固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 第三章晶格菰动与晶体的热学唑质 实际晶体中的原子在平衡位置为原点作振动,晶格振动的研究,最早是从晶体的热学性质开始的。 热容量是热运动在宏观性质上最直接的表现 杜隆一珀替经验规律:一摩尔固体有N个原子,有3N个振动自由度,按能量均分定律,每个自由 度平均热能为kT 摩尔热容量:3Nk=3 将固体的热容量和原子的振动联系起来 实验表明在较低的温度下,热容量随着温度的降低而不断下降。 晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。 皛格振动对晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波,简谐近似下,系统的哈密顿量为相互独立的简谐振动哈密 顿量之和,这些模式是相互独立的,模式所取的能量值是分立的,可以用一系列独立的简谐振子来 描述这些独立而又分立的振动模式 这些谐振子的能量量子 声子。晶格振动的总体就可看作是声子的系综。 §3简谐近似和简正坐标 简谐近似:只考虑最近邻原子之间的相互作用。 晶体由N个质量为m的原子组成。考虑第n个原子。 第n原子的平衡位矢:Rn 第n原子偏离平衡位置的位移矢量:Pn() 可以将其作为原子位移矢量宗量 第n原子的位置矢量:R'=Rn+(1) n(1)在三个方向上的分量:11(=1,2,3) 对于N个原子位移矢量共有3N个分量:H1(=1,2,34,…,3N) N个原子体系的势能在平衡位置展开:1=10+S,OV 1、a2 )012 Dobu+ High items REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 第三章 晶格振动与晶体的热学性质 实际晶体中的原子在平衡位置为原点作振动，晶格振动的研究，最早是从晶体的热学性质开始的。 热容量是热运动在宏观性质上最直接的表现。 杜隆－珀替经验规律：一摩尔固体有 N 个原子，有 3N 个振动自由度，按能量均分定律，每个自由 度平均热能为 kT 摩尔热容量：3Nk = 3R —— 将固体的热容量和原子的振动联系起来。 —— 实验表明在较低的温度下，热容量随着温度的降低而不断下降。 —— 晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。 晶格振动对晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波，简谐近似下，系统的哈密顿量为相互独立的简谐振动哈密 顿量之和，这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的，可以用一系列独立的简谐振子来 描述这些独立而又分立的振动模式。 这些谐振子的能量量子 —— 声子。晶格振动的总体就可看作是声子的系综。 §3.1 简谐近似和简正坐标 简谐近似：只考虑最近邻原子之间的相互作用。 晶体由 N 个质量为 m 的原子组成。考虑第 n 个原子。 —— 第 n 原子的平衡位矢： Rn K —— 第 n 原子偏离平衡位置的位移矢量： (t) µ n K —— 可以将其作为原子位移矢量宗量 —— 第 n 原子的位置矢量： R ' R (t) n n µ n K K K = + ( ) n µ t K 在三个方向上的分量： ( 1, 2, 3 i µ i = ) —— 对于 N 个原子位移矢量共有 3N 个分量： (i 1, 2, 3 4, , 3N) µi = " N 个原子体系的势能在平衡位置展开： ∑ ∑ = = + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + N i j i j i j N i i i High items V V V V 3 , 1 0 3 2 1 0 0 ( ) 2 1 ( ) µ µ µ µ µ µ REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 取V=0,在平衡位置:()0=0,不计高阶项 得到:p=(y 2 i,=1au au )0AHH-—简谐近似条件下的势能函数 N个原子体系的动能函数:T mill 系统的哈密顿量:H=7+=∑m2+ H i,j=1 直接应用上式去求解系统的问题,由于存在坐标的交叉项而变得非常困难。 引入正则(简正)坐标 Q1,Q2,Q3,…Q2N--原子的坐标和正则坐标通过正交变换联系起来。 动能为正定,据线性代数理论,假设存在线性变换:m,1=∑aQ 系统的哈密顿量:H=∑2 拉格朗日函数:L=T-=2-∑ 正则动量:P1 系统的哈密顿量:H_1 2+=2一-消除了交叉项 Q aH 由正则方程 aH P 得到:Q+2Q=0,i=1,2,3,…3N--3N个独立无关的方程。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 —— 取V0 = 0，在平衡位置：( )0 = 0 ∂ ∂ i V µ ，不计高阶项 得到： ∑= ∂ ∂ ∂ = N i j i j i j V V 3 , 1 0 2 ( ) 2 1 µ µ µ µ —— 简谐近似条件下的势能函数 N 个原子体系的动能函数： ∑= = N i T mi i 3 1 2 2 1 µ 系统的哈密顿量： ∑ ∑ = = ∂ ∂ ∂ = + = + N i j i j i j N i i i V H T V m 3 , 1 0 3 2 1 2 ( ) 2 1 2 1 µ µ µ µ µ —— 直接应用上式去求解系统的问题，由于存在坐标的交叉项而变得非常困难。 引入正则（简正）坐标： Q1 Q2 Q3 Q2N , , ," —— 原子的坐标和正则坐标通过正交变换联系起来。 动能为正定，据线性代数理论，假设存在线性变换： ∑= = N i mi i aijQj 3 1 µ 系统的哈密顿量： ∑ ∑ = = = + N i i i N i H Qi Q 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1 ω 拉格朗日函数： ∑ ∑ = = = − = − N i i i N i L T V Qi Q 3 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1 ω 正则动量： i i i Q Q L p = ∂ ∂ = 系统的哈密顿量： 3 3 2 1 1 1 1 2 2 N N i i i H p ω = = = + ∑ ∑ 2 2 i Qi —— 消除了交叉项 由正则方程： i i i i Q H p p H Q ∂ ∂ = − ∂ ∂ = 得到： —— 3N 个独立无关的方程。 2 0, 1, 2, 3, 3 Q Q i i i + = ω i = " N REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 任意简正坐标方程的解:Q=Asin(m1+)--振动圆频率O 简正振动:表示整个晶体所有原子都参与的振动,且振动频率相同。 振动模:由简正坐标所代表的所有原子一起参与的共同振动,称为一个振动模。 如果只考察某一个振动模,原子的位移宗量坐标:H1=Q1=Asn(O1+6 如果品体中存在多个振动模,原子的位移宗量坐标:A=∑ Asin(o i+ 系统的能量本征值计算 正则动量算符:p,=-i 系统薛定谔方程 P2+∑092m(Q1Q2,Q3Q)=EvQ,Q2,Q3Q3) ∑,(-2x+∑o:9)(,Q2,Q,Q3)=E(1,Q2,Q3Q3) 任意一个简正坐标:,/-3Q3 +o2Q2]o(Q)=E,0(Q)--谐振子方程 能量本征值:5=(m,+2地 本征态函数:qn(Q)=)exp(-51)Hn(5),5=}2,H1(5)一-厄密多项式 系统能量本征值:E=∑6= ∑o 系统本征态函数:v(g,Q2,Q32…Q3)=1q(Q) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 任意简正坐标方程的解： sin( ) Q A i i = ω t + δ —— 振动圆频率ωi 简正振动：表示整个晶体所有原子都参与的振动，且振动频率相同。 振动模：由简正坐标所代表的所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。 —— 如果只考察某一个振动模，原子的位移宗量坐标： µ = = Asin(ω t +δ ) m a Q m a j i ij j i ij i —— 如果晶体中存在多个振动模，原子的位移宗量坐标： 3 1 sin( ) N ij i j i i a A t m µ ω δ = = ∑ + 系统的能量本征值计算 正则动量算符： i i Q p i ∂ ∂ ˆ = − = 系统薛定谔方程： ) ( , , , ) ( , , , ) 2 1 2 1 ( 1 2 3 3 1 2 3 3 3 1 2 2 3 1 2 N N N i i i N i ∑pi + ∑ω Q ψ Q Q Q "Q = Eψ Q Q Q "Q = = ( )] ( , , , ) ( , , , ) 2 1 [ 1 2 3 3 1 2 3 3 3 1 2 2 3 1 2 2 2 N N N i i i N i i Q Q Q Q Q E Q Q Q Q Q = + ω ψ " = ψ " ∂ ∂ ∑ − ∑ = = 任意一个简正坐标： [ ] ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 i i i i i i Q Q Q Q +ω ϕ = ε ϕ ∂ ∂ −= —— 谐振子方程 能量本征值： i ni ωi ε )= 2 1 = ( + 本征态函数： ) ( ) 2 ( ) exp( 2 ξ ω ξ ϕ ni i ni Qi = − H = ， i i Q= ω ξ = ， (ξ ) Hni —— 厄密多项式 系统能量本征值： 3 3 1 1 1 ( ) 2 N N i i i i E n i ε ω = = = = ∑ ∑ + = 系统本征态函数： 3 1 2 3 3 1 ( , , , ) ( ) N N ni i ψ Q Q Q Q ϕ Qi = " = ∏ REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH