第二章平衡态系统的统计分布率 (Statistics in equilibrium systems) 第一节无序系统( disorder system) 热学系统微观运动的无规律性,使得我们不能用确定性的物理语 言去描述。(例:三体间题) 如果系统的微观运动是完全无序的(平衡态),它正好能用另 外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。 在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规 律,就是平衡态系统的统计规律。 判据:统计规律的宏观表现应符合试验结果。(例:状态方程,扩 散方程)
第二章 平衡态系统的统计分布率 (Statistics in equilibrium systems) 第一节 无序系统 (disorder system) 热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语 言去描述。（例：三体问题） 如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好能用另 外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。 在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规 律，就是平衡态系统的统计规律。 判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩 散方程）
例一、醉鬼问题 个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走, 我们想知道他走了M步后里路灯的距离。 基本假设:醉鬼走的方向完全不可预计。 设XY是醉鬼第i步位移在X,Y方向上 的投影,在第M步后,他离路灯距离R 为: R2=|∑X+∑ A1+X2+….+XM 2=X2+X,X2+X1X2+X2+X1X2++X X完全随机,X与X完全独立。=0,=0 R2=∑(X2+x)=M设醉鬼的步长为1R=√M
例一、醉鬼问题 一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走， 我们想知道他走了 M 步后里路灯的距离。 基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。 设 Xi , Yi 是醉鬼第 i 步位移在 X, Y 方向上 的投影，在第 M 步后，他离路灯距离 R 为： 2 1 2 1 2 + = = = M i i M i R Xi Y 2 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ... ... X + X + + X M = X + X X + X X + X + X X + + X M Xi 完全随机，Xi 与 Xj 完全独立。 Xi = 0, Xi X j = 0 = = + = M i R Xi Yi M 1 2 2 2 ( ) 设醉鬼的步长为1。 R = M
讨论 统计性质。计算只能给出醉鬼最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在R=√M的位置上找到醉鬼, 而只意味着在这些位置上找到他的 几率最大。这并不排除在其他位置 上找到醉鬼的可能性。 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动,在√M位置上找到 醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。 统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为,必须在计算中引入 计算的不确定性。 统计误差的规律:OR∝1/NN为醉鬼个数
讨论 统计性质。计算只能给出醉鬼最有 可能的距离。计算结果不意味我们 肯定在 的位置上找到醉鬼， 而只意味着在这些位置上找到他的 几率最大。这并不排除在其他位置 上找到醉鬼的可能性。 R = M 各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在 位置上找到 醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。 M 统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入 计算的不确定性。 统计误差的规律： R 1/ N N 为醉鬼个数
统计规律。微观上(单个进程)千变万化,宏观上(重复进行) 有一定数值和规律的现象为统计规律。 如:理想气体的压强、温度、等等 伽尔顿板实验 过程:(重复)两步: (1)单个小球下落 (2)多个同时下落 结果: 第一步,完全随机。第二步,有规律分布
统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行） 有一定数值和规律的现象为统计规律。 伽尔顿板实验 过程： （重复）两步： (1) 单个小球下落 (2) 多个同时下落 结果： 第一步，完全随机。第二步，有规律分布。 如：理想气体的压强、温度、等等
例二、布朗运动( Einstein1905, Smoluchowski1906, Langevin1908) 基本图像:粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。 牛顿定律: dr 6m,+F(t) 对直角坐标系中任一方向,记S=x,y,z 6m,+F( dt 条件:F()=0,号m()2=k7自由能均分原理 数学技巧 d(s ds S S 2d2(a d2做平均后=kT做平均后=0 S sF(t-3ran a s dt
例二、布朗运动 (Einstein 1905, Smoluchowski 1906, Langevin 1908) 基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。 牛顿定律： 6 ( ) 2 2 F t dt dr a dt d r m = − + 对直角坐标系中任一方向，记 s = x, y,z 6 ( ) 2 2 F t dt ds a dt d s m = − + s 条件： F (t) = 0, s m kB T dt ds 2 2 1 2 1 ( ) = 自由能均分原理 数学技巧： 2 2 2 2 2 2 2 ( ) dt d s s dt ds dt d s + = dt d s sF t a dt ds m dt m d s s ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 = − − 做平均后=kBT 做平均后=0
2 kRT 6 can 解微分方程得:S=3mm 18丌2a-7 分析迟豫时间: a≈10m,m≈10g,n=10Kg/(ms) 6zmx/m≈2×107s在1微秒以后后项可以被忽略。 2 B-t=2Dt stan D Einstein扩散系数 6m1 C √t和醉鬼一样 图1-1实验观察到的藤黄粉末在水中的布朗运动的投影
t a m k T a k T m a B B s t e 6 2 2 2 3 1 8 2 − 解微分方程得： = + 分析迟豫时间： 7 1 6 1 5 3 6 / 2 10 10 , 10 , 10 /( ), − − − − = a m s a m m g Kg m s 在1微秒以后后项可以被忽略。 s t Dt a kB T 2 3 2 = = a kB T D 6 = Einstein 扩散系数 s t 2 和醉鬼一样
第二节概率论简介 、事件及其概率 事件:随机实验中,对试验可能出现的事情称为事件 概率:在一定条件下,一系列可能发生的事件组合中,发生某一 事件的机会或可能性。 对事件组合{A(i=1,2,N),事件总数为N,出 P(A)=lm N(A1) 现事件A的次数为N(A,则事件Ai的概率为 N N →)0 必然事件:P(Ai)=1;不可能事件:P(Ai)=0;随机事件:如果0<P(Aj<1。 互不相容事件:一事件发生时,其他事件不可能同时发生。例:掷硬币。 独立事件:一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例:二次掷硬币 对于独立事件:P(A4,A)=P(4)P(4) 独立相容事件:P(4+A)=P()+P(4)-P(4)P(4)
第二节 概率论简介 一、事件及其概率 事件： 随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。 概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一 事件的机会或可能性。 对事件组合{Ai } (i=1,2,…N)，事件总数为N, 出 现事件Ai的次数为N(Ai )，则事件Ai 的概率为 N N A N i i P A ( ) ( ) lim → = 必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果0<P(Ai)<1。 互不相容事件：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。 独立事件：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币 对于独立事件： ( , ) ( ) ( ) P Ai Aj = P Ai P Aj 独立相容事件： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Ai + Aj = P Ai + P Aj − P Ai P Aj
例一:生日问题 计算n个朋友同一天生日的概率。 分析:(1)平均分布;(2)独立事件。 将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为364/365(平均分 布);第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为363/365..,第n各朋友与 前面的朋友生日都不同的概率为365-n+1/365。 364×363××365-n+1 n个朋友生日不同的概率为 365″ (独立事件) n各朋友至少有两个同生日的概率:1-364×363×x365-n+1 (不相容事件) 365″-1 24个朋友中至少有两个同生日的概率为54%
例一：生日问题 计算 n 个朋友同一天生日的概率。 分析：（1）平均分布；（2）独立事件。 将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为364/365（平均分 布）；第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为 363/365....，第 n 各朋友与 前面的朋友生日都不同的概率为365-n+1/365。 n 个朋友生日不同的概率为： 1 365 364 363 ... 365 1 − − + n n （独立事件） n 各朋友至少有两个同生日的概率： 1 365 364 363 ... 365 1 1 − − + − n n （不相容事件） 24 个朋友中至少有两个同生日的概率为 54%
例二: Copernican principle The best theories are those that do not require the observerto live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true 25% 25% 2-5% 95% 1961 Berlin Wall story With 95% likelihood the future of In 1969. Dr Gott visit Berlin wall a thing will between 1/39 and and begin to use Copernican 39times as long as its past. principle. Result: in 50%o chance Homo sapiens(200,000 years) the wall will have at least 8/3 years We should last at least 5100 vears but not more than 24 year but less than 7. 8 million years The wall came down on Nov 1989
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true. 例二：Copernican principle Berlin Wall Story In 1969, Dr. Gott visit Berlin wall and begin to use Copernican principle. Result: in 50% chance the wall will have at least 8/3 years but not more than 24 year. The wall came down on Nov. 1989. 1961 With 95% likelihood, the future of a thing will between 1/39 and 39times as long as its past. Homo sapiens (200,000 years) We should last at least 5100 years but less than 7.8 million years
、随机变量与分布函数 随机变量:对一系列事件,如果一些量的数值x:{x1,x2x, 是否出现可以表示其中某事件是否发生,则这些量称为随机变量。 随机变量的分类:随机变/分立随机变量掷硬币,接电话 连续随机变量醉鬼走的距离 分立随机变量 对分立随机变量{x},相应于某随机变量x的概率为P(x,其概 率分布为{P(x)}={P(x1)P(x2)…P(x 概率分布满足归一律∑P(X)=1 随机变量的特征数值:(1)平均值x=∑P(x)x (2)n次矩△x"=(x-x)
二、随机变量与分布函数 随机变量：对一系列事件，如果一些量的数值 是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。 :{ , , , , } 1 2 i x x x x 连续随机变量 分立随机变量 随机变量的分类： 随机变量 掷硬币，接电话 醉鬼走的距离 对分立随机变量 {xi }，相应于某随机变量 xi 的概率为 P(xi ), 其概 率分布为 { ( )} { ( ), ( ), , ( ), } 1 2 = i i P x P x P x P x 随机变量的特征数值：（1）平均值 = i i i x P(x )x （2）n 次矩 n n x = (x − x) 概率分布满足归一律 ( ) =1 i P Xi 1、分立随机变量