势能原理 一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理
变形体虛位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析 0o, dy aT o+ Ox (trv +-. idx y 0+ x dxd lx dj B dx dx (ox+Or+ dy)dy=axqy+高阶小量 0, 同理T rtdx (ox + dx+ox+dx+dy) a、、O0xdx)dy+高阶小量 其余类推 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 8
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 8 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析 dx dy o A B C D x y y x x d + x x x x d + y y x x x x x d d + + 10 dx dy y x d F x y bx d d x y x x ( x d )d + o A xydx y x xy xy d )d y ( + = +高阶小量 = + + y y y y T x x x ( x x d )d d 2 1 高阶小量 同 理 + = + + + + + = + x y x y y y x x x x T x x x x x x x x x ( d )d ( d d d )d 2 1 d 其余类推
变形体虚位移原理和势能原理 提示:连续函变形体虚位移时外力功计算 能写出音点 数台劳级数展内部微元体的位移分析的位移吗? 开 1(u+dru, v+-dr v 4 dy o 22(+d-n+d,l,+d+d 3(u+-dru+d, u, v+=drv+d,v (Ou=u, ov=v)a dx=odx 4(u+d, u, v+=, v) 移 d2+d1,+=dx2+=dy 2021/2/21 算子符号 哈尔滨工业大学土木学院王焕定
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 9 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的位移分析 dx dy o 1 2 3 4 d ) 2 1 d , 2 1 (u u v v x x 1 + + 2 d ) 2 1 d , d 2 1 (u d u u v v v x y x y + + + + 3 d d ) 2 1 d d , 2 1 (u u u v v v x y x y + + + + 4 d ) 2 1 d , 2 1 (u u v v + y + y d ) 2 1 d 2 1 d , 2 1 d 2 1 (u u u v v v x y x y o + + + + (δu = u,δv = v) A 虚 位 移 y y x x y x d d d d = = 算子符号 能写出各点 的位移吗？ 提示：连续函 数台劳级数展 开
变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 请体家良标高出内部微元体力酌总卓功 Ox ou dx au dx au dx·(+ +(7w,+ oy )dx (n+ =+o dy) x 2 ax 2 Oy ou dx au dy Fbx dxdy(u+ y方向的力所做的 功等于多少? σx,orx Fbx)+(x“+xy“)dxdy+ aX 高阶小量(rx av +Gy)+( ax ay )ν]dxdy 2021/2/21 哈尔滨工业大学土木学院王焕定 10 8
2021/2/21 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 10 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 +高阶小量 + + + + + = x y y u x u F u x y x x xy x xy [( ) ( )]d d b + + + + + + + + − + + + + + = − + ) 2 d 2 d d d ( d ) 2 d ) ( d )d ( 2 d d ( d ) 2 d ) ( d )d ( 2 d dδ d ( b y y x u x u F x y u y y x u x u y x u y x x u x u x x y u y u x y u x y y u W y u x xy xy xy x x x 外 8 y方向的力所做的 功等于多少？ F v x y y x y v x v y xy y [( xy y ) ( + b ) ]d d + + + 请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功
