海南大学教案 课程名称：电工技术 任课教师： 第3章电路的暂态分析 计划学时：8学时 教学目的和要求： 1.理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念， 以及时间常数的物理意义。 2.掌握换路定则及初始值的求法。 3.掌握一阶线性电路分析的三要素法。 重点： 1.换路定则及初始值的求法。 2.一阶线性电路分析的三要素法。 难点： 阶线性电路分析的三要素法 作业思考题： 作业：3.2.1,3.2.2,3.3.1,3.3.2,3.3.3,3.4.1,3.4.3,3.4.5 3.6.2,3.6.3,3.6.4 思考：3.4.4,3.6.1,3.6.5， 46
46 海南大学教案 课程名称:电工技术 任课教师: 第 3 章 电路的暂态分析 计划学时:8 学时 教学目的和要求: 1. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念， 以及时间常数的物理意义。 2. 掌握换路定则及初始值的求法。 3. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。 重点: 1. 换路定则及初始值的求法。 2. 一阶线性电路分析的三要素法。 难点: 一阶线性电路分析的三要素法 作业思考题: 作业： 3.2.1，3.2.2，3.3.1，3.3.2，3.3.3，3.4.1，3.4.3，3.4.5 3.6.2，3.6.3，3.6.4 思考： 3.4.4，3.6.1，3.6.5
第3章电路的暂态分析 引言 在上一章讨论的电阻元件电路中，一旦接通电源或断开电源时，电路 中电压、电流立即达到稳定值，电路立即处于稳定状态。但当电路中含有 电容元件或电感元件时，情况有所不同。例如同学们在物理学中观察过的 电容充放电实验，当电源接通后，电容上的电压逐渐增加到稳定值，而电 路中的电流逐渐衰减到零，电路需要经过一定的短暂时间才能过渡到稳态， 也就是说需要有一个从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程，亦称暂态 过程 鉴於电路暂态过程中的一些特殊现象，需要对电路的暂态过程进行分 析研究。 1.电路暂态分析的主要内容： (1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。 (2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。 2.研究暂态过程的实际意义一用其利、避其害 ()利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖 脉冲等，应用于电子电路。 (2)暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件 损坏，因此要控制、预防电路暂态过程可能产生的危害。 直流电路、交流电路都存在暂态过程，我们讲课的重点是直流电路的 暂态过程
47 第 3 章 电路的暂态分析 引言 在上一章讨论的电阻元件电路中，一旦接通电源或断开电源时，电路 中电压、电流立即达到稳定值，电路立即处于稳定状态。但当电路中含有 电容元件或电感元件时，情况有所不同。例如同学们在物理学中观察过的 电容充放电实验，当电源接通后，电容上的电压逐渐增加到稳定值，而电 路中的电流逐渐衰减到零，电路需要经过一定的短暂时间才能过渡到稳态， 也就是说需要有一个从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程，亦称暂态 过程。 鉴於电路暂态过程中的一些特殊现象，需要对电路的暂态过程进行分 析研究。 1. 电路暂态分析的主要内容： (1) 暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。 (2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数。 2. 研究暂态过程的实际意义—用其利、避其害 (1) 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖 脉冲等，应用于电子电路。 (2) 暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件 损坏，因此要控制、预防电路暂态过程可能产生的危害。 直流电路、交流电路都存在暂态过程, 我们讲课的重点是直流电路的 暂态过程
S3.1电阻元件、电感元件与电容元件 一.电阻元件—把电能转换成热能的耗能元件 电阻丝、白炽灯等能把电能转换成热能，具有耗能性质，所以用理想 元件一电阻来表示这种性质，用R表示。在电路理论中，R也用来表示电 阻元件的参数。 1.伏安关系 根据欧姆定律：4=迟 R 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系，定义电阻元件的电阻 值为：R=i,单位为欧姆(2)。 2.能量转换 电阻的能量W=ui=∫Rt之0 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。 二。电感元件—储存磁场能量的元件 电感线圈通有电流时产生磁场，具有储存磁场能量的性质，当内阻很 小可以忽略不计时，可以用理想的储能元件一电感来表示这种性质，用L 表示。在电路理论中，L也用来表示电感元件的参数一电感量，简称为电 感。 1.定义 理想的电感线圈（内阻R=O,无漏磁）如图所示： 48
48 §3.1 电阻元件、电感元件与电容元件 一. 电阻元件—把电能转换成热能的耗能元件 电阻丝、白炽灯等能把电能转换成热能，具有耗能性质，所以用理想 元件—电阻来表示这种性质，用 R 表示。在电路理论中，R 也用来表示电 阻元件的参数。 1．伏安关系 根据欧姆定律: u iR 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系，定义电阻元件的电阻 值为：R=u/i，单位为欧姆（Ω）。 2．能量转换 电阻的能量 0 0 2 0 W uidt Ri dt t t 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。 二．电感元件—储存磁场能量的元件 电感线圈通有电流时产生磁场，具有储存磁场能量的性质，当内阻很 小可以忽略不计时，可以用理想的储能元件—电感来表示这种性质，用 L 表示。在电路理论中，L 也用来表示电感元件的参数—电感量，简称为电 感。 1. 定义 理想的电感线圈（内阻 R = 0，无漏磁）如图所示：
qD “L3 电感元件的符号 电流通过一匝线圈产生磁通Φ，电流通过N匝线圈产生磁通链w=NΦ， 并储存磁场能量，定义电感线圈电感： L=-地 电感的单位是亨利(H)或毫亨(mH),1mH=103H,磁通的单位是 韦伯(Wb). L为常数的电感称为线性电感；L不为常数的电感称为非线性电感。 线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关： L=SN心 式中：S一线圈横截面积(m2) 1一线圈长度(m) N一线圈匝数 一介质的磁导率(H/m)》 2.自感电动势与伏安关系 u er 如果规定：①电压山与电流i的参考方向一致：
49 电流通过一匝线圈产生磁通Φ ，电流通过 N 匝线圈产生磁通链ψ NΦ ， 并储存磁场能量，定义电感线圈电感: i NΦ i ψ L (H) 电感的单位是亨利（H）或毫亨（mH）, 1mH=10-3 H，磁通的单位是 韦伯（Wb）。 L 为常数的电感称为线性电感; L 不为常数的电感称为非线性电感。 线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关： (H) l μ S N L 2 式中：S — 线圈横截面积（m2） l —线圈长度（m） N —线圈匝数 μ—介质的磁导率（H/m） 2.自感电动势与伏安关系 如果规定:①电压 u 与电流 i 的参考方向一致；
②自感电动势a的参考方向与电流i参考方向相同： ③电流1与磁通的参考方向符合右手螺旋定则： 根据电磁感应定律和愣次定律，可以写出：自感电动势： e=-业=-L 验证：假设电流增大个会0,6=一岛0,4阻闋电流增加， 符合愣次定律；电流减小的情况与此相反。 由KVL: =0=岛 3.电感元件的储能 将u=-=L两边同乘上i，并积分，则得：电感元件的储能： m=p咖-uit=ii=2 结论：电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场 能增大，电感元件从电源取用电能：当电流减小时，磁场能减小，电感元 件向电源放还能量。 例1：有一电感元件，L=0.2H,电流i如图所示，求电感元件中产生 的自感电动势e,和两端电压u的波形。 解：当0st54s时i=tmA 则：=-l出w 所以u=-e,=0.2W 当4ns≤t≤6s时i=(-2t+12)mA 则：6，=-1出=02x-20 所以u=-e=-0.4
50 ②自感电动势 eL的参考方向与电流 i 参考方向相同； ③电流 i 与磁通的参考方向符合右手螺旋定则； 根据电磁感应定律和愣次定律，可以写出：自感电动势： 验证：假设电流增大 0 dt di i ， 0 dt di eL L ， eL阻碍电流增加， 符合愣次定律；电流减小的情况与此相反。 由 KVL： u = - dt di L dt dψ eL ( ) 3．电感元件的储能 将 dt di u eL L 两边同乘上 i ，并积分，则得：电感元件的储能： WL = t pdt 0 = 2 0 0 2 1 ui dt Li di Li t i 结论：电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场 能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元 件向电源放还能量。 例 1: 有一电感元件，L=0.2H,电流 i 如图所示，求电感元件中产生 的自感电动势 eL和两端电压 u 的波形。 解：当0 t 4ms 时 i t mA 则： . V dt di e L L 0 2 所以 u e L 0.2V 当4ms t 6ms 时 i ( 2t 12 )mA 则： . ( )V . V dt di e L L 0 2 2 0 4 所以 u e L 0.4V dt di L dt dψ eL
i/mA 4 2 246+ms +e, 04 0.2 t/ms -0.4 由图可见： (I)电流正值增大时，eL为负，电流正值减小时，eL为正： (②)电流的变化率di/dt大，则eL大：反映电感阻碍电流变化的性质。 (3)电感两端电压u和通过它的电流i的波形是不一样的。 例2：在上例中，试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的 能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量。 解：在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的 过程中电感元件向电源放出的能量是相等的，即：1=4ms时的磁场能： w==x02x(4x10P为=16×10-J 三.电容元件一储存电场能量的元件 电容器两端加电压后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在 介质中建立起电场，并储存电场能量。理想的电容器（忽略漏电流等）可 以用理想的储能元件一电容来表示这种性质，用C表示。在电路理论中， C也用来表示电容元件的参数一电容量，简称电容。 51
51 由图可见： (1) 电流正值增大时，eL 为负，电流正值减小时，eL 为正； (2) 电流的变化率 di/dt 大，则 eL 大；反映电感阻碍电流变化的性质。 (3) 电感两端电压 u 和通过它的电流 i 的波形是不一样的。 例 2: 在上例中，试计算在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的 能量和在电流减小的过程中电感元件向电源放出的能量。 解：在电流增大的过程中电感元件从电源吸取的能量和在电流减小的 过程中电感元件向电源放出的能量是相等的，即：t 4ms时的磁场能： W Li . ( ) J J 2 3 2 7 0 2 4 10 16 10 2 1 2 1 三．电容元件—储存电场能量的元件 电容器两端加电压后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在 介质中建立起电场，并储存电场能量。理想的电容器（忽略漏电流等）可 以用理想的储能元件—电容来表示这种性质，用 C 表示。在电路理论中， C 也用来表示电容元件的参数—电容量，简称电容
1.电容的定义 假设电容元件两端加电压山，极板上储存的电量为4，定义电容器的电 容： →i C=9F) u ● 电容的单位是法拉(F)或微法(F)、皮法(pF),1F=106E1pF=-109 F。 电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。 c-9 式中：S一极板面积(m2) d一板间距离(m) ￡一介电常数(F/m) C为常数的电容称为线性电容。 2.伏安关系 当电压山变化时，极板上的电荷发生变化，在电路中产生电流： 皇-c出 3.电容元件储能 将上式两边同乘上山，并积分，则得电容元件储能： W-fpd-f'uidt-['Cudu-Cu 即：电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能 增大，电容元件从电源取用电能：当电压减小时，电场能减小，电容元件 向电源放还能量。 52
52 1.电容的定义 假设电容元件两端加电压 u，极板上储存的电量为 q，定义电容器的电 容： u q C (F ) 电容的单位是法拉（F）或微法（µF）、皮法（pF）, 1µF=10-6 F, 1pF=10-9 F。 电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。 (F) d ε S C 式中：S — 极板面积（m2） d — 板间距离（m） ε — 介电常数（F/m） C 为常数的电容称为线性电容。 2.伏安关系 当电压 u 变化时，极板上的电荷发生变化，在电路中产生电流： dt du C dt dq i 3.电容元件储能 将上式两边同乘上 u，并积分，则得电容元件储能： 2 0 0 0 2 1 W p dt ui dt Cudu Cu t t u 即：电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能 增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件 向电源放还能量
$3.2储能元件与换路定则 一.电路中产生暂态过程的原因 考查图(a)所示的纯电阻电路： s i U① R0R042 (a) S闭合前：i=02=0,S闭合后：根据欧姆定律，电流i随电压u 比例变化，所以电阻电路不存在暂态过程。 R uct c -uc (b) 再考查图(b)所示的含有储能元件电容C的电路 S闭合前：ie=0,4=0 S闭合后：电容充电，c由零逐渐增加到U,所以电容电路存在暂态 过程。这是因为电容元件的储能发生了变化，而物体所具有的能量不能跃 变，根据，=，C3,电容电压c也不能跃变，必须有一个渐变的暂态过 程。在图(a)所示的纯电阻电路中，由于只含有耗能元件R,不含储能元件 所以没有暂态过程。 同样的道理，在含有电感元件的电路中，如果电路的状态发生改变， 根据w=。Li记，电感电流也不能跃变，必须有一个渐变的暂态过程。 概括起来，电路的暂态过程是由于物体所具有的能量不能跃变而造成 的，产生暂态过程的必要条件是： 53
53 §3.2 储能元件与换路定则 一. 电路中产生暂态过程的原因 考查图(a)所示的纯电阻电路： S 闭合前：i = 0 u2 =0，S 闭合后：根据欧姆定律，电流 i 随电压 u 比例变化，所以电阻电路不存在暂态过程。 再考查图（b）所示的含有储能元件电容 C 的电路: S 闭合前: ic = 0 , uc = 0 S 闭合后：电容充电，uC由零逐渐增加到 U，所以电容电路存在暂态 过程。这是因为电容元件的储能发生了变化，而物体所具有的能量不能跃 变，根据 2 2 1 Wc Cuc ，电容电压 uC也不能跃变，必须有一个渐变的暂态过 程。在图(a)所示的纯电阻电路中，由于只含有耗能元件 R，不含储能元件， 所以没有暂态过程。 同样的道理，在含有电感元件的电路中，如果电路的状态发生改变， 根据 2 2 1 WL LiL ，电感电流 iL也不能跃变，必须有一个渐变的暂态过程。 概括起来，电路的暂态过程是由于物体所具有的能量不能跃变而造成 的，产生暂态过程的必要条件是：
(1)电路中含有储能元件（内因） (2)电路发生换路（外因） 所谓换路，即是指电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电 压改变或参数改变等。 二.换路定则 在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，根据电容C的储能公式： =:'和电感L的储能公式队=，在换路瞬间电容电压，和电感 电流i也不能突变，称为换路定则。 换路定则可以用数学的方法描述如下： 设：0一表示换路瞬间（定为计时起点） 0.一表示换路前的终了瞬间 =0,一表示换路后的初始瞬间（初始值） 则有： i(0+)=i(0.) lc(0,4)=lc(0.) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中c、i初始值。 三.换路定则的应用一电压电流初始值的确定 换路定则不仅可以用来于确定暂态过程中0，时c、,的初始值，也 可以求得电路中各“、i在O,时的初始值。 求解步骤如下： 1.先由t=0.的电路求出c(0)、(0),然后根据换路定律求出c(04)、 i(0+) 54
54 (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 所谓换路，即是指电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电 压改变或参数改变等。 二．换路定则 在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，根据电容 C 的储能公式： 2 2 1 Wc Cuc 和电感 L 的储能公式 2 2 1 WL LiL ，在换路瞬间电容电压 uc和电感 电流 iL也不能突变，称为换路定则。 换路定则可以用数学的方法描述如下： 设：t=0—表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-—表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值） 则有： iL(0+)=iL(0-) uC(0+)=uC(0-) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、iL初始值。 三．换路定则的应用—电压电流初始值的确定 换路定则不仅可以用来于确定暂态过程中 t=0+时 uC、iL的初始值，也 可以求得电路中各 u、i 在 t=0+时的初始值。 求解步骤如下： 1．先由 t = 0-的电路求出 uC(0-)、iL(0-)，然后根据换路定律求出 uC(0+)、 iL(0+)
2.画出t=0,时的等效电路（电容用电压源(0，）潜代，电感用电流 源(04)替代)，分析该电路求出其它电量的初始值： 例1.电路如图示，已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能， 试求：电路中各电压和电流的初始值。 解：(I)由换路前电路求c(0.)、i(0.) 由已知条件知c(0)0,i(0.)=0 根据换路定则得：c(0,)=c(0.)=0 i(04)(0)=0 ie0)4e0,)+02 40,◆Ro) R 40)4,0) (a)电路 (b)t=0+等效电路 (2)画出由0，时的等效电路，求其余各电流、电压的初始值 c(0,)0,换路瞬间，电容元件可视为短路。 (04=0,换路瞬间，电感元件可视为开路。 所以，有：0i0,)产日00) 4(0F4(0,FU(h(0.)=0)2(04)=0 例2：换路前电路处于稳态，试求图示电路中各个电压和电流的初始 值。 R R R 3 t=0.等效电路 55
55 2．画出 t = 0+时的等效电路（电容用电压源 uC(0+)替代，电感用电流 源 iL(0+)替代），分析该电路求出其它电量的初始值； 例1. 电路如图示，已知：换路前电路处稳态，C、L 均未储能， 试求：电路中各电压和电流的初始值。 解：(1)由换路前电路求 uC(0-)、iL(0-) 由已知条件知 uC(0-)=0，iL(0-)=0 根据换路定则得：uC(0+)= uC(0-)=0 iL(0+)= iL(0-)=0 (2) 画出由 t=0+时的等效电路，求其余各电流、电压的初始值 uC(0+)=0,换路瞬间，电容元件可视为短路。 iL(0+)=0,换路瞬间，电感元件可视为开路。 所以，有：iC(0+)=i1(0+)= R U (iC(0-)=0) uL(0+)= u1(0+)=U (uL(0-)=0) u2(0+)=0 例 2：换路前电路处于稳态，试求图示电路中各个电压和电流的初始 值