哈尔滨建筑大学：《计算结构力学基础》第五章 弹性薄板

五、弹性薄板和平板单 元分析初步及程序

五、弹性薄板和平板壳单 元分析初步及程序

五、弹性簿板和板房单元 分析初步及程序 弹怍葚板基本知识 弹性薄板矩形(R12)单元 薄板分析程序的用 短形平板壳体单元 平板壳体程序的使用 计算结构力学基础的结束语

五、弹性薄板和平板壳单元 分析初步及程序 弹性薄板基本知识 弹性薄板矩形（R12）单元 薄板分析程序的使用 矩形平板壳体单元 平板壳体程序的使用 计算结构力学基础的结束语

5弹性薄板基本知识 5弹簿板基本桃念 所谓薄板是指板厦/板最 小尺寸在妍下范围的平板 11h1 <一< 10080b85 了中面 平分厚度的平面称中面。板面位移如图所示。 当小于板厚时,有克希霍天 G kirch0的假定成 立 )板中面是中性面,没有变形 b中面法线变形后仍为挠曲面法线,长度不变 c)忽略应力o和应变Bz

5.1 弹性薄板基本知识 5.1.1 弹性薄板基本概念 x y z u v w 中面 所谓薄板是指板厚h比板最 小尺寸b在如下范围的平板 5 1 8 1 80 1 100 1 ~ b h ~   板面位移如图所示。 当w小于板厚h时，有克希霍夫(G.kirchhoff)假定成 立： a) 板中面是中性面，没有变形。 b) 中面法线变形后仍为挠曲面法线，长度不变。 c) 忽略应力z和应变 z 。 平分厚度的平面称中面

5弹性薄板基本知识 出克希霍夫假定忽略应变2可推得与无关 助可知%2和y等于零,再加上中面无变形,最终 可得 u=-z,v=-;w=w(x,y) ax O 由此结果可向曲率/向曲率,/扭率 02w 02w 98 2iyx=-2z axy 他们完全确定板的变形,因此称他们组成的矩阵为形 变矩阵,记作M,也即 kl= aw aw aw ax- ay ,2y2 axy

5.1 弹性薄板基本知识 由克希霍夫假定c) 忽略应变 z可推得w与z无关， 由b)可知 zx和 yz等于零，再加上中面无变形，最终 可得 ;w w(x, y) y w ;v z x w u z =   = −   = − 由此结果可得 xy w ; z y w ; z x w z x y x y   = −   = −   = − 2 2 2 2 2    2 x向曲率 y向曲率 扭率 他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩阵为形 变矩阵，记作[]，也即   T 2 2 2 2 2 2         −   −   = − xy w ; y w ; x w  位移只与挠度w有关

5弹性簿板基本知识 出此可得薄板应变矩阵为团= 51,2簿板内力和总势能 1)设平面应力弹性矩阵为D,则薄板应力矩阵为 IGEGDP IXI 2)薄内力 /2 微元体如图所示。 弯矩 h/2 -1/2 y zayd 出图可得 dydz h/2 zdxdz 0, dydz M.= o.zdzd h/2 h/2 h/2 /2 h/2y dxdz 1/2 J 扭矩 /2 h/2 zdzdyM h/2“习 h/2 J

5.1 弹性薄板基本知识 由此可得薄板应变矩阵为[]=z[]。 5.1.2 薄板内力和总势能 1) 设平面应力弹性矩阵为[D]’，则薄板应力矩阵为 []=-z[D]’ []。 x y z dydz  x dydz xy   /2 - /2 zdydz h h xy   /2 - /2 zdydz h h  x  /2 - /2 zdxdz h h yx   /2 - /2 zdxdz h h  y  = /2 - /2 zdzdy h h x ' Mx   = /2 - /2 zdzdx h h y ' My   = /2 - /2 zdzdy h h xy ' Mxy   = /2 - /2 zdzdx h h yx ' Myx  扭矩 弯矩 2) 薄板内力 微元体如图所示。 由图可得

5弹性簿板基本知识 出此可得薄板单位长度内力为M、MMy=M2 (dx=dy=),依此顺序制列的列阵称内力矩阵,记作 将应力应变关系代入并对进行积分,可得 MEDII 式 D|(h3/12)[DP 称作簿板的弹性矩阵。 3)薄板的应变能 2 olley=,Llle]iDilekz SE]IDkhA=jJImlaJa

5.1 弹性薄板基本知识 由此可得薄板单位长度内力为Mx、My、Mxy= Myx (dx=dy=1)，依此顺序排列的列阵称内力矩阵，记作 [M]。 将应力应变关系代入并对z进行积分，可得 [M]=[D][] 式中 [D]=（h 3 /12）[D]’ 称作薄板的弹性矩阵。 3) 薄板的应变能                        = = = = − A A h / h / ' V D M U D χ dA 2 1 χ χ dA 2 1 dzdA 2 1 dv 2 1 T T 2 2 T T    

5弹性薄板基本知识 4)薄板的总势能 设糖板受方向分布荷载0)作用,则线弹单性糖板的 势能为 IELEIIDIJA-a(x,y)w(,y)dA SLMI&HA-La(x, y)w(x,y)dA 上式就是下面作有限元分析的理论依据。 能写出各向同性弹体的[哗吗 能写出交各向异性弹性体的[阅哗吗

5.1 弹性薄板基本知识 4) 薄板的总势能 设薄板受z方向分布荷载q(x)作用，则线弹性薄板的 总势能为              = = A A A A M q w D q w dA - (x,y) (x,y)dA 2 1 dA - (x,y) (x,y)dA 2 1 T T χ  χ χ 上式就是下面作有限元分析的理论依据。 能写出各向同性弹性体的[D]矩阵吗? 能写出正交各向异性弹性体的[D]矩阵吗?

52弹性簿板矩形(R12)单元 52薄板单元位彩模式 21I M xl 设局部编号1.2.3、4,x 万向长度分别为Pn、2b的矩 形板单元如图所示 3 图中还给出了各结点位移和结 y 点力的示意图。 1)结点位移利结点力矩阵 ;6, ax l=[,a。n同=MM -矿欧矿 F

5.2 弹性薄板矩形（R12）单元 5.2.1 薄板单元位移模式 设局部编号1、2、3、4，x 、 y方向长度分别为2a、2b的矩 形板单元如图所示。 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 1) 结点位移和结点力矩阵     T d i = wi  xi  yi     T F i = Qi Mxi Myi            T T 4 T 3 T 2 T d e = d 1 d d d            T T 4 T 3 T 2 T F e = F 1 F F F 图中还给出了各结点位移和结 点力的示意图。 x w ; y w x y   = −    = 

52弹性薄板矩形(R2)单元 2)形函数的确定 enl Mel 薄板的形函数可以用广义坐 标法,也可以用试凑法得到 出于单元自出度为2,因此可 W3l0x3 有12个广义坐标,位移模式可 设为如下不完全四次多项式 w=a+a,x+a3y+ax+asxy+ay TIty +a8xy+9+a,。1,3 +alex y+alexy 利用2个结点位移条件,由广义坐标法可建立形函 数,显然十分麻烦。龙驭球是出利用对称性较直接广 义坐标法要容易一些,也还有很大工作量。 为此介绍试凑法首先引入自然坐标=xm,=的

5.2 弹性薄板矩形（R12）单元 2) 形函数的确定 薄板的形函数可以用广义坐 标法，也可以用试凑法得到。 由于单元自由度为12，因此可 有12个广义坐标，位移模式可 设为如下不完全四次多项式 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函 数，显然十分麻烦。龙驭球提出利用对称性较直接广 义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。 为此介绍试凑法,首先引入自然坐标=x/a，=y/b。 3 1 2 3 1 1 3 1 0 2 9 2 8 3 7 2 5 6 2 1 2 3 4 a x y a xy a y a x y a xy w a a x a y a x a xy a y a x + + + + + = + + + + + + ？

52弹性薄板矩形(R2)单元 21)试凑形函数 enl Mel 出形函数性质,对M有 M(1)1()=0,3y N对x,y的偏数在结外均 W3l0x3 为零 考虑到挠度是排完全四此式,为2 使自动满足它点为零M(=0,可设 N1=(1-(1-m)a+b+cm+l2+en2 利用所有点N的导数为零条件,P25经式(c(D 的推导,再由本点处位移的条件,可得d=-1/8,由此 N1=(1-5)(1-m)(2-5-m-2-m2)/8

5.2 弹性薄板矩形（R12）单元 2-1) 试凑形函数N1 由形函数性质，对N1有: N1 (1)=1；N1 (j)=0，j=2,3,4 N1对x，y的偏导数在结点处均 为零。 x y z w3 y3 x3 Q1 My1 Mx1 1 2 4 3 利用所有点N1的导数为零条件，P.125 经式(c)~(l) 的推导，可得 (1 )(1 )( ) 2 2 N1 = − − a + b + c + d + e 考虑到挠度是非完全四此式，为 使自动满足它点为零N1 (j)=0 ，可设 (1 )(1 )(2- ) 2 2 N1 = −d − −  − − − 再由本点处位移的条件，可得d=-1/8，由此 (1 )(1 )(2- )/8 2 2 N1 = − −  − − −