第七章能带I s1、近自由电子模型 1.近自由电子模型 近自由电子模型认为:电子在晶体中 要受周围势场的作用,但这个势场的 平均势场是一个很微弱的势场,平均 势场是周期势场∪()=UG+7),由于UG) 很弱,可以用量子力学中的微扰论来 处理,这时 Shodinger方程中的哈密顿 量既有动能又有势能
(r) (r T) (r)
H P+∪ ∪(F)=U(F+7) 2m 这里U() 2m 这样可用自由电子 的波函数代替电子的零级波函数,用 微扰论求解 Shodinger方程,这样一种 物理模型称之为近自由电子模型或准 自由电子模型,这也就是 Sommuefeld 的自由电子模型再加上弱周期势的修 正
( ) ( ) ( ) 2 2 r r r T mP H mp r 2 ( ) 2
2、能隙的起因 对于一维点阵(点阵常数为a 电子的波函数平=e若k远离Bz边界时 (即k≠n时),电子波不受 Bragg 反射,从各原子散射的波没有确定的 位相关系,对入射波的传播无什么影 响,与x-ray在晶体中的传播是相同的
ikx e n a k π
但当k=±n时,如k=,此时平面 波y=ck满足Brag条件,波程差为 2a,相位差为2π,从相邻的原子反 射的波有相同的位相,发生相长干涉, 产生向反方向传播的波x,这个 波同样受到其近邻原子的 Bragg反射, 再一次反向,这样就形成了向相反方 向传播的两列行进波,平衡时两波叠 加形成驻波
x a i e a k n a k π ikx e
有两种形态的驻波: p(+)=e a +e a=2 cos p(=e -e a=isin 这是由自由电子的行波在Bz边界上的 Bragg 反射而形成的,两个驻波使电子聚积在不同 的区域内。 N(+)2=p(+)cos3 ( cc SIn
a x e e x a x i a i () 2cos a x e e i x a x i z i () 2 sin x a π ρ 2 2 () （） cos x a π ρ 2 2 （） （） sin
(+
下面我们分别计算一下这两种情况下 电子的平均能量。 p(+)这种分布时的能量低,p(-) 分布时能量高,电子的平均能量是不同的 没有周期势场的E-k曲线是一条抛物线, 在有周期势场存在时,在Bz边界上分裂成 两个波函数,相应的能量也分成两个 个E、一个E,可以证明,对平(+的电子的 能量与屮()的电子的能量是不同的,这个 能量差就是能隙,这个能隙就是所谓的禁 带
() ()
为简单起见,我们考虑势场是谐和势(简 谐势) U(x)=ncos2zx对于L=1的单位晶体 平(+)=√2 cosx平(-)=√2 丌 sin-x √2为归一化因子,对p(+).p 算平均能量 p(+) p (+)u(x)dx p p (-)u(x)dx ∫p(+)vxk-」9(-)(x)h
x a x u 2 ( ) cos () 2 cos x a () 2 sin x a 2 1 0 u(x)dx 1 0 u(x)dx Eg 1 0 u(x)dx 1 0 u(x)dx
丌 cOS sin x)cos-xdx a k 2π3丌 aa
2u 10 x a 2 cos x a 2 sin xdx a2 cos u
