雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 §33一维双原子链声学波和光学波 维复式格子的情形 维无限长链 和Q两种不同原子:m、M(M>m)构成的一维复式格子 相邻同种原子间的距离为2a-—复式格子的晶格常数。 如图XCH003005所示。 质量为M的原子位于2n-1,2n+1,2n+3…… 质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4……。 牛顿运动方程:"2n=-B(2H1n-H2n-m) Mi2n1=-B(242n+1-2m+2-2n)体系N个原胞,有2N个独立的方程 XCH003005 ioxt-(2na)qI 方程解的形式 Be 2n-42n-2 2n+2 2n+4 因为M>m,复式格子中不同原子振动的振幅 般来说是不同的。 2n-3 2n-1 2n+3 2n+1=Beam回到运动方程得到: moA=B(eg+e-d)B-2BA (2B-ma)A-(2B cosa B=0 Mob=B(eg+e)A-2BB (2Bcosaq)A+(2B-Mo)B=0 若A、B有非零的解,系数行列式满足:/20-mm2 2Bcosag 2B cosa 2B-Mo?/o (m+M) 1±[l sin aq mM m+M) 维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较,ω与q之间存在着两种不同的色散关系 维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 §3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形_____一维无限长链 —— P 和 Q 两种不同原子：m、M（M>m）构成的一维复式格子 —— 相邻同种原子间的距离为 2a—— 复式格子的晶格常数。 如图 XCH003_005 所示。 质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程： (2 ) (2 ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n n M m µ β µ µ µ µ β µ µ µ = − − − = − − − + + + + − —— 体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程 方程解的形式： [ (2 1) ] 2 1 [ (2 ) ] 2 i t n aq n i t na q n Be Ae − + + − = = ω ω µ µ 因为 M > m ，复式格子中不同原子振动的振幅一 般来说是不同的。 将 带回到运动方程得到： [ (2 1) ] 2 1 [ (2 ) ] 2 i t n aq n i t na q n Be Ae − + + − = = ω ω µ µ ⎭ ⎬ ⎫ − + − = − − = ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − = + − − = + − − − (2 cos ) (2 ) 0 (2 ) (2 cos ) 0 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 aq A M B m A aq B M B e e A B m A e e B A iaq iaq iaq iaq β β ω β ω β ω β β ω β β 若 A、B 有非零的解，系数行列式满足： 0 2 cos 2 2 2 cos 2 2 = − − − − β β ω β ω β aq M m aq 1 2 2 2 2 ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M ω β + = ± − + 一维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较，ω与 q 之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波 REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 两种不同的格波的色散关系: XCH00300601 o?=B(m+M) 4mλ Optical phonon branch r1-/-~4mM (m+M) (m+M)2? 如图XCH003_00601所示。 Acoustical phonon branch 格波的振幅 将o2和2分别代AOB-m2)A-(2 Bosau)B=0 (2B cosa)A+(2B-Mo)B=0 得到() mo2-2B和(B)=m02-2B 2Bcosaq 2B cosag 相邻原胞之间的位相差:2aq 为了保证波函数的单值性,一维复式格子q的值限制在:-丌<2aq≤丌 第一布里渊区 第一布里渊区大小 h 采用周期性边界条件:N(2aq)=2mh,q=-,2x--h为整数 2aM 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许q的数目:x/z=N一晶格中的原胞数目 a na 对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波 一总的格波数目为2N,为原子的数目2N。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 两种不同的格波的色散关系： 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) ( ) 4 {1 [1 sin ] } ( ) m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ω β ω β + − + = + − + + = − − + 如图 XCH003_006_01 所示。 格波的振幅 将 和 分别代入 2 ω+ 2 ω− (2 cos ) (2 ) 0 (2 ) (2 cos ) 0 2 2 − + − = − − = aq A M B m A aq B β β ω β ω β 得到 aq m A B 2 cos 2 ( ) 2 β ω − β = − + + 和 aq m A B 2 cos 2 ( ) 2 β ω − β = − − − 相邻原胞之间的位相差： 2aq 为了保证波函数的单值性，一维复式格子 q 的值限制在： −π < ≤ 2aq π a q 2a 2 π π − < ≤ —— 第一布里渊区 —— 第一布里渊区大小： a π 采用周期性边界条件： N(2aq) = 2πh ， 2π 2aN h q = —— h 为整数 —— 每个波矢在第一布里渊区占的线度： Na q π = —— 第一布里渊区允许 q 的数目： / N a Na π π = —— 晶格中的原胞数目 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为 2N，为原子的数目 2N。 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 色散关系的特点 XCH300601 Optical ph 当q→±(布里渊边界)——短波极限情况 两种格波的频率 Acoustical phonon branch (o)m=(,)2{(m+M) 2{(m+M)+(M-m)}2=( M 因为M>m,所以:(1)m>(0)m,可见在(O,)m>O>(0)=时没有格波。 (4)m~()-之间的频率范围叫频率隙 一维双原子晶格叫做带通滤波器。如图XCH003_00601所示。 rq→0-一长波极限情况 声学波 (m+M) 4mM 4mM sin aq12) in2(ag)<<1 mM (m+M) (m+M)2 利用x<<1, 整理后得到:O 2B sin(ga B 的色散关系与一维布喇菲格子的情形形式上是相冋的 由完全相同原子所组成的布喇菲格子只有声学波 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 色散关系的特点 当 a q 2 π → ± (布里渊边界) —— 短波极限情况 两种格波的频率： 2 1 2 1 2 1 min 2 1 2 1 2 1 max ) 2 ( ) ( ) {( ) ( )} ( ) 2 ( ) ( ) {( ) ( )} ( m m M M m mM M m M M m mM β β ω β β ω = + + − = = + − − = + − 因为 M＞m，所以： min max ( ) ( ) ω+ > ω− ，可见在 min max ( ) ( ) ω+ > ω > ω− 时没有格波。 min max ( ) ~ ( ) ω+ ω− 之间的频率范围叫频率隙 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器。如图 XCH003_006_01 所示。 q → 0 ——长波极限情况 声学波 sin ] } ( ) 4 {1 [1 ( ) 2 1 2 2 2 aq m M mM mM m M + − − + ω− = β —— sin ( ) 1 ( ) 4 2 2 << + aq m M mM 利用 x << 1， x x 2 1 1− =1− 整理后得到： sin( ) 2 qa m + M − = β ω q m M a + − ≈ β ω 2 —— ω− 的色散关系与一维布喇菲格子的情形形式上是相同的 —— 由完全相同原子所组成的布喇菲格子只有声学波 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 B、_mO2-2B 将q=0,1=0代入()= 2Bcosaq 得到 原胞中两个原子振动振幅相同,如图XCH00300602所示 在长声学波中相邻原子振动方向相同,并且振幅相同,它代表的是原胞质心的振动。如图 XCH00300602所示。 Long Acoustical Wa ave XCH003_00603 Long Optical Wave M XCH00300602 光学波 {1+[1- (m+M)2 sin aq]) 4mM (m+M)2 2(aq)<<1 当q→0波长根大时:0.=2B, fective Mass 将as2B 和cocg→1代入()= 0+-2B 得到:() 长光学波中同种原子振动位相一致,相邻原子振动方向相反 原胞质心保持不变的振动,原胞中原子之间的相对运动。如图XCH00300603所示。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 将 0, 0 q = ω1 = 代入 aq m A B 2 cos 2 ( ) 2 β ω − β = − − − 得到：( )− =1 A B —— 原胞中两个原子振动振幅相同，如图 XCH003_006_02 所示。 —— 在长声学波中相邻原子振动方向相同，并且振幅相同，它代表的是原胞质心的振动。如图 XCH003_006_02 所示。 光学波 sin ] } ( ) 4 {1 [1 ( ) 2 1 2 2 2 aq m M mM mM m M + + − + ω+ = β —— sin ( ) 1 ( ) 4 2 2 << + aq m M mM ______ q → 0 当 q → 0(即波长λ很大)时： Effective Mass m M mM + + ≈ µ = µ β ω , 2 将 µ β ω 2 + ≈ 和cosaq →1代入 aq m A B 2 cos 2 ( ) 2 β ω − β = − + + 得到： M m A B ( )+ = − —— 长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原子振动方向相反 —— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间的相对运动。如图 XCH003_006_03 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 例题在一维复式格子中,如果m=5×167×10-271M=4,B=15N/m,计算 1)光学波频率的最大值o和最小值oon,声学波频率的最大值on 2)相应声子的能量E0、Emn和Em 3)在T=300K下,三种声子数目各为多少? 4)如果用电磁波激发光学波,要激发om的声子所用的电磁波波长在什么波段? 解:1)声学波的最大频率:a42Bo4=3×10rad/s max 光学波的最大频率 B =0.2M,D 67×104rad/ m+M M 光学波的最小频率:omn=2B,ao28=6×104rds 2)相应声子的能量EO=ho,E0=044F:En=hoon,Eon=0396e EA=tho. EA=0. 198ev 3)一个频率为o的谐振子具有激发能En=(n+)O的几率:P=Ce1 根据归一化条件∑Pn=∑Ce=1--C -nho/kgT P Se-E,ke 利用∑x"=(1-x)-,得到P=cmk(1-e-h) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 例题 在一维复式格子中，如果 5 1.67 10 g ， 27 m k － = × × = 4 m M ， β = 15 N / m ，计算 1) 光学波频率的最大值 和最小值 ，声学波频率的最大值 ； O ω max O ω min A ω max 2) 相应声子的能量 、 和 ； O Emax O Emin A Emax 3) 在T = 300 K 下，三种声子数目各为多少？ 4) 如果用电磁波激发光学波，要激发 的声子所用的电磁波波长在什么波段？ O ω max 解：1）声学波的最大频率： M A β ω 2 max = ， rad s A 3 10 / 14 ω max = × 光学波的最大频率： µ β ω 2 max = O ， M m M mM = 0.2 + µ = ， rad s M O 6.7 10 / 2 5 14 max = = × β ω 光学波的最小频率： m O β ω 2 min = ， rad s M O 6 10 / 2 2 14 min = = × β ω 2）相应声子的能量 , ; O O Emax = =ω max E eV O max = 0.442 O O Emin min 2 1 = =ω ， E eV O 0.396 min = A A Emax max 2 1 = =ω ， E eV A max = 0.198 3）一个频率为ω的谐振子具有激发能ε )=ω 2 1 n = (n + 的几率： k T n Ce n B P −ε / = 根据归一化条件 1 —— / ∑ = ∑ = − n k T n n Ce n B P ε ∑ − = n n kBT e C / 1 ε ∑ − − = n k T k T n n B n B e e P / / ε ε ， ∑ − − = n n k T n k T n B B e e P / / ω ω = = 利用 ，得到 1 (1 ) − ∑x = − x n n (1 ) n / k T / k T n B B P e e − =ω −=ω = − REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 能量为,=(+2)O谐振子的平均能量:=∑5 E=∑(n+o,E=加o+(1-e-bb)ho∑nem 利用∑mx"= x 得到E=-h+ 又因为处于简正频率为O(q)振子平均能量:E=(n1(q)+=ha(q) 可见处于第,q态的声子平均数:n(9)=1 在7=306下,光学波频率O0的声子数目:n(0)=-1 将kBT=0.026e和Em=0.442e代入:mm(om) no(o)=414×103 光学波频率on的声子数目:nmn(on)= n(n(on)=242×107 声学波频率Om的声子数目:na(Om) nm141,am(Onm)=493×10 4)如果用电磁波激发光学波,要激发ω¤、的声子所用的电磁波波长在什么波段? 因为E=0442e,对应电磁波的波长为4=2.8m 要激发Omx的声子所用的电磁波波长在近红外线波段( Near infrared)(MR REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 能量为ε )=ω 2 1 n = (n + 谐振子的平均能量： = ∑n nPn ε ε 1 ( ) n 2 ε = + ∑ n =ω ， ∑ − − = + − n kBT n kBT e ne / / (1 ) 2 1 ω ω ε ω ω = = = = 利用 2 (1 x) x nx n n − ∑ = ，得到 2 1 1 / − = + kBT e ω ω ε ω = = = ， / 1 1 ( ) 1 2 Bk T e ω ε = + ω − = = 又因为处于简正频率为 (q) ωi 振子平均能量： 1 ( ( ) ) ( ) 2 i i ε ω = + n q = q —— 可见处于第i, q 态的声子平均数： / 1 ( ) 1 B i k T n q e ω = − = 在T = 300 K 下，光学波频率 的声子数目： O ω max 1 1 ( ) max max max / − = k T O O B O e n ω ω = 将 kBT = 0.026 eV 和 E eV 代入： O max = 0.442 1 1 ( ) 0.026 max max 0.442 − = e n O O ω -8 max ( max ) = 4.14 ×10 O O n ω 光学波频率 的声子数目： O ω min 1 1 ( ) min min min / − = k T O O B O e n ω ω = ， -7 min min ( ) = 2.42 ×10 O O n ω 声学波频率 的声子数目： A ω max 1 1 ( ) max max max / − = k T A A B A e n ω ω = ， -4 max ( max ) = 4.93×10 A A n ω 4）如果用电磁波激发光学波，要激发 的声子所用的电磁波波长在什么波段？ O ω max 因为 E eV ，对应电磁波的波长为 O max = 0.442 λ = 2.8 µm —— 要激发 的声子所用的电磁波波长在近红外线波段（Near Infrared）(NIR) O ω max REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH