图例： 标黄为作业，红字为没有答案的 第一章测量及测量系统基础 1-1测量的定义是什么？测量结果表示包含哪些内容？ 解：测量：通过使用一个经过标准单位标定的仪器或设备，或者通过与一个已知规模大小 的物体相比较来确定大小、数量或程度。 测量结果表示为测量对象的真值替代值加上各类测量误差的算术和。 x=元士u单位 u ur= ×100% 式中为多次测量的平均值，u为合成不确定度，山为相对不确定度。 1-2用框图来表示现代数字化测量系统的基本构成？每个环节的作用分别是什么？ 解：现代数字化测量系统的基本构成： 传 数据 研究对 计 调理 感 采集 算 象 器 电路 器 机 1. 传感器：将物理量转化为电信号。 2. 调理电路：将传感器输出的电信号调理为适合数据采集器的电压输入。 3. 数据采集器一一将代表输入信号的电压离散采样后输入计算机。 4.计算机一一计算机将由采集器输入的信号通过软件进行分析处理之后，分析结果显示 在其屏幕上或存储在指定介质上。 1-3直接测量方法和间接测量方法有何不同？ 解：直接测量法：用预先按标准量标定好的仪器对被测量进行测量或用标准量直接与被测 量进行比较，从而从仪器的指示机构的读数直接获得被测量的值得一种测量方法：间接测 量：通过对与被测量有函数关系的其他量的测量而通过计算得到被测量值的测量方法。与 直接测量法相比，间接测量一般测量过程复杂费时，手续繁多，花费时间相对较长，引起 误差的因素也较多。 1-4 什么是测量系统的静态特性？表征测量系统静态特性的主要指标有哪些？它们是如何定 义的？ 解：测量系统的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量系统与理想线性时不变系统的 接近程度。 表征测量系统静态特性的主要指标有： 1.灵敏度：表征测量系统对输入信号变化的一种反应能力。当系统的输入x有一个微小 增量△x时，将引起系统的输出y也发生相应的微量变化△y,定义该系统的灵敏度为 S=Ay/△x。 2.线性度：指系统的输出/输入之间保持常值比例关系（线性关系）的一种度量。在测量 系统的标称输出范围（全量程）A内，标定曲线与该拟合直线的最大偏差Bmax与A的 比值，即线性度=Bmax/AX100%。 3. 回程误差：也称为滞差或滞后量，表征测量系统在全程范围内，输入递增变化（由小 变大)中的标定曲线和递减变化（由大变小）中的标定曲线二者静态特征不一致的程 度。在测量系统的全量程A范围内，不同输出量中差值最大者(hmax=y2-y)与全量 程A之比，即回程误差=hmax/AX100% 4. 零位：当输入为零时测量系统的输出值，理想的线性测量系统中，零位应该为零或是一 个不随输入而改变的定值，但由于调离电路总是存在输入失调，该值一般不会为零， 且零位会随输入中共模分量大小变化而变化
图例： 标黄为作业，红字为没有答案的 第一章 测量及测量系统基础 1-1 测量的定义是什么？测量结果表示包含哪些内容？ 解：测量：通过使用一个经过标准单位标定的仪器或设备，或者通过与一个已知规模大小 的物体相比较来确定大小、数量或程度。 测量结果表示为测量对象的真值替代值加上各类测量误差的算术和。 { 𝑥 = 𝑥̅± 𝑢单位 𝑢𝑟 = 𝑢 𝑥̅ × 100% 式中𝑥̅为多次测量的平均值，u 为合成不确定度，ur为相对不确定度。 1-2 用框图来表示现代数字化测量系统的基本构成？每个环节的作用分别是什么？ 解：现代数字化测量系统的基本构成： 1. 传感器：将物理量转化为电信号。 2. 调理电路：将传感器输出的电信号调理为适合数据采集器的电压输入。 3. 数据采集器——将代表输入信号的电压离散采样后输入计算机。 4. 计算机——计算机将由采集器输入的信号通过软件进行分析处理之后，分析结果显示 在其屏幕上或存储在指定介质上。 1-3 直接测量方法和间接测量方法有何不同？ 解：直接测量法：用预先按标准量标定好的仪器对被测量进行测量或用标准量直接与被测 量进行比较，从而从仪器的指示机构的读数直接获得被测量的值得一种测量方法；间接测 量：通过对与被测量有函数关系的其他量的测量而通过计算得到被测量值的测量方法。与 直接测量法相比，间接测量一般测量过程复杂费时，手续繁多，花费时间相对较长，引起 误差的因素也较多。 1-4 什么是测量系统的静态特性？表征测量系统静态特性的主要指标有哪些？它们是如何定 义的？ 解：测量系统的静态特性是在静态测量情况下描述实际测量系统与理想线性时不变系统的 接近程度。 表征测量系统静态特性的主要指标有： 1. 灵敏度：表征测量系统对输入信号变化的一种反应能力。当系统的输入 x 有一个微小 增量∆x 时，将引起系统的输出 y 也发生相应的微量变化∆y，定义该系统的灵敏度为 S=∆y/∆x。 2. 线性度：指系统的输出/输入之间保持常值比例关系（线性关系）的一种度量。在测量 系统的标称输出范围（全量程）A 内，标定曲线与该拟合直线的最大偏差 Bmax 与 A 的 比值，即线性度=Bmax/A×100%。 3. 回程误差：也称为滞差或滞后量，表征测量系统在全程范围内，输入递增变化（由小 变大）中的标定曲线和递减变化（由大变小）中的标定曲线二者静态特征不一致的程 度。在测量系统的全量程 A 范围内，不同输出量中差值最大者（hmax=y2i-y1i）与全量 程 A 之比，即回程误差=hmax/A×100% 4. 零位:当输入为零时测量系统的输出值，理想的线性测量系统中，零位应该为零或是一 个不随输入而改变的定值，但由于调离电路总是存在输入失调，该值一般不会为零， 且零位会随输入中共模分量大小变化而变化。 计 算 机 数据 采集 器 调理 电路 传 感 器 研究对 象
5.分辨率或分辨力：分辨力是指系统能分辨的最小输入变化量，数字化测量系统的分辨 力等于1个5B,一般等于分辨率是分辨力相对测量量程的百分数，即是 2n_1 1-5.影响测量系统零位的主要因素有哪些？ 答：(1).温度引起的半导体特性参数的漂移 (2).测量电路的输入失调的大小和共模输入的高低 1-6.测量系统的分辨力是什么？数显仪表与模拟刻度仪表的分辨力是如何确定的？ 答：分辨力是指系统能分辨的最小输入变化量，数显仪表的分辨力等于1个LSB,模拟刻度仪 表的分辨力一般可取最小刻度的二分之一。 1-7什么是测量系统的动态特性？表征测量系统动态特性的主要指标有哪些？它们是如何定 义的？ 解：测量系统的动态特性是指输入量随时间快速变化时，系统的输出随输入而变化的关系。 动态性能指标： 1.时域动态性能指标 (一)一阶系统 ①时间常数T:输出量上升到稳态值的63.2%所需要的时间。 ②响应时间：输出量达到稳态值的某一允许误差范围内，并保持在此范围 内所需的最小时间。 ③上升时间t:测量设备输出响应值从5%（或10%）到稳态值的95%（或 90%),或从0上升到稳态值所需的时间。 ④延迟时间：测量设备输出响应值从0上升到稳态值的50%所需的时间。 (二)二阶系统 ①峰值时间p:输出响应曲线达到第一个峰值所需时间。 ②超调量M,:输出响应曲线的最大偏差与稳态值的百分比。 图上升时间t:6,==里--arccos ωd wnV1-交 ④衰减比δ：表示过度过程曲线时间相差一个周期T的两个峰值之比，即6= an/an+2 4 当=0.02 ⑤调整时间ts: ts 当弘=0.05 2. 频域动态性能指标 ①频带宽wb:对数幅频特性曲线上幅值增益不超过±ndB(如±3dB,n=3)所对应 的频率范围。 ②工作频带(0~ωg):与给定的测量系统幅值误差范围（如±1%，±2%）相对应 的频率范围。 ③跟随角8b:当ω=wb时，对应相频特性上的相角。 1-8一阶系统的传递函数是什么？一阶系统的幅频特性和相频特性曲线的特征有哪些？ 解：一阶系统的传递函数为： Y(s)k H(S)= X(S)-s+1 阶系统频率特性的特点：
5. 分辨率或分辨力：分辨力是指系统能分辨的最小输入变化量，数字化测量系统的分辨 力等于 1 个 LSB，一般等于𝑉𝑟𝑒𝑓 2 𝑛−1，分辨率是分辨力相对测量量程的百分数，即 1 2 𝑛−1。 1-5. 影响测量系统零位的主要因素有哪些？ 答：⑴. 温度引起的半导体特性参数的漂移 ⑵. 测量电路的输入失调的大小和共模输入的高低 1-6. 测量系统的分辨力是什么？数显仪表与模拟刻度仪表的分辨力是如何确定的？ 答：分辨力是指系统能分辨的最小输入变化量，数显仪表的分辨力等于 1 个 LSB，模拟刻度仪 表的分辨力一般可取最小刻度的二分之一。 1-7 什么是测量系统的动态特性？表征测量系统动态特性的主要指标有哪些？它们是如何定 义的？ 解：测量系统的动态特性是指输入量随时间快速变化时，系统的输出随输入而变化的关系。 动态性能指标： 1. 时域动态性能指标 （一） 一阶系统 ① 时间常数 T：输出量上升到稳态值的 63.2%所需要的时间。 ② 响应时间 ts：输出量达到稳态值的某一允许误差范围内，并保持在此范围 内所需的最小时间。 ③ 上升时间 tr：测量设备输出响应值从 5%（或 10%）到稳态值的 95%（或 90%），或从 0 上升到稳态值所需的时间。 ④ 延迟时间 td：测量设备输出响应值从 0 上升到稳态值的 50%所需的时间。 （二） 二阶系统 ① 峰值时间 tp：输出响应曲线达到第一个峰值所需时间。 ② 超调量 Mp：输出响应曲线的最大偏差与稳态值的百分比。 ③ 上升时间 tr：𝑡𝑟 = 𝜋−𝛽 𝜔𝑑 = 𝜋−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝜁 𝜔𝑛√1−𝜁 2 ④ 衰减比δ：表示过度过程曲线时间相差一个周期 T 的两个峰值之比，即δ = 𝑎𝑛/𝑎𝑛+2 ⑤ 调整时间 ts：t𝑠 = { 4 𝜁𝜔𝑛 ,当∆= 0.02 3 𝜁𝜔𝑛 ,当∆= 0.05 2. 频域动态性能指标 ① 频带宽ω𝑏：对数幅频特性曲线上幅值增益不超过±ndB（如±3dB，n=3）所对应 的频率范围。 ② 工作频带（0~𝜔𝑔）：与给定的测量系统幅值误差范围（如±1%， ± 2%）相对应 的频率范围。 ③ 跟随角𝜃𝑏：当ω = 𝜔𝑏时，对应相频特性上的相角。 1-8 一阶系统的传递函数是什么？一阶系统的幅频特性和相频特性曲线的特征有哪些？ 解：一阶系统的传递函数为： H(s) = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) = 𝑘 𝜏𝑠 + 1 一阶系统频率特性的特点：
①一阶系统是一个低通环节。只有当ω远小于1/时，幅频响应才接近于1，因此一阶系 统只适用于被测量缓慢或低频的参数。 ②ω=幅频特性降为原来的0.707（即-3dB),相位角滞后45°，时间常数τ决定了测量 系统适应的工作频率范围。 ③时间常数x越小，频率响应特性较好。 ④当ωT《1时，k(w)≈1，p(ω)=-45°，表明系统输出与输入为线性关系，相位差与频 率ω呈线性关系，输出yt)比较真实地反映输入x①)的变化规律。 1-9一阶系统的时间常数是如何定义的？ 解：输出量上升到稳态值的63.2%所需要的时间。 1-10测量系统的动态误差是什么？ 解：当测量系统输入时随时间变化的动态信号x()时，其相应的输出y①或多或少总是与 x()不一致，两者之间的差异即为动态误差。 1-11影响二阶系统动态特性的参数有哪些？对系统有何意义？ 解：？、ω0对系统的意义体现在： ①二阶系统是一个振荡环节，当输入信号的频率ω等于测量装置的固有频率，即ω=ωm 处是装置的共振点。A(ω)=1/2ξ，所以阻尼比（很小时，将产生很高的共振峰。 ②二阶系统是一个低通环节，曲线呈水平状态，随O的增大，A(ω)先进入共振区，后进 入衰减区。 ③当ξ=0.7左右时，A(ω)几乎无共振，其水平段最长，其相频特性几乎是一斜直线。 1-12.为什么二阶系统的阻尼系数常常选择在0.7附近？ 答：有轻微振荡导致的小超调，但阶跃响应的上升时间短 1-13用一时间常数为2s的温度计测量炉温时，当炉温在200~400℃之间，按正弦规律变化时， 周期为150s,温度计输出的变化范围是多少？ 解：已知条件： x(t)=300+100sinat 2r2π 0=下-150 t=2s 温度计为一阶系统，其幅频特性为 1 1 A()= ==0.9930 V(wT)2+1 (2亚×2)2+1 V150 输入为200℃、400°℃时，其输出为： y=300-A(w)×100=200.7(C) y=300+A(ω)×100=399.3(C) 1-14用一个一阶系统对100Hz正弦信号输入信号进行测量，如要求限制振幅误差在5%以内， 那么时间常数应取为多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差 是多少？ 解：一阶系统的幅频特性 A(w)= V(wT)2+1 由题意可得：
① 一阶系统是一个低通环节。只有当ω远小于1/τ时，幅频响应才接近于 1，因此一阶系 统只适用于被测量缓慢或低频的参数。 ② ω = 1 𝜏幅频特性降为原来的 0.707（即-3dB），相位角滞后 45°，时间常数𝜏决定了测量 系统适应的工作频率范围。 ③ 时间常数𝜏越小，频率响应特性较好。 ④ 当ω𝜏 ≪ 1时，k(ω) ≈ 1, φ(ω) = −45°，表明系统输出与输入为线性关系，相位差与频 率ω呈线性关系，输出 y(t)比较真实地反映输入 x(t)的变化规律。 1-9 一阶系统的时间常数是如何定义的？ 解：输出量上升到稳态值的 63.2%所需要的时间。 1-10 测量系统的动态误差是什么？ 解：当测量系统输入时随时间变化的动态信号 x(t)时，其相应的输出 y(t)或多或少总是与 x(t)不一致，两者之间的差异即为动态误差。 1-11 影响二阶系统动态特性的参数有哪些？对系统有何意义？ 解：ζ、𝜔0 对系统的意义体现在： ① 二阶系统是一个振荡环节，当输入信号的频率ω等于测量装置的固有频率，即ω = ω𝑛 处是装置的共振点。A(ω) = 1/2ξ，所以阻尼比ζ很小时，将产生很高的共振峰。 ② 二阶系统是一个低通环节，曲线呈水平状态，随ω的增大，A(ω)先进入共振区，后进 入衰减区。 ③ 当ξ = 0.7左右时，A(ω)几乎无共振，其水平段最长，其相频特性几乎是一斜直线。 1-12. 为什么二阶系统的阻尼系数常常选择在 0.7 附近？ 答：有轻微振荡导致的小超调，但阶跃响应的上升时间短 1-13 用一时间常数为 2s 的温度计测量炉温时，当炉温在 200～400℃之间，按正弦规律变化时， 周期为 150s，温度计输出的变化范围是多少？ 解：已知条件： x(t) = 300 + 100sinω𝑡 ω = 2𝜋 𝑇 = 2𝜋 150 τ = 2s 温度计为一阶系统，其幅频特性为 A(ω) = 1 √(𝜔𝜏) 2 + 1 = 1 √( 2𝜋 150 × 2) 2 + 1 = 0.9930 输入为 200℃、400℃时，其输出为： y = 300 − A(ω) × 100 = 200.7(℃) y = 300 + A(ω) × 100 = 399.3(℃) 1-14 用一个一阶系统对 100Hz 正弦信号输入信号进行测量，如要求限制振幅误差在 5%以内， 那么时间常数应取为多少？若用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差 是多少？ 解：一阶系统的幅频特性 A(ω) = 1 √(𝜔𝜏) 2 + 1 由题意可得：
Ao A(@)-Aol 1 ×100= ≤5% Ao 0.95≤ ≤1.05 V(wr)2+1 因此可得： wr=2πft≤0.3286 T≤5.23×10-4s=0.523ms 测试50Hz正弦信号时，w=2πf=100π 振幅误差为： 1 8lr=50 1.32% /(wt)2+1 此时相位为：l/f=so=arctan(wr)=-919'34" 1-15设某种传感器可作为二阶振荡系统处理。传感器的固有频率为800Hz,阻尼比为0.14，使 用该传感器为频率为400Hz的正弦输入进行测试，其振幅和相位各是多少？若将阻尼比 改为0.7，对应幅值和相位做何种变化？ 解：二阶系统 H(⊙)= ω2 s2+2(wns+ω2 1 2∠ A(@) fn ,φ()= -arctan 1-( 1-( 即A() p(f)=-arctan -(T+ 1- 将fn=800Hz,?=0.14,f=400Hz,代入上面的式子得， A(400)≈1.31，p(400)≈-10.57° 如果？=0.7，则A(400)≈0.975，p(400)≈-43.03° 1-16.每种测量装置有其特定的测量对象，有些装置专门设计用于静态测量，不要求动态 测量特性，而有些测量装置只适合测量动态信号，也有对静态和动态信号的测量都有要求。分 析下列测量任务或测量装置属于哪种类型？ (1)用3数字电压表测量工频交流电压： (2)用示波器测量冲击电压波形 (3)用水银温度计测量温度 (4)输电线路故障录波仪 (5)测量用电磁式电流互感器+电流表测量组合测量线路电流 (6)TPY型保护用电磁式电流互感器+保护继电器 答： (1)稳态测量 (2)测量冲击电压波形是暂态测量，但示波器也适用于稳态测量 (3)稳态测量
|A(ω) − 𝐴0 | 𝐴0 × 100 = | 𝐴0 √(𝜔𝜏) 2+1 − 𝐴0| 𝐴0 = | 1 √(𝜔𝜏) 2 + 1 − 1| ≤ 5% 0.95 ≤ 1 √(𝜔𝜏) 2 + 1 ≤ 1.05 因此可得： 𝜔𝜏 = 2𝜋𝑓𝜏 ≤ 0.3286 𝜏 ≤ 5.23 × 10−4 𝑠 = 0.523𝑚𝑠 测试 50Hz 正弦信号时，𝜔 = 2𝜋𝑓 = 100𝜋 振幅误差为： δ|𝑓=50 = | 1 √(𝜔𝜏) 2 + 1 − 1| = 1.32% 此时相位为：Φ|𝑓=50 = arctan(𝜔𝜏) = −9°19′34′′ 1-15 设某种传感器可作为二阶振荡系统处理。传感器的固有频率为 800Hz，阻尼比为 0.14，使 用该传感器为频率为 400Hz 的正弦输入进行测试，其振幅和相位各是多少？若将阻尼比 改为 0.7，对应幅值和相位做何种变化？ 解：二阶系统 H(ω) = 𝜔𝑛 2 𝑠 2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 A(ω) = 1 [1 − ( 𝜔 𝜔𝑛 ) 2 ] 2 + (2𝜁 𝜔 𝜔𝑛 ) 2 , φ(ω) = −arctan 2𝜁 𝑓 𝑓𝑛 1 − ( 𝜔 𝜔𝑛 ) 2 即A(f) = 1 √[1−( 𝑓 𝑓𝑛 ) 2 ] 2 +(2𝜁 𝑓 𝑓𝑛 ) 2 ，φ(f) = −arctan 2𝜁 𝑓 𝑓𝑛 1−( 𝑓 𝑓𝑛 ) 2 将𝑓𝑛 = 800𝐻𝑧，𝜁 = 0.14，f=400Hz，代入上面的式子得， A(400)≈1.31，φ(400) ≈ −10.57° 如果𝜁 = 0.7，则 A(400)≈0.975，φ(400) ≈ −43.03° 1-16. 每种测量装置有其特定的测量对象，有些装置专门设计用于静态测量，不要求动态 测量特性，而有些测量装置只适合测量动态信号，也有对静态和动态信号的测量都有要求。分 析下列测量任务或测量装置属于哪种类型？ （1）用 3 1 2数字电压表测量工频交流电压； （2）用示波器测量冲击电压波形 （3）用水银温度计测量温度 （4）输电线路故障录波仪 （5）测量用电磁式电流互感器+电流表测量组合测量线路电流 （6）TPY 型保护用电磁式电流互感器+保护继电器 答： （1）稳态测量 （2）测量冲击电压波形是暂态测量，但示波器也适用于稳态测量 （3）稳态测量
(4)暂态测量 (5)稳态测量 (6)暂态测量 第二章误差的基本理论 2-1测量误差分哪几类？它们各有什么特点？ 解：按误差的性质不同来分，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 其各自特点如下： 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或 者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 随机误差：测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。 单次测量数据中的随机误差无规律，多次测量数据则服从统计学规律 粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差。 2-2误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？ 解：不同。误差的绝对值，表示给误差值取正数：绝对误差：测量值与真实值之间的差 值，即：绝对误差=测量值-真实值，其数值可正可负。 2-3试述随机误差的主要特性。 解：随机误差的主要特性：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以 不可预定方式变化。 2-4试述服从正态分布的随机误差的特性。 解：单峰性，对称性，有界性，抵偿性。 2-5检定2.5级（即最大引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的 示值误差2V为最大误差，问该电表是否合格？ 解：最大引用误差Ynmax=×100% Am 得Ymax=品×100%=2%<25% 所以该电表合格。 2-6检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，其值为1.4mA,其他刻 度处的误差均小于1.4mA,这块电流表是否合格？ 解：根据题意，最大绝对误差Dmax≤14mA 最大引用误差Ynmax=m竺×100% Am 得Ynmax=品×100%=14%<15% 所以，这块电表合格。 2-7 用量程为10A的电流表，测量实际值为8A的电流，若读数为8.1A,求测量的绝对误差 和相对误差。若所求得的绝对误差被视为最大绝对误差，该电流表的准确度等级可定为 哪一级？ 解：绝对误差D=X-x=8A-8.1A=-0.1A 最大引用误差Ynmax=×100%=1.0%,1.0级 Am 2-8 某功率表的准确度等级为0.5级，表的刻度共分为150个小格，问：(1)该表测量时，可 能产生的最大误差为多少格？(2)当读数为140格和40格时，最大可能的相对误差为 多大？ 解：(1)该表测量时，可能产生的最大相对误差为±05%，最大绝对误差为 Dmax=Am×Ynmax=150×±0.5%=士0.75格
（4）暂态测量 （5）稳态测量 （6）暂态测量 第二章 误差的基本理论 2-1 测量误差分哪几类？它们各有什么特点？ 解：按误差的性质不同来分，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 其各自特点如下： 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或 者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。 随机误差：测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。 单次测量数据中的随机误差无规律,多次测量数据则服从统计学规律. 粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差。 2-2 误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？ 解：不同。误差的绝对值，表示给误差值取正数；绝对误差：测量值与真实值之间的差 值，即：绝对误差=测量值-真实值，其数值可正可负。 2-3 试述随机误差的主要特性。 解：随机误差的主要特性：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以 不可预定方式变化。 2-4 试述服从正态分布的随机误差的特性。 解：单峰性，对称性，有界性，抵偿性。 2-5 检定 2.5 级（即最大引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的 示值误差 2V 为最大误差，问该电表是否合格？ 解：最大引用误差γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑚 × 100% 得γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 2 100 × 100% = 2% < 2.5% 所以该电表合格。 2-6 检定一个 1.5 级 100mA 的电流表，发现在 50mA 处的误差最大，其值为 1.4mA，其他刻 度处的误差均小于 1.4mA，这块电流表是否合格？ 解：根据题意，最大绝对误差𝐷𝑚𝑎𝑥 ≤ 1.4𝑚𝐴 最大引用误差γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑚 × 100% 得γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 1.4 100 × 100% = 1.4% < 1.5% 所以，这块电表合格。 2-7 用量程为 10A 的电流表，测量实际值为 8A 的电流，若读数为 8.1A，求测量的绝对误差 和相对误差。若所求得的绝对误差被视为最大绝对误差，该电流表的准确度等级可定为 哪一级？ 解：绝对误差 D=X-x=8A-8.1A=-0.1A 最大引用误差γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑚 × 100%=1.0%，1.0 级 2-8 某功率表的准确度等级为 0.5 级，表的刻度共分为 150 个小格，问：（1）该表测量时，可 能产生的最大误差为多少格？（2）当读数为 140 格和 40 格时，最大可能的相对误差为 多大？ 解：(1) 该表测量时，可能产生的最大相对误差为±0.5%，最大绝对误差为 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑚 × γ𝑛,𝑚𝑎𝑥 = 150 × ±0.5% = ±0.75 格
(2)当读数为140格时最大相对误差为 D ±0.75 =±0.535% 140 当读书为40格时最大相对误差为 0 Y=Ax ±0.75 =±1.875% 40 2-9进行下述计算，并给出适当的有效数字。 2.52×4.10×15.14 3.10×21.14×5.10 (1) 6.16×104 (2) 0.0001120 51.0×4.03×10 0.0324×8.1×2.12×102 (3) 2.512×0.002034 (4) 1.050 2.2856×2.51+5.42-1.8904×7.50×10-3 (5) 3.5462 解：(1)2.54×103 (2)2.90×106 (3)4.02 (4)53 (5)3.14 2-10反复测量某电压10次，得到下列数据，经整理，按大小顺序排列为（单位为伏特）：25.46、 25.47、25.48、25.48、25.49、27.49、25.50、25.50、25.51、25.53,试用狄克松准则判别 其中是否存在粗大误差的测量值。 解：按照狄克松准则，=10时，按r1判别，若给定的置信概率为0.95，查表2-4得 11= xm-xm-125.53-25.512 X(n)-X(2) 25.53-25.47=6≈0.333 x2)-x)25.47-25.46 Xm-)-02551-25.46=0.2 因为m11、1都小于0.477，故判定此10次测量值不含粗大误差。 2-11对某电阻进行15次等精度重复测量，测得数据为28.53、28.52、28.50、28.52、28.53、28.53、 28.50、28.49、28.49、28.51、28.53、28.52、28.49、28.40、28.50,单位为2，试求： (1)平均值和标准差： (2) 用拉依达准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值，若有则重新计算平均 值和标准差： (3) 平均值的标准差： (4) 在置信概率为0.99时，写出测量结果的表达式。 解：(1) x:=28.5042 i=1 是1-习 =0.033 n-1 (2)用拉依达准则有，测量值28.40属于粗大误差，剔除，重新计算得 ′=28.5112 =0.0182 (3)剔除粗大误差后，剩余测量值中不再含粗大误差，平均值'=28.511，其标准 差知=器=0048n (4)当置信概率为0.99时，k=2.58,则△m=±(Ko)=±0.0122 由于测量有效位数影响，测量结果表示为Rx=x±△m=28.51±0.012 2-12什么是测量不确定度？它与测量误差有何不同？
(2)当读数为 140 格时最大相对误差为 γ = 𝐷 𝐴𝑥 = ±0.75 140 = ±0.535% 当读书为 40 格时最大相对误差为 γ = 𝐷 𝐴𝑥 = ±0.75 40 = ±1.875% 2-9 进行下述计算，并给出适当的有效数字。 （1） 4 2.52 4.10 15.14 6.16 10 （2） 3.10 21.14 5.10 0.0001120 （3） 4 51.0 4.03 10 2.512 0.002034 （4） 2 0.0324 8.1 2.12 10 1.050 （5） 3 2.2856 2.51 5.42 1.8904 7.50 10 3.5462 解：(1)2.54×10-3 (2)2.90×106 (3)4.02 (4)53 (5)3.14 2-10 反复测量某电压 10 次，得到下列数据，经整理，按大小顺序排列为（单位为伏特）：25.46、 25.47、25.48、25.48、25.49、27.49、25.50、25.50、25.51、25.53，试用狄克松准则判别 其中是否存在粗大误差的测量值。 解：按照狄克松准则，n=10 时，按 r11判别，若给定的置信概率为 0.95，查表 2-4 得 𝑟11 = 𝑥(𝑛) − 𝑥(𝑛−1) 𝑥(𝑛) − 𝑥(2) = 25.53 − 25.51 25.53 − 25.47 = 2 6 ≈ 0.333 𝑟11 ′ = 𝑥(2) − 𝑥(1) 𝑥(𝑛−1) − 𝑥(1) = 25.47 − 25.46 25.51 − 25.46 = 0.2 因为𝑟11、𝑟11 ′ 都小于 0.477，故判定此 10 次测量值不含粗大误差。 2-11 对某电阻进行 15 次等精度重复测量，测得数据为 28.53、28.52、28.50、28.52、28.53、28.53、 28.50、28.49、28.49、28.51、28.53、28.52、28.49、28.40、28.50，单位为 Ω，试求： （1） 平均值和标准差； （2） 用拉依达准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值，若有则重新计算平均 值和标准差； （3） 平均值的标准差； （4） 在置信概率为 0.99 时，写出测量结果的表达式。 解：（1） 𝑥̅= 1 𝑛 ∑𝑥𝑖 = 28.504Ω 𝑛 𝑖=1 𝜎̂ = √ ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅) 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 ＝0.033Ω （2）用拉依达准则有，测量值 28.40 属于粗大误差，剔除，重新计算得 𝑥̅ ′ = 28.511Ω σ̂ ′ = 0.018Ω （3）剔除粗大误差后，剩余测量值中不再含粗大误差，平均值𝑥̅ ′ = 28.511，其标准 差𝜎 ‘ = σ̂ ′ √14 = 0.0048Ω （4）当置信概率为 0.99 时，k=2.58，则∆𝑚= ±(𝐾𝜎 ′ ) = ±0.012Ω 由于测量有效位数影响，测量结果表示为𝑅𝑥 = 𝑅̅ 𝑥 ± ∆𝑚= 28.51 ± 0.01Ω 2-12 什么是测量不确定度？它与测量误差有何不同？
答：测量不确定度是测量结果的一部分，是测量结果可信赖程度的一个量化指标。 它与测量误差的最本质的区别是：不确定度是对测量结果的估计值（一般用算术平均值） 的分散性的定量描述，而测量误差是测得值与真值之差，前者不涉及真值。其它区别如 下表： 测量误差与测量不确定度) 序号 测量误差 测量不确定度 测量误差表明被测量估计值偏离参考 测量不确定度表明测得值的分散性 值的偏差大小 2 是一个有正号或负号的量值，其值为测 是表示被测量估计值概率分布的定量非 得值减去被测量的参考量值，参考量值 负参数，用标准差或标准差的倍数来表 可以是真值或标准值、约定值 示。测量不确定度与真值无关 3 误差是客观存在的，不以人的认识程度 测量不确定度与人们对被测量和影响量 而改变的 及测量过程的认识有关 参考量值为真值时，测量误差是未知的 测量不确定度可以由人们根据测量数据、 资料、经验等信息评定，从而可以定量确 定测量不确定度的大小 5 测量误差按其性质可分为随机误差和 测量不确定度分量评定时一般不必区分 系统误差，按定义，随机误差和系统误 其性质，若需要区分时应表述为：“由随 差都是无限多次测量时的理想概念 机影响引入的测量不确定度分量”和“由 系统影响引入的测量不确定度分量” 6 测量误差的大小说明测量结果的准确 测量不确定度的大小说明测量结果的可 程度 信程度 当用标准值或约定值作为参考量值时， 不能用测量不确定度对测得值进行修正， 可以得到系统误差的估计值，已知系统 已修正的被测量估计值的测量不确定度 误差的估计值时，可以对测量值进行修 中应考虑由修正不完善引入的测量不确 正，得到已修正的被测量估计值 定度 2-13用接地电阻测试仪测量一个防雷接地装置，以便确定能否达到规范的要求。测量所用的 欧姆表技术指标由使用说明书得知，其最大允许误差为士0.2①2，经计量鉴定合格，根据经 验，该仪表不确定度的不可靠程度为10%。用接地电阻测试仪对该接地装置在同一条件下 重复测量3次，测量值分别为：2.952,2.982,2.972。要求报告此防雷装置接地电阻的 测量结果及其扩展不确定度(P=95%)。 解： ①计算平均值 R-34 R=2.97n ② 计算标准差 3 (R)= ③计算A类不确定度
答：测量不确定度是测量结果的一部分，是测量结果可信赖程度的一个量化指标。 它与测量误差的最本质的区别是：不确定度是对测量结果的估计值（一般用算术平均值） 的分散性的定量描述，而测量误差是测得值与真值之差，前者不涉及真值。其它区别如 下表： 测量误差与测量不确定度[5] 序号 测量误差 测量不确定度 1 测量误差表明被测量估计值偏离参考 值的偏差大小 测量不确定度表明测得值的分散性 2 是一个有正号或负号的量值，其值为测 得值减去被测量的参考量值，参考量值 可以是真值或标准值、约定值 是表示被测量估计值概率分布的定量非 负参数，用标准差或标准差的倍数来表 示。测量不确定度与真值无关 3 误差是客观存在的，不以人的认识程度 而改变的 测量不确定度与人们对被测量和影响量 及测量过程的认识有关 4 参考量值为真值时，测量误差是未知的 测量不确定度可以由人们根据测量数据、 资料、经验等信息评定，从而可以定量确 定测量不确定度的大小 5 测量误差按其性质可分为随机误差和 系统误差，按定义，随机误差和系统误 差都是无限多次测量时的理想概念 测量不确定度分量评定时一般不必区分 其性质，若需要区分时应表述为：“由随 机影响引入的测量不确定度分量”和“由 系统影响引入的测量不确定度分量” 6 测量误差的大小说明测量结果的准确 程度 测量不确定度的大小说明测量结果的可 信程度 7 当用标准值或约定值作为参考量值时， 可以得到系统误差的估计值，已知系统 误差的估计值时，可以对测量值进行修 正，得到已修正的被测量估计值 不能用测量不确定度对测得值进行修正， 已修正的被测量估计值的测量不确定度 中应考虑由修正不完善引入的测量不确 定度 2-13 用接地电阻测试仪测量一个防雷接地装置，以便确定能否达到规范的要求。测量所用的 欧姆表技术指标由使用说明书得知，其最大允许误差为0.2Ω,经计量鉴定合格，根据经 验，该仪表不确定度的不可靠程度为 10%。用接地电阻测试仪对该接地装置在同一条件下 重复测量 3 次，测量值分别为：2.95Ω，2.98Ω，2.97Ω。要求报告此防雷装置接地电阻的 测量结果及其扩展不确定度（P=95%）。 解： ① 计算平均值 𝑅̅ = 1 3 ∑𝑅𝑖 = 2.97 3 1 Ω ② 计算标准差 𝜎(𝑅) = √ 1 3 − 1 ∑(𝑅𝑖 − 𝑅̅) 2 3 1 = 0.015Ω ③ 计算 A 类不确定度
1 WA(R)=- o()=0.0088n ④计算B类不确定度 欧姆表的半区间宽度a为0.2P。假设均匀分布，则 0.22 UB(R)= =0.12n V3 ⑤估计B类不确定度的有效自由度 由该仪表不确定度的不可靠程度为10%，计算得阳=50 ⑥计算标准不确定度 u(R)= u(R)+u哈(R)=0.120 其有效自由度为 u4(R) Veff= +培®F50 3-1 VB ⑦计算扩展不确定度 自由度50，可按正态分布计算 U=Kpu(R)=0.240 ⑧测量结果报告 R=2.97±0.24n，Veff=50 2-14用伏安法测某电阻的阻值，使用3位半数字电压表，准确度等级为1级，量程为20V:模 拟指针式电流表，准确度等级为1级，量程为100mA,共进行10次测量，测量数据如下表（单 位：电压一V,电流一mA),请报告测量结果(P-95%)。 次 8 数 电 9 9 压 1.11 0.05 79 1.16 0.08 0.32 0.58 26 0.77 0.61 电 5 5 流 2.5 1.2 9.8 2. 0.6 0.9 2 0.5 解： ①计算平均值 10 0= 1>U:=10.37V 10 i=1 10 11=50.9mA i=1 ②计算标准差
𝑢𝐴 (𝑅) = 1 √3 𝜎(𝑅) = 0.0088Ω ④ 计算 B 类不确定度 欧姆表的半区间宽度 a 为 0.2Ω。假设均匀分布，则 𝑢𝐵(𝑅) = 0.2Ω √3 = 0.12Ω ⑤ 估计 B 类不确定度的有效自由度 由该仪表不确定度的不可靠程度为 10%，计算得 vB=50 ⑥ 计算标准不确定度 𝑢(𝑅) = √𝑢𝐴 2 (𝑅) + 𝑢𝐵 2 (𝑅) = 0.12Ω 其有效自由度为 𝑣𝑒𝑓𝑓 = 𝑢 4 (𝑅) 𝑢𝐴 4 (𝑅) 3−1 + 𝑢𝐵 4 (𝑅) 𝑣𝐵 = 50 ⑦ 计算扩展不确定度 自由度 50，可按正态分布计算 𝑈 = 𝐾𝑃𝑢(𝑅) = 0.24Ω ⑧ 测量结果报告 𝑅 = 2.97 ± 0.24Ω ，𝑣𝑒𝑓𝑓 = 50 2-14 用伏安法测某电阻的阻值，使用 3 位半数字电压表，准确度等级为 1 级，量程为 20V；模 拟指针式电流表，准确度等级为 1 级，量程为 100mA，共进行 10 次测量，测量数据如下表（单 位：电压—V，电流—mA），请报告测量结果（P=95%）。 次 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 电 压 1 1.11 1 0.05 9 .79 1 1.16 1 0.08 1 0.32 1 0.58 9 .26 1 0.77 1 0.61 电 流 5 2.5 5 1.2 4 9.8 5 2.1 5 0.6 5 0.9 5 1.2 4 9.1 5 1.3 5 0.5 解： ① 计算平均值 𝑈̅ = 1 10∑𝑈𝑖 10 𝑖=1 = 10.37𝑉 𝐼 ̅= 1 10∑𝐼𝑖 10 𝑖=1 = 50.9𝑚𝐴 ② 计算标准差
10 1 σ(U)= (u1-)2=0.5954v n-台 10 1 (I)= -D2=1.00mA ③计算A类不确定度 1 a(U)==o(U)=0.1883V Vn 1 0=后0=0.317mA ④计算B类不确定度 对于电压表，3位半，量程为20V,则LSB为0.01V,半区间宽度a为0.005V。 对于电流表，准确度等级1.0，量程100mA,则最大允许误差为±1mA,半区间宽度为1mA 并假设均匀分布，置信概率为100%，则 0.005V uB(U)= =0.00289V ,3 uB(I)= 1mA =0.577mA ⑤估计B类不确定度的有效自由度 假设评定(U)和(D的相对不确定度达10%，计算得1=50，v2=50. ⑥ 计算标准不确定度 u(U)= u(U)+ua(U)=0.1883V u0=u(0+u哈0=0.658mA 其有效自由度分别为 u4(U) Veffu= +酒 =9 10-1 VB1 u4(0 Veffi= =56 迎+哈0 10-1 VB1 ⑦计算电阻R的合成标准不确定度 U R= InR InU-Inl 、2 uc(InR)= d(InR) u(R) dR (R) R 2 2 uc(InU Inl)= u(R) R +9 u(U)0.1883 =0.01816 10.37 u()0.658 =0.0129 50.9
σ(𝑈) = √ 1 𝑛 − 1 ∑(𝑈𝑖 − 𝑈̅) 2 10 𝑖=1 = 0.5954𝑉 σ(𝐼) = √ 1 𝑛 − 1 ∑(𝐼𝑖 − 𝐼)̅2 10 𝑖=1 = 1.00𝑚𝐴 ③ 计算 A 类不确定度 𝑢𝐴 (𝑈) = 1 √𝑛 σ(U) = 0.1883𝑉 𝑢𝐴 (𝐼) = 1 √𝑛 σ(𝐼) = 0.317𝑚𝐴 ④ 计算 B 类不确定度 对于电压表，3 位半，量程为 20V，则 LSB 为 0.01V，半区间宽度 a 为 0.005V。 对于电流表，准确度等级 1.0，量程 100mA，则最大允许误差为±1mA，半区间宽度为 1mA. 并假设均匀分布，置信概率为 100%，则 𝑢𝐵(𝑈) = 0.005𝑉 √3 = 0.00289V 𝑢𝐵(𝐼) = 1𝑚𝐴 √3 = 0.577𝑚𝐴 ⑤ 估计 B 类不确定度的有效自由度 假设评定 uB(U)和 uB(I)的相对不确定度达 10%，计算得 vB1=50，vB2=50. ⑥ 计算标准不确定度 𝑢(𝑈) = √𝑢𝐴 2 (𝑈) + 𝑢𝐵 2 (𝑈) = 0.1883𝑉 𝑢(𝐼) = √𝑢𝐴 2 (𝐼) + 𝑢𝐵 2 (𝐼) = 0.658𝑚𝐴 其有效自由度分别为 𝑣𝑒𝑓𝑓𝑈 = 𝑢 4 (𝑈) 𝑢𝐴 4 (𝑈) 10−1 + 𝑢𝐵 4 (𝑈) 𝑣𝐵1 = 9 𝑣𝑒𝑓𝑓𝐼 = 𝑢 4 (𝐼) 𝑢𝐴 4 (𝐼) 10−1 + 𝑢𝐵 4 (𝐼) 𝑣𝐵1 = 56 ⑦ 计算电阻 R 的合成标准不确定度 𝑅 = 𝑈 𝐼 ln𝑅 = ln𝑈 − ln𝐼 𝑢𝑐 (ln𝑅) = √( 𝑑(ln𝑅) 𝑑𝑅 𝑢(𝑅)) 2 = 𝑢(𝑅) 𝑅 𝑢𝑐 (ln𝑈 − ln𝐼) = √( 𝜕𝑓 𝜕𝑈 ) 2 𝑢 2(𝑈) + ( 𝜕𝑓 𝜕𝐼 ) 2 𝑢 2(𝐼) = √( 𝑢(𝑈) 𝑈 ) 2 + ( 𝑢(𝐼) 𝐼 ) 2 𝑢(𝑅) 𝑅 = √( 𝑢(𝑈) 𝑈 ) 2 + ( 𝑢(𝐼) 𝐼 ) 2 𝑢(𝑈) 𝑈 = 0.1883 10.37 = 0.01816 𝑢(𝐼) 𝐼 = 0.658 50.9 = 0.0129
u(R) U +9) =0.0223 R 0 R=7=0.204kn u(R)=0.0223×0.204k2=0.00454k2 ⑧计算R的有效自由度 ef=uo四+u0D=19 Veffu Veffl ⑨计算扩展不确定度 查表可得K0.9s=2.09 U9s=Ko.95u(R)=0.00949kn=9.49n ⑩测量结果报告 R=204±9.49n(P=95%),veff=19 第3章常用传感器及其调理电路 3-1从使用材料、测温范围、线性度、响应时间几个方面比较，Pt100、K型热电偶、热敏电 阻有什么不同？ 解： Pt100 K型热电偶 热敏电阻 使用材料 铂 镍铬-镍硅（镍铝） 半导体材料 测温范围 -200℃-+850℃ -200℃+1300℃ -100-+300℃ 线性度 线性度较好 线性度好 非线性大 响应时间 10s~180s级别 20ms~400ms级别 ms级别 3-2测温传感器Pt100、K型热电偶、NTC热敏电阻都具有一阶滞后的特性，其时间常数 一般不会超过10秒，但工业生产中用这些传感器制成的测温探头的时间常数常常要几十秒， 为什么？ 3-3PTC热敏材料除了可以制成温度传感器，功率PTC材料还可以制成自恢复熔断器、 恒温加热器，试分析其原理。功率NT℃材料常常与照明灯串联，用来抑制开机时的浪涌电流， 为什么？ 3-4热电偶测温为什么一定做冷端温度补偿？冷端补偿的方法有哪几种？ 解：热电偶输出的电动势是两结点温度差的函数。T为被测端温度，T。为参考端温度，热电偶 特性分度表中只给出了T。为0℃时热电偶的静态特性，但在实际中做到这一点很困难，于是产 生了热电偶冷端补偿问题。目前常用的冷端温度补偿法包括：
𝑢(𝑅) 𝑅 = √( 𝑢(𝑈) 𝑈 ) 2 + ( 𝑢(𝐼) 𝐼 ) 2 = 0.0223 𝑅 = 𝑈̅ 𝐼 ̅ = 0.204kΩ 𝑢(𝑅) = 0.0223 × 0.204kΩ = 0.00454kΩ ⑧ 计算 R 的有效自由度 𝑒𝑓𝑓 = ( 𝑢(𝑅) 𝑅 ) 4 (𝑢(𝑈)/𝑈) 4 𝑣𝑒𝑓𝑓𝑈 + (𝑢(𝐼)/𝐼) 4 𝑣𝑒𝑓𝑓𝐼 = 19 ⑨ 计算扩展不确定度 查表可得 K0.95=2.09 𝑈95 = 𝐾0.95𝑢(𝑅) = 0.00949𝑘Ω = 9.49Ω ⑩ 测量结果报告 𝑅 = 204 ± 9.49Ω (𝑃 = 95%)，𝑣𝑒𝑓𝑓 = 19 第 3 章常用传感器及其调理电路 3-1 从使用材料、测温范围、线性度、响应时间几个方面比较，Pt100、K 型热电偶、热敏电 阻有什么不同？ 解： Pt100 K 型热电偶 热敏电阻 使用材料 铂 镍铬镍硅（镍铝） 半导体材料 测温范围 200℃～+850℃ -200℃～+1300℃ -100～+300℃ 线性度 线性度较好 线性度好 非线性大 响应时间 10s~180s 级别 20ms～400ms 级别 ms 级别 3-2 测温传感器 Pt100、K 型热电偶、NTC 热敏电阻都具有一阶滞后的特性，其时间常数 一般不会超过 10 秒，但工业生产中用这些传感器制成的测温探头的时间常数常常要几十秒， 为什么？ 3-3 PTC 热敏材料除了可以制成温度传感器，功率 PTC 材料还可以制成自恢复熔断器、 恒温加热器，试分析其原理。功率 NTC 材料常常与照明灯串联，用来抑制开机时的浪涌电流， 为什么？ 3-4 热电偶测温为什么一定做冷端温度补偿？冷端补偿的方法有哪几种？ 解：热电偶输出的电动势是两结点温度差的函数。T 为被测端温度， T0 为参考端温度，热电偶 特性分度表中只给出了 T0 为 0℃时热电偶的静态特性，但在实际中做到这一点很困难，于是产 生了热电偶冷端补偿问题。目前常用的冷端温度补偿法包括：
