第四章(声子I)点阵振动 §1一—维原子链的点阵振动 1.简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附 近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基 础之上的,所谓简谐近似即认为振动是小振 动,振幅很小,这种振动的位移与力之间是 满足线性关系的 F=-CX
第四章（声子Ⅰ）点阵振动 §1.一维原子链的点阵振动 1.简谐近似 这一章我们要考虑原子在平衡位置附 近的振动。这种考虑是建立在简谐近似的基 础之上的，所谓简谐近似即认为振动是小振 动，振幅很小，这种振动的位移与力之间是 满足线性关系的。 F=-cx
从能量的角度来看,认为原子 间有了相对位移后,两原子间 的相互作用势也有了变化 将势能展开成级数: u=uo+(ou 2 0x2 5ot
从能量的角度来看，认为原子 间有了相对位移后，两原子间 的相互作用势也有了变化 将势能展开成级数： 2 0 2 2 2 2 0 2 1 x x x x u c x x u x x u u u O O （ ） （ ） （ ） = + + = +
u st p p
2.一维单原子点阵的运动方程和色 散关系 维单原子点阵在每个阵点上 只有一个原子,第s个原子相对于 它平衡时的位移是Us。第s个原 子所受到的来自第s+p个原子的作 用力与它的对位移l-成正比
2.一维单原子点阵的运动方程和色 散关系 一维单原子点阵在每个阵点上 只有一个原子，第s个原子相对于 它平衡时的位移是Us。第ｓ个原 子所受到的来自第s+p个原子的作 用力与它的对位移 us −us+ p 成正比
第s个原子所受到的力等于所有原子作用力 的总和: ∑ tp Mu=∑cn( (S=12.3.… 当s取不同值时,上述方程为一方程组代 表各个原子的位移和运动
第s个原子所受到的力等于所有原子作用力 的总和： Mus = 当s取不同值时，上述方程为一方程组代 表各个原子的位移和运动。 （ s s p ） p s p F c u u = − − + c u u s 1.2.3.......N) s p s p （p + − ） （ =
原子在平衡位置附近的小振动可 看作是耦合的简谐振子的运动。这种 耦合谐振子可以通过正则变换化成 组独立的无相互耦合的简谐振动的运 动。经过这样变换的每一个独立的谐 振子代表简正模式,点阵振动的简正 模式是指有一定频率、一定波矢的平 面波,第s个原子的位移按简正模式解 可写成: u =u(o eicot-ska
原子在平衡位置附近的小振动可 看作是耦合的简谐振子的运动。这种 耦合谐振子可以通过正则变换化成一 组独立的无相互耦合的简谐振动的运 动。经过这样变换的每一个独立的谐 振子代表简正模式，点阵振动的简正 模式是指有一定频率、一定波矢的平 面波，第s个原子的位移按简正模式解 可写成： （ ） i（ t ska） s u u e − − = 0
这也就是频率为ω,波矢为k 的平面波对第s个原子位移的贡 献。这个平面波称之为格波, 把寻求到的运动方程的解带入 运动方程就能找出ω与k的关系 即所谓色散关系
这也就是频率为ω,波矢为k 的平面波对第s个原子位移的贡 献。这个平面波称之为格波， 把寻求到的运动方程的解带入 运动方程就能找出ω与k的关系 即所谓色散关系
(其中u=00如u带入运动方程得: 将 (0) i(wt+ka) Mo=∑qen-e1n 约去两边相同的因子得: 0M mp-1) P P e代表第s+p个原子的位移的位相差
将 带入运动方程得： （其中u =u ） M 约去两边相同的因子得： 代表第s+p个原子的位移的位相差。 i wt ka ika s u = u e = ue − ( + ) (0) i t e − （0） ue C e e u i s p ka iska p p iska [ ]. 2 = − + （ ） 2 = − （ ipka −1） p p M c e ipka e
由于点阵有平移对称性(tp原子与-p原子 的力常数相等)。Gp=Cp 则 M=-∑Cn(e-1)+∑ p≥0 p≥0 ∑ er+e 利用欧拉合成化简可得: 2 ∑ ≥0 这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用 后得到的格波的频率与波矢所满足的关系
由于点阵有平移对称性（+p原子与-p原子 的力常数相等）。Cp=C-p 则 =- 利用欧拉合成化简可得： 这就是一维单原子晶考虑了所有原子的作用 后得到的格波的频率与波矢所满足的关系。 [ 1 1 ] 0 0 2 = − （ − ）+ （ − − ） − ipka p p ipka p p M C e C e （ 2） 0 + − − ipka ipka p p C e e c（ pka） m p p 1 cos 2 0 2 = −
通常只考虑最近邻原子的作用(最近邻近 似) C P=1 P>1 则色散关系变为: C (-cos ka) M 或 4c O I sin ka l M
通常只考虑最近邻原子的作用（最近邻近 似）： 则色散关系变为： 或 = = 0 1 1 P C P cP ２ ＝ （ k a） M c 1 cos 2 − k a｜ M c 2 1 | sin 4 =