《热学》第三章 近平衡态的输运过程

第三章近平衡态的输运过程 (Transportation process near equilibrium) 前两章讨论的都是系统已经达到平衡态后的性质,并不关心系统 是如何从非平衡态到平衡态的。本章讨论这些过程的一个简单情 况:从近平衡态到平衡态。 第一节气体分子的碰撞频率与平均自由程 从麦克斯韦速率分布估算的气体分子平均速率在500ms左右, 但实验中发现一种气体向另一种气体的扩散速率很慢。 解释:气体扩散速率不但与气体平均速率有关,还与粒子碰撞频率 有关。(醉鬼走路)。 给定气体平均速率,粒子碰撞频率越高,其扩散速率越低

第三章 近平衡态的输运过程 (Transportation process near equilibrium) 前两章讨论的都是系统已经达到平衡态后的性质，并不关心系统 是如何从非平衡态到平衡态的。本章讨论这些过程的一个简单情 况：从近平衡态到平衡态。 第一节 气体分子的碰撞频率与平均自由程 从麦克斯韦速率分布估算的气体分子平均速率在500 m/s 左右， 但实验中发现一种气体向另一种气体的扩散速率很慢。 解释：气体扩散速率不但与气体平均速率有关，还与粒子碰撞频率 有关。（醉鬼走路）。 给定气体平均速率，粒子碰撞频率越高，其扩散速率越低

(一)有效碰撞截面与碰撞速度 碰撞截面 由于分子之间有相互作用,当分子B 以相对速度t向分子A靠近时,其 “运动轨迹”与分子A到其入射方向 的垂直距离b(称为瞄准距离)有关 (如图示):b增大,偏折角(出射角)变小。恰好使偏折角为0 的瞄准距离b=d称为分子的有效直径,以d为半径的“圆截面” 称为分子的散射截面,或碰撞截面,记为 0=7 显然刚球的有效直径就是刚球的直径 对有效直径分别为d1,d2的分子碰撞, a=4x(a1+d2)

（一）有效碰撞截面与碰撞速度 碰撞截面 由于分子之间有相互作用，当分子B 以相对速度 向分子A靠近时，其 “运动轨迹”与分子A到其入射方向 的垂直距离 b (称为瞄准距离）有关 对有效直径分别为d1, d2 的分子碰撞， （如图示)： b增大，偏折角（出射角）变小。恰好使偏折角为0 的瞄准距离 b=d 称为分子的有效直径，以d 为半径的“圆截面” 称为分子的散射截面，或碰撞截面，记为 2  = d 2 4 1 2 1  =  (d + d ) u  显然刚球的有效直径就是刚球的直径

相对速度 两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律(两体问题): =F12();m2a2=F1=-F2(2) (1)+(2):(m1v1+m2V2)=0定义质心: m11+m m1+m2 得:(m1+m2),=0质心运动与碰撞无关,不予考虑 dt m12×(1)-m1×(2):m1m2(v1-v2)=(m1+m2)F12 定义折合质量:mn=(m1+m2)m1m2,相对速度:ui= F

相对速度 两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律（两体问题）： (1); (2). 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 F F dt dv F m dt dv m = = = −   (1) + (2): (m1 v1 + m2 v2 ) = 0 dt d   定义质心： 1 2 1 1 2 2 m m m r m r rc + + =    得： ( 1 + 2 ) = 0 dt dv m m c  质心运动与碰撞无关，不予考虑。 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 (1) (2): (v v ) (m m )F dt d m  − m  m m − = +   定义折合质量： ( )/ , mr = m1 +m2 m1 m2 相对速度： 1 2 u v v    = − F12 dt du mr = 

相对速度分布 在同一个地方(x,,a)同时找到速度为v1,V2两分子概率为 f(vx, vv,vi dvdv,dv f(v2x,v2v, v2)dv2 dv2 3/2 e m1v;+-m21 (2ckgT' kT 2 2 容易证明:mn2+m2v (m1+m2 t-m u 又因为 O(,2)a 如,2= y dv dy d,c,d

相对速度分布 在同一个地方 (dx,dy,dz) 同时找到速度为 1 2 v ,v   两分子概率为 x y z x y z B B x y z x y z x y z x y z m v m v dv dv d dv dv dv k T k T m m f v v v dv dv dv f v v v dv dv dv 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3/ 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 2 1 ( 1 exp (2 ) ( ) ( , , ) ( , , )         + − =    容易证明： 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1 m v m v m m vc mr u     + = + + 又因为 1 ( , ) ( , ) 2 2 1 1 1 2 =         =   = c c c v v u v v v u v v u v v J             cx cy cz x y z x y z x y z cx cy cz x y z dv dv dv du du du dv dv dv dv dv dv Jdv dv dv du du du = 1 1 1 2 2 2 =

两分子联合速度分布可写为: (mm2)3 exp m,v2+-m2v2)dvixdvi,di-dv2x dv2 dv2 (2TkgT m1(m1+m、)3/2 2 (2TkgT) exprE D2(m1+mn,)2+m 在全空间对v积分,在对l可取的所有方向积分,得: 3/2 m. u2 f(udu 2 2kpT 2k T 1/2 8k当m=m2时,m=m/2,v=√2v zun

两分子联合速度分布可写为： cx cy cz x y z r B B r x y z x y z B B dv dv dv du du du m m v m v k T k T m m m m v m v dv dv d dv dv dv k T k T m m         + + + − =         + − ) 2 1 ( ) 2 1 ( 1 exp (2 ) ( ) ) 2 1 2 1 ( 1 exp (2 ) ( ) 2 2 2 3 1 2 1 3/ 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3/ 2 1 2       在全空间对 vc 积分，在对 可取的所有方向积分，得：  u  u e du k T m f u du k T m u B r B r 2 2 3/ 2 2 4 2 ( ) −         =   1/ 2 8         = r B m k T u  当 m1 = m2 时， m m/ 2, r = u = 2v

(二)平均碰撞频率与平均自由程 上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个等 价的过程代替。既:一个质量为mn=m1m2(m1+m2)的分子以平 均速率讠在有静止分子组成的气体中运动并与之碰撞。 这个等价分子的运动速率满足麦克斯 。o。 伟分布 3/2 mut f(u)dus m, 2 ckpT 4e 2k T o 可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉 直,形成一个有效直径d为半径的圆简。。。。。以。。。 在筒内的分子都可以与运动分子发生碰 撞

（二）平均碰撞频率与平均自由程 上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个等 价的过程代替。既：一个质量为 的分子以平 均速率 在有静止分子组成的气体中运动并与之碰撞。 /( ) mr = m1 m2 m1 +m2 u 这个等价分子的运动速率满足麦克斯 伟分布 u e du k T m f u du k T m u B r B r 2 2 3/ 2 2 4 2 ( ) −         =   可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉 直，形成一个有效直径 d 为半径的圆筒。 在筒内的分子都可以与运动分子发生碰 撞

在△t时间内运动分子的平 均碰撞数为: Non=(ml2u△t)m 平均碰撞频率为: A Z=dun=verdin=v2ovn 平均自由程为 k T (P=nkB 2on√2nP 单位体积中总碰撞次数为: 1/2 4k T Aa nd -in=nd 12

在 时间内运动分子的平 均碰撞数为： t Ncol ( d u t)n 2 =   平均碰撞频率为： Z d un 2d vn 2vn 2 2 = = = 平均自由程为： ( ) 2 2 1 P nk T P k T Z n v B B = = = =     单位体积中总碰撞次数为： 2 1/ 2 2 2 2 4 2 2 2 1 n m k T Z nZ d vn d B A A       = = =   

例:N2分子在标准情况下 d=0.37m,n=2.7×102°/m3,v=500m/s z=√2m2in=14×3.14×0.372×1018×500×27×1025=82×109/s Z=/Z=500/82×10。=6.1×10-8m 把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为: R=√N×步长 R=√z元=82×10×61×108=55×103√(m/s)

把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为： 8.2 10 6.1 10 5.5 10 ( / ) 9 8 3 R Zt t t m s − − =  =    =  例：N2 分子在标准情况下 d 0.37nm, n 2.7 10 / m , v 500m/s 25 3 = =  = Z 2 d vn 1.4 3.14 0.37 10 500 2.7 10 8.2 10 /s 2 2 18 25 9 = =       =  −  v Z m 9 8 / 500 /8.2 10 6.1 10−  = =  =  R = N 步长

(三)气体分子的自由程分布 设自由程的概率密度函数为f(4)择一个分子在行走了元后不 发生碰撞的几率为: -P(4)=1-f(x)d 在这之后,分子又行走了d没有发生碰撞的几率为1-P(d4) 当12充分小时P(1)=P(O)+ad,P(O)=0有手律子 两事件为独立事件1-P(4+d)=(1-P(4)1-al) P(+d)-P()aP() c[1-P(),P(0)=0 d 解方程得P(4)=1-ea

（三）气体分子的自由程分布 设自由程的概率密度函数为 择一个分子在行走了 后不 发生碰撞的几率为： f ()   − = −     0 1 P( ) 1 f ( )d 在这之后，分子又行走了 d 没有发生碰撞的几率为 1− P(d) 当 d 充分小时 P(d) = P(0) +d, P(0) = 0 没有三分子 碰撞事件 两事件为独立事件 1− P( + d) = (1− P())(1−d) [1 ( )], 0 0 ( ) ( ) ( ) = = − = + − P P ( ) d dP d P d P         解方程得   − P( ) =1−e

dp 概率密度函数f(4) ale 由于∫(4)=Jead(a4)=1归一化条件不能确定a 元=∫0()d=alal C 0 C 平均自由程概率密度函数为 P() f(4)==ex (柏松分布) II+dl

概率密度函数     − = = e d dP f ( ) 由于 ( ) ( ) 1 0 0 = =    −       f d e d 归一化条件不能确定             1 , 1 ( ) 0 0 = = = = −     f d e d     − f = e 1 ( ) 平均自由程概率密度函数为 （柏松分布）  1 P(l) l l +dl l