固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 §39晶格振动模式密度 在晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动,不同频率的振动模式其能量是不同的。 对于给定的晶体,总的振动模式数目是一定的,按振动频率有一个分布一一用晶格振动模式密度 来描述。 如果知道了晶格振动模式密度,就可以对所有振动模进行求和,进而研究晶格热容,以及某些晶体 的电学、光学性质。 晶格振动模式密度 单位频率间隔,振动模式的数目:g(o)=lim △m→0△O 在q空间,晶格振动模是均匀分布的,密度 根据o(q)= Cons tan t做出一个等频率面,两个等频率面O和O+△之间的振动模式数目: △n dso 图XCH003015所示 XCH003015 频率为q的连续函数:△O=|V,o(q)4 将 /%,ong v I dsdp +4 (2r)va(q) ds,△n=[ qpace (2x)3V。o(q) 振动模式密度函数:g(O)= )Jvo( 简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链(长度L=Na) 一维原子链的色关系:=)4Nm q 其中On=是最大频率 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 §3.9 晶格振动模式密度 —— 在晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动，不同频率的振动模式其能量是不同的。 对于给定的晶体，总的振动模式数目是一定的，按振动频率有一个分布 —— 用晶格振动模式密度 来描述。 如果知道了晶格振动模式密度，就可以对所有振动模进行求和，进而研究晶格热容，以及某些晶体 的电学、光学性质。 晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔，振动模式的数目： 0 ( ) lim n g ω ω ∆ → ω ∆ = ∆ 在 q 空间，晶格振动模是均匀分布的，密度 3 (2 ) V π 根据ω( ) q = Constan t 做出一个等频率面，两个等频率面ω 和ω + ∆ω 之间的振动模式数目： 3 (2 ) V n d π ∆ = ∫ sdq —— 如图 XCH003_015 所示 频率为 q 的连续函数： ( ) q ∆ = ω ω ∇ q dq 将 ( ) q dq q ω ω ∆ = ∇ 代入 3 (2 ) V n d π ∆ = ∫ sdq 3 (2 ) ( ) q V n ds q ω π ω ∆ ∆ = ∇∫ ， 3 [ ] (2 ) ( ) q V ds n q ω π ω ∆ = ∆ ∇∫ 振动模式密度函数： 3 ( ) (2 ) ( ) q V ds g q ω π ω = ∇∫ 简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链（长度 L = Na ） 一维原子链的色散关系： 4 sin( ) 2 aq m β ω = ， sin( ) 2 m aq ω ω= —— 其中 4 m m β ω = 是最大频率 REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 L 振动模式密度g(O)= 简化为:g(O)= (2r)Vo(q) 考虑到一个频率可以有土q值,g(O)=2 2丌V。o(q) aom cos ag). v o(g) Vo(a)="mcos( -2)-si1m 2N g(o) 也可以由q空间的状态密度来计算 dg, dn da 状态密度 =2 do,利用O= Om sine( 2 g(o)=,g(o) 结果是一致的 德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢q成正比:O=cq,V9O(q) 振动模式密度g()= (2xNx(0=F14m2,o)=2r (2n) 色散关系:O=cg2 三维晶体中(体积)情况,q空间的等频率面是一个球面,球面面积:s=4丌q Vgo(q)=2 振动模式密度8() ds=4丌q (2r)Voq) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 振动模式密度 3 ( ) (2 ) ( ) q V ds g q ω π ω = ∇∫ 简化为： 1 ( ) 2 ( ) q L g q ω π ω = ∇ 考虑到一个频率可以有 ±q 值， 1 ( ) 2 2 ( ) q L g q ω π ω = × ∇ ( ) cos( ) 2 2 m q a aq q ω ∇ = ω ， 2 ( ) 1 sin ( ) 2 2 m q a a q ω ∇ = ω − q ， 2 2 ( ) 2 q m a ∇ = ω q ω ω− 2 2 2 1 ( ) m N g ω π ω ω = − 也可以由 q 空间的状态密度来计算 状态密度： 2 L π ， 2 2 L dn dq π = × ， 2 2 L dq dn d d ω π ω = × ，利用 sin( ) 2 m aq ω ω= ( ) L dq g d ω π ω = ， 2 2 2 1 ( ) m N g ω π ω ω = − —— 结果是一致的 德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢 q 成正比：ω = cq ， ( ) q ∇ = ω q c 振动模式密度 3 ( ) (2 ) ( ) q V ds g q ω π ω = ∇∫ ， 2 3 1 ( ) 4 ( ) (2 ) V g c c ω ω π = π ， 2 2 3 ( ) 2 V g c ω ω π = 色散关系： 2 ω = cq 三维晶体中（体积 V）情况，q 空间的等频率面是一个球面，球面面积： 2 s q = 4π —— ( ) 2 q ∇ = ω q cq 振动模式密度 3 ( ) (2 ) ( ) q V ds g q ω π ω = ∇∫ ， 3 ( ) (2 ) 2 V d g cq ω π = s ∫ —— 2 ds = 4π q ∫ REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 g(o) (2r)2cg.g(0)=l (2x)22,将q==代入得到 (2z)2c2 二维晶体(晶体面积S)情况,q空间等频率的点构成一个圆:ds→>dl,4zq>2丌q 振动模式密度8()=、S S2丌 0)= (2n)2]V。o(q) g() L I 一维晶体(晶体长度L)情况:q空间,g()=2 丌2cq 可见色散关系为O=cq2时 三维情况振动模式密度:g(o)~o2 二维情况振动模式密度:g(o)~o 一维情况振动模式密度:g(o)~o-12 在VO(q)=0的一些点一一范霍夫奇点,是晶体中一些高对称点(布里渊区边界) 例如:一维原子链的色散关系:O= Om, sine( V,(q)=0nkos,在q=±x,vpa(0)→0 这些临界点与晶体的对称性密切相联。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 2 3 4 ( ) (2 ) 2 V q g cq π ω π = ， 2 ( ) (2 ) V q g c ω π = ，将 q c ω = 代入得到 —— 2 3/ 2 ( ) (2 ) V g c ω ω π = 二维晶体（晶体面积 S）情况，q 空间等频率的点构成一个圆： 2 ds → → dl, 4π q 2π q 振动模式密度 2 ( ) (2 ) ( ) q S dl g q ω π ω = ∇∫ ， 2 2 ( ) (2 ) 2 S q g cq π ω π = —— ( ) 4 S g c ω π = 一维晶体（晶体长度 L）情况：q 空间， 1 ( ) 2 2 ( ) q L g q ω π ω = × ∇ ， 1 ( ) 2 L g cq ω π = —— ( ) 2 L g c ω π ω = 可见色散关系为 时2 ω = cq 三维情况振动模式密度： 1/ 2 g( ) ω ~ ω 二维情况振动模式密度： 0 g( ) ω ~ ω 一维情况振动模式密度： 1/ 2 g( ) ω ω~ − 在 ( ) 0 q ∇ ω q = 的一些点—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界）。 例如：一维原子链的色散关系： sin( ) 2 m aq ω ω= ( ) cos( ) 2 2 m q a a q ω ∇ = ω q ，在 q a π = ± ， ( ) 0 q ∇ ω q → —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH