第六章自由电子费米气体 (金属自由电子论) §1.金属自由电子论的物理模型 1. Drude的金属自由电子论 Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体,服从波尔兹曼分 布(速度分布),与中性稀薄气体亠样 去处理,认为电子之间无相互作用, 同时也不考虑离子实势场的作用,这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的
第六章 自由电子费米气体 (金属自由电子论) §1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论 Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑离子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的
这套理论有以下基本假设: 〈1〉金属晶体中的这些传导电子除了与 离子实的碰撞之外,不受任何离子实的作 用,也就是忽略了离子实与传导电子之间 的相互作用,这种近似称为自由电子近似 如果忽略了离子实与传导电子之间的 相互作用,同时又忽略了电子与电子之间 的相互作用,成为独立电子近似。 〈2〉传导电子简单地和正离子相碰撞 (受正离子实的散射),每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度
这套理论有以下基本假设： 〈1〉金属晶体中的这些传导电子除了与 离子实的碰撞之外，不受任何离子实的作 用，也就是忽略了离子实与传导电子之间 的相互作用，这种近似称为自由电子近似。 如果忽略了离子实与传导电子之间的 相互作用，同时又忽略了电子与电子之间 的相互作用，成为独立电子近似。 〈2〉传导电子简单地和正离子相碰撞 (受正离子实的散射)，每次碰撞都急剧地 改变传导电子的速度
〈3〉电子与离子实在单位时间中相碰撞的几 率为1/,在dt时间内相碰撞的几率为t/ T称为弛豫时间,即电子在两次连续碰撞之 间所经历的时间间隔 4〉传导电子通过与正离子实的碰撞而和周 围的环境达到热平衡,每次碰撞后电子都以 新的面貌出现,碰撞后的速度是随机的,碰 撞后的速度与碰撞时的地点和时间有关,而 与碰撞前的状态无关 〈3〉、〈4〉两条又称为弛豫时间近似
〈3〉电子与离子实在单位时间中相碰撞的几 率为1/τ，在dt时间内相碰撞的几率为dt/τ。 τ称为弛豫时间，即电子在两次连续碰撞之 间所经历的时间间隔。 〈4〉传导电子通过与正离子实的碰撞而和周 围的环境达到热平衡，每次碰撞后电子都以 新的面貌出现，碰撞后的速度是随机的，碰 撞后的速度与碰撞时的地点和时间有关，而 与碰撞前的状态无关。 〈3〉、〈4〉两条又称为弛豫时间近似
2. Sommerfeld的自由电子论 这种理论认为传导电子不应 看作经典粒子气体,而应当看作 自由电子费米气体。忽略传导电 子与离子实之间的相互作用,忽 略传导电子之间的相互作用,这 种自由电子气体服从费米一狄喇 克统计规律
2．Sommerfeld的自由电子论 这种理论认为传导电子不应 看作经典粒子气体，而应当看作 自由电子费米气体。忽略传导电 子与离子实之间的相互作用，忽 略传导电子之间的相互作用，这 种自由电子气体服从费米—狄喇 克统计规律
传导电子在金属中自由运动,电子与 电子之间有很强的排斥力,电子与离子实 之间有很强的吸引力。 Sommerfeld自由电 子理论认为把离子实的电荷抹散成一个正 电荷背景(这样周期势场就不存在了)好象 “凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹 是为了补偿传导电子之间的排斥作用,以 至于使得这些传导电子不至于因为彼此之 间很强的排斥作用而从金属晶体中飞溅出 去,这就相当于“凝胶”模型
传导电子在金属中自由运动，电子与 电子之间有很强的排斥力，电子与离子实 之间有很强的吸引力。Sommerfeld自由电 子理论认为把离子实的电荷抹散成一个正 电荷背景(这样周期势场就不存在了) 好象 “凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹 是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以 至于使得这些传导电子不至于因为彼此之 间很强的排斥作用而从金属晶体中飞溅出 去，这就相当于“凝胶”模型
按照 Sommerfeld模型,电子在正 电荷的背景中运动不受正电荷的散射, 电子所受到的散射纯粹来自周期结构 的破坏与偏离,这些散射是 (1)电子与声子的碰撞。离子实固定 在阵点上是不散射电子的,只有离子 实在平衡位置附近振动才会产生声子, 才会出现声子与电子的碰撞
按照Sommerfeld模型，电子在正 电荷的背景中运动不受正电荷的散射， 电子所受到的散射纯粹来自周期结构 的破坏与偏离，这些散射是： （1）电子与声子的碰撞。离子实固定 在阵点上是不散射电子的，只有离子 实在平衡位置附近振动才会产生声子， 才会出现声子与电子的碰撞
(2)电子与夹杂缺陷的散射 由于夹杂缺陷的存在破坏 了晶体的周期势场,因而会 引起散射
(2)电子与夹杂缺陷的散射 由于夹杂缺陷的存在破坏 了晶体的周期势场， 因而会 引起散射
3)电子与电子之间的散射 这是由泡利原理引起的, 几率很小
（3）电子与电子之间的散射 这是由泡利原理引起的， 几率很小
§2.能级和轨道密度 维能级和轨道 若有一长为L的样品,写出其中传导电子的 薛定锷方程为 Hy,(x)=c,(x) H 2m 维自由电子气体的定态薛定锷方程为: 2m dr2 y,(x)=cnvn(x) 子22m8y 令 则方程变为: ky (x=0
§2. 能级和轨道密度 1. 一维能级和轨道 若有一长为L的样品,写出其中传导电子的 薛定锷方程为: 一维自由电子气体的定态薛定锷方程为: 则方程变为： x p i m P H H x x n n n = = − = 2 ˆ ( ) ( ) ˆ 2 ψ ε ψ ( ) 0 ( ) 2 2 2 + k x = dx d x n n ψ ( ) ε ψ ( ) 2 2 2 2 x x dx d m − n = n n 2 2 2 m n k ε 令 =
解此方程的边界条件有两种选法: 1>固定边界条件 vn(0)=v(L)即电子不能跑到晶体外边去 在固定边界条件下,薛定锷方程的解具有驻 波形式,而能量的本征值: En 2m L n为正整数 yn (x)=Asin kx k 1元 n=1.2.3
解此方程的边界条件有两种选法： 固定边界条件 即电子不能跑到晶体外边去。 在固定边界条件下，薛定锷方程的解具有驻 波形式，而能量的本征值： n为正整数 (0) (L) n = n ( ) = sin = n =1.2.3...... L n x A k x k n ψ π 2 2 ( ) 2 L n m n π ε =