固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 §3.8晶体热容的量子理论 dE 固体的定容热容:Cr=()r E固体的平均内能 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量。 实验结果表明在低温下,金属的热容:C=yT+AT3 电子对热容的贡献 晶格振动对热容的贡献。在温度不是太低的情况,电子对热容贡献小,可以忽略不计。 晶格振动对热容的贡献 根据经典理论一个简谐振动平均能量为kBT。 如果固体有N个原子,总的平均能量:E=3NkT OE、 摩尔原子热容:C=(- C=3R——杜隆一珀替定律 实验表明在低温时,热容量随温度迅速趋于零。 晶格振动的量子理论 先考虑一个频率为o的振动模组成的子体系对热容的贡献。 子体系由一系列量子能级E,=(n+)h0,组成—n,量子数 子体系处于量子能级为E=(n+加o的概率:P=Ce 根据归一化条件∑P1=∑Ce ∑e/7 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 §3.8 晶体热容的量子理论 固体的定容热容： V V T E C ( ) ∂ ∂ = —— E 固体的平均内能。 —— 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量。 实验结果表明在低温下，金属的热容： 3 C T V = + γ AT γT —— 电子对热容的贡献 3 AT —— 晶格振动对热容的贡献。在温度不是太低的情况，电子对热容贡献小，可以忽略不计。 晶格振动对热容的贡献 根据经典理论一个简谐振动平均能量为 kBT 。 如果固体有 N 个原子，总的平均能量： E = 3NkBT 摩尔原子热容： V V T E C ( ) ∂ ∂ = CV = 3R —— 杜隆—珀替定律 —— 实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零。 晶格振动的量子理论 先考虑一个频率为ωj的振动模组成的子体系对热容的贡献。 子体系由一系列量子能级 1 ( ) 2 E n j j = + ω j = 组成 —— nj 量子数 子体系处于量子能级为 1 ( ) 2 E n j j = + ω j = 的概率： / j B j E k T P C n e − = 根据归一化条件 / 1 j B j j E k T n n n P Ce − ∑ ∑= = —— / 1 j B j E k T n C e − = ∑ REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 E kgT P P 利用∑x”=(1-x)-,得到P=e”(1-e) 能量为E=(1+2)a谐振子的平均继量:E=>EP E=∑(n+h,E=h0+(-eh∑ne 利用∑nx"= (1-x)2,得到E,=加+、ho1 频率为o的振动模的平均能量E,= ho 频率为ω的振动模对热容的贡献 dE 与晶格振动频率和温度有关系 高温极限kB7>>h he,/kgr Cr≈kB--为常数 低温极限kBT<<hm REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 / / j B j j B j E k T n E k T n e P e − − = ∑ ， / / j j B j j j B j n k T n n k T n e P e ω ω − − = ∑ = = 利用 ，得到 1 (1 ) − ∑x = − x n n / / (1 ) j j B j B j n k T k T P e n e − − ω ω = − = = 能量为 1 ( ) 2 E n j j = + ω j = 谐振子的平均能量： j j j j n E E = ∑ Pn 1 ( ) 2 j j j n j E n = + ∑ =ω ， 1 / / (1 ) 2 j B j j B j k T n k T j j j j n E e n e ω ω ω ω − − = + − ∑ = = = = 利用 2 (1 x) x nx n n − ∑ = ，得到 / 1 2 1 j B j Ej j k T e ω ω = + ω − = = = 频率为ωj的振动模的平均能量 / 1 1 ( ) 1 2 j B Ej j k T e = + ω ω − = = 频率为ωj的振动模对热容的贡献 V j V dT dE C = ( ) / 2 2 / ( 1) ( ) − = k T k T B j V B j B j B e e k T C k ω ω ω = = = —— 与晶格振动频率和温度有关系 —— 高温极限 BT j k >> =ω 2 2 2 / 2 2 / ( ) ] 2 1 [ ( ) (1 ) ( 1) ( ) " = = " = = = = = k T k T k T k T k e e k T C k B j B j B j B j k T B k T B j V B j B j B ω ω ω ω ω ω ω + + + = − = V B C ≈ k —— 为常数 —— 低温极限 BT j k << =ω REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 j2。hoy/kaT he,/k 1)2 当T→>0,Cp→0 所有振动模对热容的贡献 晶格对热容的贡献 三维晶体由N原胞,每个原胞有一个原子。 晶体中有3N个振动模式,总的能量:E(7)=∑E(T),E=h+ 九a he,/kg 晶体的热容量:Cr=∑C dE,(7) 1.爱因斯坦模型:对于有N个原子构成的晶体,晶体中所有的原子都以相冋的频率ω振动。 E=∑E(a) 3 BNh hO t hc/kgT 2= )=3Nk2(,)2 kat( ,Cr=()=3Nkf2() 爱因斯坦热容函数:fB kRT krT(eAg-1 爱因斯坦温度:;ho0=kO,C=3Mk2(2)2e 选取合适的值,使得在较大温度变化的范围内,理论计算的结果和实验结果相当好地符合 对于大多数固体:6g=100K~300K 对金刚石:b=1320K,理论计算和实验结果比较如图XCH003_013所示 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 / 2 2 / / 2 2 / ( ) ( ) ( 1) ( ) k T k T B j k T B k T B j V B j B j B j B j B e e k T k e e k T C k ω ω ω ω ω ω = = = = = = ≈ − = , k T B j V B j B e k T C k / 2 ( ) ω ω = = = 当T → 0 ， → 0 CV 所有振动模对热容的贡献 —— 晶格对热容的贡献 三维晶体由 N 原胞，每个原胞有一个原子。 晶体中有 3N 个振动模式，总的能量： ∑= = N j E T E j T 3 1 ( ) ( ) ， / 1 2 1 j B j Ej j k T e ω ω = + ω − = = = 晶体的热容量： ∑ ， = = N j j CV CV 3 1 ∑= = N j j V dT dE T C 3 1 ( ) 1. 爱因斯坦模型：对于有N个原子构成的晶体，晶体中所有的原子都以相同的频率ω0振动。 3 3 / 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 j B N N j j j j k T j j E E e ω ω ω ω = = = = + − ∑ ∑ = = = 0 0 0 / 3 3 2 1 Bk T N N E e ω ω = + ω − = = = / 2 / 0 2 ( 1) ( ) 3 ( ) 0 0 − = ∂ ∂ = k T k T B V V B B B e e k T Nk T E C ω ω ω = = = ， ( ) 3 ( ) 0 k T Nk f T E C B V V B B =ω = ∂ ∂ = 爱因斯坦热容函数： 0 0 / 0 0 2 / 2 ( ) ( ) ( 1) B B k T B k T B B e f k T k T e ω ω ω ω = − = = = = 0 B E 爱因斯坦温度：=ω = k θ ， / 2 / 2 3 ( ) ( 1) E E T E V B T e C Nk T e θ θ θ = − —— 选取合适的θ E 值，使得在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合。 对于大多数固体：θ E = 100 K ~ 300 K 对金刚石：θ E = 1320 K ，理论计算和实验结果比较如图 XCH003_013 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 6×4.18 8c/T 温度较高时 5×4,18 6g127 4×4.18 3×4.18 ⊙2×4.18 2T2T 1×4.18 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 Cr三3Mkg-—与杜隆一珀替定律一致 T/8 温度非常低时:>1.C=3Nk2(1m)e 热容按温度的指数形式降低,与实验结果C=A73不符。 爱因斯坦模型缺陷:忽略了各格波的频率差别。 2.德拜模型:1912年德拜提岀以连续介质的弹性波来代表格波,将冇喇菲格看作是各向冋性的连 续介质。有1个纵波和2个独立的横波,其色散关系 XCH003014 qv For Lognitudinal Wave 而=如,,向q2 q For Transverse Wave 对于三维晶格,状态密度 一V晶体的体积 (2丌 由于边界条件波矢q不是连续取值的,允许的q的值在 空间形成了均匀分布的点子。 虽然q不能连续取值,但V是一个宏观体积,可以将q看作是近连续变化的 如图XCH003013所示。 在体积元=dqdq,c2,状态数目 波矢的数值在q→q+c之间的振动方式的数目 (2丌) d q 对于各向同性的介质:=qvp--q是近连续变化,频率也近似于连续取 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 温度较高时： / 2 / 2 / 2 2 / ( ) 1 ( 1) T T T T E E E E e e e e θ θ θ θ − − = − 2 2 / 2 / ( ) ) 2 2 ( 1 ( 1) E E E T T T T T e e E E θ θ θ θ θ = + ≈ − 3 CV B ≅ Nk —— 与杜隆－珀替定律一致。 温度非常低时： 1 0 >> kBT =ω ， k T B V B B e k T C Nk 0 0 2 3 ( ) ω ω = = − = —— 热容按温度的指数形式降低，与实验结果 不符。 3 CV = AT —— 爱因斯坦模型缺陷：忽略了各格波的频率差别。 2. 德拜模型：1912 年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连 续介质。有 1 个纵波和 2 个独立的横波，其色散关系 l t C q For Lognitudinal Wave C q For Transverse Wave ω ω = = 对于三维晶格，状态密度： 3 (2π ) V ——V 晶体的体积。 由于边界条件波矢 q 不是连续取值的，允许的 的值在 空间形成了均匀分布的点子。 q q 虽然 q 不能连续取值，但V 是一个宏观体积，可以将 q 看作是近连续变化的 —— 如图 XCH003_013 所示。 在体积元 dq = dqxdqydqz ，状态数目： K dq V K 3 (2π ) 。 波矢的数值在 q → q + dq 之间的振动方式的数目： q dq V 2 3 4 (2 ) π π 对于各向同性的介质： p ω = qv —— q 是近连续变化，频率也近似于连续取值。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 频率的数值在→O+do之间振动模的数目:△n=g(o)△O 8() 振动频率分布函数,或者振动模的态密度函数 方a 一个振动模对热容的贡献:Cr=k 晶体的热容:Cr= g(o)do 频率在@→O+d之间,纵波的数目 根据德拜的假设,对于纵液4C如 纵波的数目 2z2c3odo 同样频率在0→O+d之间,横波的数目:2× 2x2c3@do 一一两支横波 频率在Q→O+d之间,总的格波的数目:( )odo 振动频率分布函数:g(O) 3 格波总的数目:3N=「g()do,on=C[6r2( 得到:C 2do 将On=6r(代入C=3了k(b0y)mm1=o odo REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 频率的数值在ω →ω + dω 之间振动模的数目： ∆n = g(ω)∆ω g(ω) —— 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模对热容的贡献： / 2 2 / ( 1) ( ) − = k T k T B j V B j B j B e e k T C k ω ω ω = = = 晶体的热容： ω ω ω ω ω ω g d e e k T C k k T k T B V B B B m ( ) ( 1) ( ) / 2 2 / 0 − = ∫ = = = 频率在ω →ω + dω 之间，纵波的数目： q dq V 2 3 4 (2 ) π π 根据德拜的假设，对于纵波 l q C ω= ， l d dq C ω = 纵波的数目： ω ω π d C V l 2 2 3 2 同样频率在ω →ω + dω 之间，横波的数目： ω ω π d C V t 2 2 3 2 2× —— 两支横波 频率在ω →ω + dω 之间，总的格波的数目： ω ω π d V Cl Ct 2 3 3 2 2 ) 1 2 ( + 振动频率分布函数： 2 2 3 2 3 ( ) ω π ω C V g = —— 3 3 3 3 1 2 C Cl Ct = + 格波总的数目： = ∫ ， m N g d ω ω ω 0 3 ( ) 2 1/ 3 [6 ( )] V N ω m = C π 得到： ω ω ω π ω ω ω d e e k T k C V C k T k T B V B B m B 2 / 2 / 2 0 2 3 ( 1) ( ) 2 3 − = ⋅ ∫ = = = 将 2 1/ 3 [6 ( )] V N ω m = C π 代入 ω ω ω π ω ω ω d e e k T k C V C k T k T B V B B m B 2 / 2 / 2 0 2 3 ( 1) ( ) 2 3 − = ⋅ ∫ = = = REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 做变量替换5 方a k。T he /kgT 晶体的热容C=9R(")3言「 tes ds 德拜温度:O c/|n)=9)5ad Cp(7/⊙D)=3RDC)——其中德拜热容函数:f()=3()3 1)2 d 九a 高温极限下:7>>6,5=,<1,e≈1+5 BT f0(n)=x)j(+12d5,在一级近似下:f(n)=1 Cr=3Mkg--与杜隆-珀替定律一致。 低温极限下:T<已D C1(7/)→9R( G(T/⊙n)=124 与温度的3次方成正比 C(T/⊙) 12TNk T )2--德拜定律。 温度愈低,德拜近似愈好,说明在温度很低时,只有长波格波的激发是主要的。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 做变量替换 kBT ω ξ = = 晶体的热容 ∫ − = ⋅ k T m B V m B d e e C k T V C R / 0 2 4 3 3 ( 1) 9 ( ) ω ξ ξ ξ ξ ω = = 德拜温度： m D B k ω Θ = = ∫ Θ Θ − Θ = T D V D D d e T e C T R / 0 2 4 3 ( 1) ( / ) 9 ( ) ξ ξ ξ ξ ( / ) 3 ( ) T C T Rf D V D D Θ Θ = —— 其中德拜热容函数： / 4 3 2 0 ( ) 3( ) ( 1) D T D D D T e f d T e ξ ξ ξ ξ Θ Θ = Θ − ∫ 高温极限下：T >> ΘD ， = << 1 kBT ω ξ = ， ξ ξ e ≈1+ ∫ Θ + Θ = Θ T D D D D d T T f / 0 3 2 ( ) 3( ) (ξ 1)ξ ξ ，在一级近似下： ( ) ≈ 1 Θ T f D D CV NkB = 3 —— 与杜隆－珀替定律一致。 低温极限下：T <<Θ D ∫ ∞ Θ − Θ ⇒ 0 2 4 3 ( 1) ( / ) 9 ( ) ξ ξ ξ ξ d e T e C T R D V D 3 4 ( ) 15 12 ( / ) D V D T C T R Θ Θ = π —— 与温度的 3 次方成正比。 4 12 3 ( / ) ( ) 15 B V D D Nk T C T π Θ = Θ —— 德拜定律。 —— 温度愈低，德拜近似愈好，说明在温度很低时，只有长波格波的激发是主要的。 REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH