第二章 误差的基本理论 本章围绕误差的分类、特点和处理方法来展开。主要阐述了系统误差、随机误差的不同 特征及其处理方法：介绍了几种粗大误差的判断准则：在引入不确定度的概念的基础上，介 绍了测量不确定度评定的GUM方法。 2.1测量误差的基本概念) 在实际测量中，由于测量设备不准确、测量手段不完善、测量程序不规范、环境影响、 测量操作不熟练、工作疏忽及科学水平的限制等因素，都会导致测量结果与被测量真值不同， 也即误差总是存在的，这已被国际科学界公认，这就是误差公理。按照JJF1001-2011版《通 用计量术语及定义技术规范》中的定义，测量误差定义被为测得的量值减去参考量值。参考 量值理论上要取真值，但根据误差公理，真值不可得，实际测量实践中，参考量值可以是约 定真值甚至平均值。 不同性质的测量，允许测量误差的大小是不同的，但随着科技的发展，对减小测量误差 的要求越来越高。在某些情况下，误差超过一定限度的测量结果不仅没有意义，而且还会给 工作造成影响甚至危害。例如，射程为几千公里的洲际导弹，若航向误差为0.03°，会使导 弹偏离目标数千米。 控制测量误差的大小是衡量测量技术水平的重要标志，也是衡量科技水平的重要标志。 要解决一项测量任务，必须分析被测对象和测量的特性，选择适当的仪器和设备，采用一定 的测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和恰当的评价。所有这些 都离不开误差理论的指导。研究误差理论的目的，就是要研究误差产生的原因，认识误差的 规律、性质，改进测量条件和方法，尽量减少误差，以求获得尽可能接近真值的测量结果， 确保科学研究与生产实践的质量。 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。测量中存在误差是绝对的，而测 量误差的大小则是相对的。由于测量误差存在的必然性和普遍性，因此，人们只能根据需要 和可能，将它控制到尽量低的程度，而不能完全消除它。 2.1.1测量误差的几个名词术语 19
19 第二章 误差的基本理论 本章围绕误差的分类、特点和处理方法来展开。主要阐述了系统误差、随机误差的不同 特征及其处理方法；介绍了几种粗大误差的判断准则；在引入不确定度的概念的基础上，介 绍了测量不确定度评定的 GUM 方法。 2.1 测量误差的基本概念[3] 在实际测量中，由于测量设备不准确、测量手段不完善、测量程序不规范、环境影响、 测量操作不熟练、工作疏忽及科学水平的限制等因素，都会导致测量结果与被测量真值不同， 也即误差总是存在的，这已被国际科学界公认，这就是误差公理。按照 JJF1001-2011 版《通 用计量术语及定义技术规范》中的定义，测量误差定义被为测得的量值减去参考量值。参考 量值理论上要取真值，但根据误差公理，真值不可得，实际测量实践中，参考量值可以是约 定真值甚至平均值。 不同性质的测量，允许测量误差的大小是不同的，但随着科技的发展，对减小测量误差 的要求越来越高。在某些情况下，误差超过一定限度的测量结果不仅没有意义，而且还会给 工作造成影响甚至危害。例如，射程为几千公里的洲际导弹，若航向误差为 0.03°，会使导 弹偏离目标数千米。 控制测量误差的大小是衡量测量技术水平的重要标志，也是衡量科技水平的重要标志。 要解决一项测量任务，必须分析被测对象和测量的特性，选择适当的仪器和设备，采用一定 的测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和恰当的评价。所有这些 都离不开误差理论的指导。研究误差理论的目的，就是要研究误差产生的原因，认识误差的 规律、性质，改进测量条件和方法，尽量减少误差，以求获得尽可能接近真值的测量结果， 确保科学研究与生产实践的质量。 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。测量中存在误差是绝对的，而测 量误差的大小则是相对的。由于测量误差存在的必然性和普遍性，因此，人们只能根据需要 和可能，将它控制到尽量低的程度，而不能完全消除它。 2.1.1 测量误差的几个名词术语
1.等精度重复测量 测量人员、测量仪器、测量方法以及影响测量结果的各种工作条件（如温度、电磁波、 电源电压、振动等等)的改变都可能给测量结果带来误差，当上述可能影响测量结果的各种 因素都保持相同的所进行的重复测量，称为等精度重复测量。等精度测量所得到的测量结果 比非等精度测量所得到的测量结果更具有更高的可信度，是实验科学应该采用的重复测量方 式。 2.真值 真值是被测量的真实值。但测量总有误差，真值也就不可测。实际的计算和测量工作会 用下列值来替代真值： (1)理论真值：有些被测量的真值可以从理论上证明且定量描述，如三角形的三个 内角之和为180度，匀速直线运动的加速度为0，真空中的气体密度为0等。 (2) 约定真值：按照现有的科学技术的认知水平约定的真值，约定真值应该是真值 的最佳估计。最佳的约定真值就是国际计量局和国际计量委员会定义的7个$ 基本单位，如下表所示： 表2-1 SI基本单位 物理量 长度 质量 时间 电流 温度 发光强度 物质的量 单位 米 千克 秒 安培 开尔文 坎德拉 摩尔 符号 M Kg S A K cd mol 世界各国和地区的计量标准部门会依据SI基本单位原器复制出准确度非 常高的测量仪器作为实际计量检定中使用的单位基准。 (3)相对真值：在等精度条件下有限次测量列的最佳估计值（常常取算术平均值） 或高一级精度等级的测量仪器所测得的值。 3.标称值 标称值是计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标注的数值，或标准电池标注的 数值。由于制造上的不完备、测量不准确度及环境条件的变化，标称值并不一定等于它的实 际值，因此，在给出量具标称值的同时，通常应给出它的误差范围和准确度等级。 4.示值 20
20 1．等精度重复测量 测量人员、测量仪器、测量方法以及影响测量结果的各种工作条件（如温度、电磁波、 电源电压、振动等等）的改变都可能给测量结果带来误差，当上述可能影响测量结果的各种 因素都保持相同的所进行的重复测量，称为等精度重复测量。等精度测量所得到的测量结果 比非等精度测量所得到的测量结果更具有更高的可信度，是实验科学应该采用的重复测量方 式。 2．真值 真值是被测量的真实值。但测量总有误差，真值也就不可测。实际的计算和测量工作会 用下列值来替代真值： （1） 理论真值：有些被测量的真值可以从理论上证明且定量描述，如三角形的三个 内角之和为 180 度，匀速直线运动的加速度为 0，真空中的气体密度为 0 等。 （2） 约定真值：按照现有的科学技术的认知水平约定的真值，约定真值应该是真值 的最佳估计。最佳的约定真值就是国际计量局和国际计量委员会定义的 7 个 SI 基本单位，如下表所示： 表 2-1 SI 基本单位 物理量 长度 质量 时间 电流 温度 发光强度 物质的量 单位 米 千克 秒 安培 开尔文 坎德拉 摩尔 符号 M Kg S A K cd mol 世界各国和地区的计量标准部门会依据 SI 基本单位原器复制出准确度非 常高的测量仪器作为实际计量检定中使用的单位基准。 （3） 相对真值：在等精度条件下有限次测量列的最佳估计值（常常取算术平均值） 或高一级精度等级的测量仪器所测得的值。 3．标称值 标称值是计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标注的数值，或标准电池标注的 数值。由于制造上的不完备、测量不准确度及环境条件的变化，标称值并不一定等于它的实 际值，因此，在给出量具标称值的同时，通常应给出它的误差范围和准确度等级。 4．示值
示值是由测量仪器给出或提供的被测量量值，也称测量值，它包括数值和单位。一般说 来，示值与测量仪器读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。例如以100分度表 示50mA的电流表，当指针指在刻度盘上的20处时，读数是20，而值是10mA。 5.准确度 准确度(Accuracy)是指测量结果与真值符合一致的程度，表征系统误差和随机误差的 综合大小。准确度涉及真值，由于真值的“不可知性”，因而它只是一个定性概念，而不能 用于定量表达。定量表达应该用“测量不确定度”，过去经常用的两个术语“测量精度”和 “测量正确度”在《国际通用计量学基本术语》中未被列出，故以后最好不用。 6.重复性 重复性是指在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果之间的一致性。实 验科学研究活动是客观的，所有的新发现都要求具有重复性，测量也不例外。所谓相同条件 就是重复条件，是指相同的测量程序、相同的测量条件、相同的测量人员、相同的测量仪器、 相同的地点。实际上严格意义上的重复条件很难实现，例如一个新的实验测量结果需要世界 各地的科学家在尽可能接近的条件下去重复再现才能证明其正确性，这里测量人员就会不 同，不同的地理位置，其海拔高度、气候条件也会有所不同，这些是很难重复的。即便如此， 在条件允许的情况下，应尽可能去重复相同的测量条件。 2.1.2测量误差的主要来源 测量误差的来源是多方面的，概括起来主要有以下几个方面： 1.仪器误差 设计、制造或质量和精度等级上的局限性带来的仪器自身本质性的问题。 标准器误差。虽然标准器是提供标准量值的测量器具，但它们本身的标称值也有误差， 例如，现作为基准器用的1Ω标准电阻器仍有±0.5×10-2范围的基本误差。 仪器误差。仪器本身及其附件所引入的误差称为仪器仪表误差。常用电测量指示仪表、 电子测量仪器的示值都有一定的误差。例如，仪器本身的电气或机械性能不完善、零点偏移， 刻度不准确、非线性，仪器内部的标准量例如标准电池、标准电阻器等性能不稳定等，以及 21
21 示值是由测量仪器给出或提供的被测量量值，也称测量值，它包括数值和单位。一般说 来，示值与测量仪器读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。例如以 100 分度表 示 50mA 的电流表，当指针指在刻度盘上的 20 处时，读数是 20，而值是 10mA。 5．准确度 准确度（Accuracy）是指测量结果与真值符合一致的程度，表征系统误差和随机误差的 综合大小。准确度涉及真值，由于真值的“不可知性”，因而它只是一个定性概念，而不能 用于定量表达。定量表达应该用“测量不确定度”，过去经常用的两个术语“测量精度”和 “测量正确度”在《国际通用计量学基本术语》中未被列出，故以后最好不用。 6．重复性 重复性是指在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果之间的一致性。实 验科学研究活动是客观的，所有的新发现都要求具有重复性，测量也不例外。所谓相同条件 就是重复条件，是指相同的测量程序、相同的测量条件、相同的测量人员、相同的测量仪器、 相同的地点。实际上严格意义上的重复条件很难实现，例如一个新的实验测量结果需要世界 各地的科学家在尽可能接近的条件下去重复再现才能证明其正确性，这里测量人员就会不 同，不同的地理位置，其海拔高度、气候条件也会有所不同，这些是很难重复的。即便如此， 在条件允许的情况下，应尽可能去重复相同的测量条件。 2.1.2 测量误差的主要来源 测量误差的来源是多方面的，概括起来主要有以下几个方面： 1．仪器误差 设计、制造或质量和精度等级上的局限性带来的仪器自身本质性的问题。 标准器误差。虽然标准器是提供标准量值的测量器具，但它们本身的标称值也有误差， 例如，现作为基准器用的 1Ω 标准电阻器仍有±0.5×10-6Ω 范围的基本误差。 仪器误差。仪器本身及其附件所引入的误差称为仪器仪表误差。常用电测量指示仪表、 电子测量仪器的示值都有一定的误差。例如，仪器本身的电气或机械性能不完善、零点偏移， 刻度不准确、非线性，仪器内部的标准量例如标准电池、标准电阻器等性能不稳定等，以及
示波器的探极线等，都会有误差，均属于仪器误差。 装备、附件误差。为测量创造必要条件成为使测量方便地进行而使用的装备、附件所引 起的误差。例如，电源波形失真，三相电源的不对称，连接导线、转换开关、活动触点的使 用等，都会引起误差。 安置误差。测试设备和电路的安装、布置或调整不完善，达不到理想条件而产生的误差。 2.方法误差和理论误差 由测量方法不完善，所依据的理论不严密等引起的误差，称为方法误差。理论误差是用 近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。例如，经验公式及公式中各系数确定的近 似性，需要瞬时取样测量而实际取样间隔不为0，测量结果中未计及的一些测量过程中实际 起作用的因素（如绝缘漏电）等所引起的误差。例如用普通万用表测量高内阻回路的电压， 由于万用表的输入电阻较低而引起的误差。要减小该项误差，必须选择合适的测量方法。 3.人为误差 由于观测者分辨能力差、视觉疲劳、缺乏责任心和固有习惯等因素所引起的误差，称为 人身误差。例如，生理上的最小分辨力，对准标志读数时习惯地偏向某一方向等所造成的误 差，读错刻度，计算错误等。 提高操作技巧和改进测量方法，加强责任心，有可能削弱甚至消除人身误差。 4.环境误差 环境误差是在测量时的环境因素与要求的标准条件不一致而引起的误差。如温度、湿度、 气压、电源电压、频率、震动等所引起的误差。 在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测量结果 的影响。 2.2表达误差的几种形式 测量误差大体可表示为三种形式。 2.2.1绝对误差 绝对误差是被测量的测量值x与真值X之差，可以表示为： 22
22 示波器的探极线等，都会有误差，均属于仪器误差。 装备、附件误差。为测量创造必要条件成为使测量方便地进行而使用的装备、附件所引 起的误差。例如，电源波形失真，三相电源的不对称，连接导线、转换开关、活动触点的使 用等，都会引起误差。 安置误差。测试设备和电路的安装、布置或调整不完善，达不到理想条件而产生的误差。 2．方法误差和理论误差 由测量方法不完善，所依据的理论不严密等引起的误差，称为方法误差。理论误差是用 近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。例如，经验公式及公式中各系数确定的近 似性，需要瞬时取样测量而实际取样间隔不为 0，测量结果中未计及的一些测量过程中实际 起作用的因素（如绝缘漏电）等所引起的误差。例如用普通万用表测量高内阻回路的电压， 由于万用表的输入电阻较低而引起的误差。要减小该项误差，必须选择合适的测量方法。 3．人为误差 由于观测者分辨能力差、视觉疲劳、缺乏责任心和固有习惯等因素所引起的误差，称为 人身误差。例如，生理上的最小分辨力，对准标志读数时习惯地偏向某一方向等所造成的误 差，读错刻度，计算错误等。 提高操作技巧和改进测量方法，加强责任心，有可能削弱甚至消除人身误差。 4．环境误差 环境误差是在测量时的环境因素与要求的标准条件不一致而引起的误差。如温度、湿度、 气压、电源电压、频率、震动等所引起的误差。 在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测量结果 的影响。 2.2 表达误差的几种形式 测量误差大体可表示为三种形式。 2.2.1 绝对误差 绝对误差是被测量的测量值 x 与真值 X 之差，可以表示为：
D=x-X (2-1) 式中：D一一绝对误差 X一一真值，常用多次测量的平均值代替： x一一测量集合中某测量值 2.2.2相对误差 绝对误差的表示方法一般不便于描述测量结果的准确程度，因此提出了相对误差的概念。 例如，测量两个电压的结果：一个是200V,绝对误差为2V:另一个是10V,绝对误差为 0.5V。仅从绝对误差来看，无法比较这两个测量结果的准确程度。前者绝对误差大，但只占 给出值的1%：后者绝对误差小，但占给出值的5%，因此提出了相对误差的概念。相对误差 的形式很多，常用的有以下几种： 1.真值相对误差 真值相对误差为绝对误差D与真值X的比值，也称为实际值相对误差，通常用百分数 来表示： D %= ×100% (2-2) X 2.示值相对误差 示值相对误差是绝对误差D与给出值A的比值，即 片=月*100%6 (2-3) 因为给出值也有误差，所以这种表示方法不很严格，而是在误差较小时的一种近似计算， 不适用于误差较大时的情况。 2.2.3最大允许误差和最大引用误差 所有测量仪表或装置都存在误差，如何来表征仪表的极限误差呢？测量仪表的最大允 许误差用绝对误差的形式来表示，而准确度等级则用最大引用误差的形式来表示仪表的最大 误差极限。最大允许误差或最大引用误差不能理解为某台仪器实际测量中的“误差”，也不 是用该仪器测量某个被测量时所得到的测量结果的不确定度，但与不确定度有关。 1.最大允许误差土A 23
23 D= x - X （2-1） 式中： D——绝对误差 X ——真值，常用多次测量的平均值代替； x ——测量集合中某测量值 2.2.2 相对误差 绝对误差的表示方法一般不便于描述测量结果的准确程度，因此提出了相对误差的概念。 例如，测量两个电压的结果：一个是 200V，绝对误差为 2V；另一个是 10V，绝对误差为 0.5V。仅从绝对误差来看，无法比较这两个测量结果的准确程度。前者绝对误差大，但只占 给出值的 1%；后者绝对误差小，但占给出值的 5%，因此提出了相对误差的概念。相对误差 的形式很多，常用的有以下几种： 1．真值相对误差 真值相对误差为绝对误差 D 与真值 X 的比值，也称为实际值相对误差，通常用百分数 来表示： 0 100% D X （2-2） 2．示值相对误差 示值相对误差是绝对误差 D 与给出值 A 的比值，即 A 100% D A （2-3） 因为给出值也有误差，所以这种表示方法不很严格，而是在误差较小时的一种近似计算， 不适用于误差较大时的情况。 2.2.3 最大允许误差和最大引用误差 所有测量仪表或装置都存在误差，如何来表征仪表的极限误差呢？测量仪表的最大允 许误差用绝对误差的形式来表示，而准确度等级则用最大引用误差的形式来表示仪表的最大 误差极限。最大允许误差或最大引用误差不能理解为某台仪器实际测量中的“误差”, 也不 是用该仪器测量某个被测量时所得到的测量结果的不确定度，但与不确定度有关。 1. 最大允许误差
测量仪器制造厂在制造某种仪器时，按有关技术规范预先设计规定了允许误差的极限 值，当最终检验时凡不超出此范围的仪器均为合格品可以出厂，并已绝对误差±△的形式写 进测量仪器的说明书中，在《国际通用计量学基本术语》中被命名为最大允许误差（极限）。 2.最大引用误差和准确度等级 引用误差是为了评价测量仪器准确度等级而引入的，因为绝对误差和相对误差均不能客 观正确地反映测量仪器的准确度高低。引用误差定义为绝对误差与测量仪器量程之比，用百 分数表示，即 D Yn= ×100% (2-4) 式中：yn一引用误差： Am一一测量仪器的量程 在仪器的量程范围内，各示值的绝对误差会有差别。确定仪器准确度时，取该仪器量程 内出现的最大绝对误差D与仪器量程Am的比值，称为最大引用误差ymax,即 In.max= Ds×100% (2-5) 国家标准GB776-76《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量按准确度a分为： 0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0等7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过： ±0.1%，±0.2%，±0.5%，±1.0%，±1.5%，±2.5%，±5.0% 【例2-1】某电压表a=1.5,试计算出它在0~100V量程中的最大绝对误差。 解：在0~100V量程内上限值Am=100V,由式(2-10)得到： Dam=%×Am=±1.5%×100=±1.5V 【例2-2】最大量程为30A,准确度为1.5级的安培表，在规定工作条件下测量某电 流为10A,求测量时可能出现的最大相对误差。 解： y=15%x30 ×100%=±4.5% 10 【例2-3】某1.0级电压表，量程为300V,当测量值分别为U1=300V,U2=200V,U=100V 时，试计算测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差。 24
24 测量仪器制造厂在制造某种仪器时, 按有关技术规范预先设计规定了允许误差的极限 值, 当最终检验时凡不超出此范围的仪器均为合格品可以出厂, 并已绝对误差的形式写 进测量仪器的说明书中，在《国际通用计量学基本术语》中被命名为最大允许误差（极限）。 2. 最大引用误差和准确度等级 引用误差是为了评价测量仪器准确度等级而引入的，因为绝对误差和相对误差均不能客 观正确地反映测量仪器的准确度高低。引用误差定义为绝对误差与测量仪器量程之比，用百 分数表示，即 n 100% m D A （2-4） 式中： n ——引用误差； A m ——测量仪器的量程 在仪器的量程范围内，各示值的绝对误差会有差别。确定仪器准确度时，取该仪器量程 内出现的最大绝对误差 DMax 与仪器量程 A m 的比值，称为最大引用误差 n,max ，即 ,max n Max 100% m D A （2-5） 国家标准 GB776-76《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量按准确度 α 分为： 0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0 等 7 级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过： ±0.1%，±0.2%，±0.5%，±1.0%，±1.5%，±2.5%，±5.0%. 【例 2-1】 某电压表 α=1.5，试计算出它在 0～100V 量程中的最大绝对误差。 解：在 0～100V 量程内上限值 A m =100V，由式（2-10）得到： DMax =α%× A m =±1.5%×100=±1.5V 【例 2-2】 最大量程为 30A，准确度为 1.5 级的安培表，在规定工作条件下测量某电 流为 10A，求测量时可能出现的最大相对误差。 解： 1.5% 30 100% 4.5% 10 【例 2-3】某 1.0 级电压表，量程为 300V，当测量值分别为 U1=300V，U2=200V，U3=100V 时，试计算测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差
解：根据式(2-10)可得绝对误差： D1=D2=D3=±300VX1.0%=±3V u=(D/U1)×100%=(±3/300)×100%=±1.0% Y,=(D2/U2)×100%=(±3/200)×100%=±1.5% u,=(D3/U3)x100%=(±3/100)×100%=±3.0% 由例2-3不难看出：测量仪器产生的示值测量误差不仅与所选仪器准确度等级有关，而 且与所选仪器的量程有关。同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。应当注意，测量 中所用仪器的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，两者才相等， 否则测得值的准确度数值将低于仪器的准确度等级。因此，在选择仪器量程时，测量值应可 能接近仪器满度值，一般不小于23这样，测量结果的相对误差将不会超过仪器准确度等级 指数百分数的1.5倍。 在实际测量时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程， 以尽可能减小相对误差。 【例2-4】测量一个约80V的电压，现有2块电压表：1块量程300V,0.5级：另外一 块量程100V,1.0级。试问选用哪块表为好？ 解：若选用300V,0.5级表，其示值相对误差为： 0.5%×300 Y= ×100%≈1.88% 80 若选用100V,1.0级表，其示值相对误差为： 1.0%×100. y= ×100%≈1.25% 80 可见由于仪器量程的原因，选用1.0级表测量的准确度可能比选用0.5级表为高，故选 用100V,1.0级为好。 2.3误差的性质及分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 2.3.1系统误差 25
25 解：根据式（2-10）可得绝对误差： D1=D2=D3=±300V×1.0%=±3V 1 1 1 U ( / ) 100% ( 3/ 300) 100% 1.0% D U 2 2 2 U ( / ) 100% ( 3/ 200) 100% 1.5% D U 3 3 3 U ( / ) 100% ( 3/100) 100% 3.0% D U 由例 2-3 不难看出：测量仪器产生的示值测量误差不仅与所选仪器准确度等级有关，而 且与所选仪器的量程有关。同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。应当注意，测量 中所用仪器的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，两者才相等， 否则测得值的准确度数值将低于仪器的准确度等级。因此，在选择仪器量程时，测量值应可 能接近仪器满度值，一般不小于 2/3.这样，测量结果的相对误差将不会超过仪器准确度等级 指数百分数的 1.5 倍。 在实际测量时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程， 以尽可能减小相对误差。 【例 2-4】测量一个约 80V 的电压，现有 2 块电压表：1 块量程 300V，0.5 级；另外一 块量程 100V，1.0 级。试问选用哪块表为好？ 解：若选用 300V，0.5 级表，其示值相对误差为： 0.5% 300 100% 1.88% 80 若选用 100V，1.0 级表，其示值相对误差为： 1.0% 100 100% 1.25% 80 可见由于仪器量程的原因，选用 1.0 级表测量的准确度可能比选用 0.5 级表为高，故选 用 100V，1.0 级为好。 2.3 误差的性质及分类 根据测量误差的性质，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。 2.3.1 系统误差
系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设 法消除或减小：也可以在相同条件下对己知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进 行修正。 按照对系统误差的掌握程度，系统误差可进一步划分为： 己定系统误差：误差绝对值和符号己经明确的系统误差。 未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 按误差出现规律，系统误差可分为： 不变系统误差：误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 变化系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按照变化规律的不同，变化系统误 差还可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 2.3.2随机误差 随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值 之差，又称为偶然误差。其主要特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和 符号以不可预定方式变化的误差。随机误差产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度 波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。随机误差的大小、方向 均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能 用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出 估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 2.3.3粗大误差 粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 这主要由于某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致： 1,测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、 记录或计算错误等) 2.测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。 26
26 系统误差是指在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设 法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法， 或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进 行修正。 按照对系统误差的掌握程度，系统误差可进一步划分为： 已定系统误差：误差绝对值和符号已经明确的系统误差。 未定系统误差：误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 按误差出现规律，系统误差可分为： 不变系统误差：误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 变化系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按照变化规律的不同，变化系统误 差还可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 2.3.2 随机误差 随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值 之差，又称为偶然误差。其主要特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和 符号以不可预定方式变化的误差。随机误差产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度 波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。随机误差的大小、方向 均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能 用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出 估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 2.3.3 粗大误差 粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 这主要由于某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致： 1．测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、 记录或计算错误等） 2．测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）
国内外学者在粗差的认识上还未有完全统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将 粗差看成与随机误差具有相同的方差，但期望值不同：另一类是将粗差看作与随机误差具有 相同的期望值，但其方差十分巨大：还有一类是认为随机误差与粗差具有相同的统计性质， 但有正态与病态的不同。以上的理论均是建立在把随机误差和粗差均为属于连续型随机变量 的范畴。也有一些学者认为粗差属于离散型随机变量。 当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与随机误差相比系统误差处于次 要地位后，占主导地位的随机误差就成了我们研究的主要对象。从单个随机误差来看，其出 现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的随机误差进行统计分析，就能发现其规律性， 误差个数愈多，规律性愈明显。 2.3.4三类误差的关系及其对测得值的影响 测量结果都包含估计值（一般是平均值或均方根值）和不确定度。 由于粗大误差很大，明显歪曲了测量结果，故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大 误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除，所以在粗差对测量结果没有影响。 随机误差在测量结果中一般是用统计学的标准差来代表标准不确定度。 按是否可修正，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差两种。已定系统误差可进 行修正，而未定系统误差不可修正，未定系统误差需用不确定度来定量描述。有关不确定度 的评定参见有关章节。 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分 的主观性和具体条件的不同，使得它们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也 就是说一个具体误差究竞属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验 后确定。如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电 表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不 准，用它来测量某电源的电压时必然会带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由 于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。 27
27 国内外学者在粗差的认识上还未有完全统一的看法，目前的观点主要有几类：一类是将 粗差看成与随机误差具有相同的方差，但期望值不同；另一类是将粗差看作与随机误差具有 相同的期望值，但其方差十分巨大；还有一类是认为随机误差与粗差具有相同的统计性质， 但有正态与病态的不同。以上的理论均是建立在把随机误差和粗差均为属于连续型随机变量 的范畴。也有一些学者认为粗差属于离散型随机变量。 当观测值中剔除了粗差，排除了系统误差的影响，或者与随机误差相比系统误差处于次 要地位后，占主导地位的随机误差就成了我们研究的主要对象。从单个随机误差来看，其出 现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的随机误差进行统计分析，就能发现其规律性， 误差个数愈多，规律性愈明显。 2.3.4 三类误差的关系及其对测得值的影响 测量结果都包含估计值（一般是平均值或均方根值）和不确定度。 由于粗大误差很大，明显歪曲了测量结果,故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大 误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除，所以在粗差对测量结果没有影响。 随机误差在测量结果中一般是用统计学的标准差来代表标准不确定度。 按是否可修正，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差两种。已定系统误差可进 行修正，而未定系统误差不可修正，未定系统误差需用不确定度来定量描述。有关不确定度 的评定参见有关章节。 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分 的主观性和具体条件的不同，使得它们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也 就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验 后确定。如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电 表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不 准，用它来测量某电源的电压时必然会带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由 于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性
2.4有效数字 通过测量取得的数据通常需要进行整理、分析、计算才能得到测量结果。为了合理表达 测量结果，必须正确地运用数字表达量值及合理处理运算中的数字。 1.有效数字 含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方 起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所 有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。 测量结果保留位数的原则1： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 测量结果保留位数的原则2： 在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。 2.数字的舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整： 1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。 2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。 3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶 数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。 【例2-5】将下列7个数据修约为4为有效数字：5.14269,6.378501,2.71729,7.691499， 4.510500,3.21650,8.3435 解：5.14269→5.143,6.378501→6.379,2.71729→2.717， 7.691499→7.691,4.510500→4.510,3.21550→3.216,8.3435→8.344 3.数字的运算规则 (1).在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字， 在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。 (2).在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数 28
28 2.4 有效数字 通过测量取得的数据通常需要进行整理、分析、计算才能得到测量结果。为了合理表达 测量结果，必须正确地运用数字表达量值及合理处理运算中的数字。 1．有效数字 含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方 起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所 有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。 测量结果保留位数的原则 1： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 测量结果保留位数的原则 2： 在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。 2．数字的舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整： 1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加 1。 2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。 3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶 数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加 1。 【例 2-5】将下列 7 个数据修约为 4 为有效数字：5.14269，6.378501，2.71729，7.691499， 4.510500，3.21650，8.3435 解：5.14269→5.143，6.378501→6.379，2.71729→2.717， 7.691499→7.691，4.510500→4.510，3.21550→3.216，8.3435→8.344 3．数字的运算规则 （1）. 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字， 在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为安全数字）。 （2）. 在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数