圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 §42一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算 一维自由电子近似模型:金属中电子受到粒子周期性势场的作用,如图XCH004001所示。假定周 期性势场的起伏较小。作为零级近似,可以用势场的平均值代替离子产生的势场:=(x) 周期性势场的起伏量V(x)-1=△V作为微扰来处理。 1)零级近似下电子的能量和波函数 V(x) Potential Energy of Single Atom Periodical Potential Energy of Atoms in Crystal 空格子中电子的能量和波函数 (n2a(n-1)ana(n+1)a(n+2)a(n+3)a 考虑一维由N个原子组成的金属,金属的线度 L=Na,其中a为晶格常数 零级近似下:H=hd2 2m dr2 +l ate 零级近似下的薛定谔方程 E 方程的解就是在恒定场下自由粒子的解:v()10h2k2 L 引|入周期性边界条件后,k的取值:k=12z 为整数。 v(x)=e“满足正交归一化条件:「ve*vgx=k 2)微扰下电子的能量本征值 哈密顿量:H=H1+,H=-2d2H=(x)-F=4P 2m dx 根据微扰理论,电子的能量本征值:E4=EB+E(+E(2)+… 级能量修正:EA=,= REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 §4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 一维自由电子近似模型：金属中电子受到粒子周期性势场的作用，如图 XCH004_001 所示。假定周 期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场：V = V (x) —— 周期性势场的起伏量V (x) −V = ∆V 作为微扰来处理。 1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 考虑一维由 N 个原子组成的金属，金属的线度： L = Na ，其中 a 为晶格常数。 零级近似下： V dx d m H = − +2 2 2 0 2 = 零级近似下的薛定谔方程： 0 0 0 2 2 2 0 2 ψ ψ ψ V E dx d m − + = = 方程的解就是在恒定场V 自由粒子的解： ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = 引入周期性边界条件后， k 的取值： Na k l 2π = —— l 为整数。 —— ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = 满足正交归一化条件： ' 0 0 0 ' * kk L ψ k ψ k dx = δ ∫ 2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量： H = H0 + H' ， 2 2 2 0 2 dx d m H = = − ， H'=V (x) −V = ∆V 根据微扰理论，电子的能量本征值： . Ek = Ek 0 + Ek (1) + Ek (2) +" 一级能量修正： E = , k | '| (1) = REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 二级能量修正:E3=XBk E0-E0 式中k≠k == 按原胞划分写成:=∑e-(x)d 引入积分变量ξ,x=5+na 利用势场函数的周期性:V(5)=V(+na) =>e-i(k-k)na[l e-i(k-k)V(E)d5 = -i(k-k)a ik'-k=n 11-e-(k-k) (2x)和k=,(2)代入得到: k'k= =[e(5)d]=(n) 所以 k-k≠n-:=0 (n)=e-y(dE-周期场(x)的第n个傅里叶系数 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 ∫ = − − L ikx ikx k e dx L e V x V L E 0 (1) 1 ( ( ) ) 1 ， ∫ = − − L ikx ikx k e dx V L e V x L E 0 (1) 1 ( ) 1 ， 0 (1) Ek = 二级能量修正： ∑ − = ' 0 ' 0 2 (2) '| '| k k k k E E k H k E ，式中 k ≠ k' == —— ∫ − − = L i k k x e V x dx L k V x k 0 ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | 按原胞划分写成： ∑∫ − = + − − = 1 0 ( 1) ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | N n n a na i k k x e V x dx Na k V x k 引入积分变量ξ ， x = ξ + na 利用势场函数的周期性：V (ξ ) =V (ξ + na) ∑ ∫ − = + − − − − = 1 0 ( 1) ( ' ) ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | N n n a na i k k na i k k e e V d Na k V x k ξ ξ ξ ∫ ∑ − = − − − − = ⋅ 1 0 ( ' ) 0 ( ' ) [ ] 1 ( ) ] 1 '| ( ) | [ N n i k k a n a i k k e N e V d a k V x k ξ ξ ξ i) a k k n 2π '− = ： [ ] 1 1 1 0 ( ' ) ∑ = − = − − N n i k k a n e N ii) a k k n 2π '− ≠ ： i k k a N i k k Na n i k k a n e e N e N ( ' ) 1 ( ' ) 0 ( ' ) 1 1 1 [ ] 1 − − − − − = − − − − ∑ = ； 将 (2π ) Na l k = 和 (2 ) ' ' π Na l k = 代入得到： 0 1 1 1 ( ' ) ( ' ) = − − − − − − i k k a i k k Na e e N 所以 : '| ( ) | 0 2 ' ( ) ] ( ) 1 : '| ( ) | [ 2 ' 0 ( ' ) − ≠ = − = = = ∫ − − k V x k a k k n e V d V n a k V x k a k k n a i k k π ξ ξ π ξ ∫ − − = a i k k e V d a V n 0 ( ' ) ( ) 1 ( ) ξ ξ ξ ——周期场V (x) 的第 n 个傅里叶系数。 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 k'-k=n =v(n) 60÷b2h2 V, Eo-hk' k-k≠n =0 khk 代入二级能量修正式E2=∑ EK -Ek 得到:E=∑ 3[k2-(k 2r)2] ★计入微扰后电子的能量:E.、2 21 3)微扰下电子的波函数 电子的波函数:v4(x)=v(x)+v(x)+v42(x)+ 波函数的一级修正:v)= ,式中k≠k =v(n) 将 hk+ Eo h2K“二+下代入上式 k-k≠n =0 se *xn )x °2n2 2m1-(k+a2) n[k2-(k+-2) i2r=x ★计入微扰电子的波函数:v(x)= [k2-(k+-2)2] v4(x)=el+2 k2-(k+-2m) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 将 : '| '| 0 2 ' : '| '| ( ) 2 ' − ≠ = − = = k H k a k k n k H k V n a k k n π π ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = ， V m k Ek = + 2 ' 2 2 0 ' = 代入二级能量修正式 ∑ − = ' 0 ' 0 2 (2) '| '| k k k k E E k H k E 得到： ∑ − + = n n k a n k k m V E [ ( 2 ) ] 2 ' 2 2 2 2 (2) π = + 计入微扰后电子的能量： 2 2 2 2 2 2 ' 2 [ ( 2 ) ] 2 n k n k V E V m n k k m a π = + + − + ∑ = = 3）微扰下电子的波函数 电子的波函数： ( ) ( ) ( ) ( ) . ψ k x =ψ k 0 x +ψ k (1) x +ψ k (2) x +" 波函数的一级修正： 0 ' ' 0 ' 0 (1) '| '| k k k k k E E k H k ψ ∑ ψ − = ，式中 k ≠ k' 将 : '| '| 0 2 ' : '| '| ( ) 2 ' − ≠ = − = = k H k a k k n k H k V n a k k n π π ， V m k Ek = + 2 2 2 0 = ， V m k Ek = + 2 ' 2 2 0 ' = 代入上式 x a n i k n n k e L a n k k m V ( 2 ) 2 2 2 (1) 1 [ ( 2 ) ] 2 π π ψ + ∑ − + = = ， x a n i n ikx n k e a n k k m V e L π π ψ 2 2 2 2 (1) [ ( 2 ) ] 2 1 ∑ − + = = + 计入微扰电子的波函数： 2 2 2 2 1 1 ( ) [ ( 2 ) ] 2 n i x ikx ikx n a k n V x e e e L L n k k m a π ψ π = + − + ∑ = } [ ( 2 ) ] 2 {1 1 ( ) 2 2 2 2 x a n i n ikx n k e a n k k m V e L x π π ψ ∑ − + = + = REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 令:u4(x)=1+ 2m1k2-(+2z)] 可以证明u4(x+ma)=l4(x)是晶格的周期函数。 v(x) 4(x) 电子的波函数具有布洛赫函数形式。 ★电子波函数的意义 电子波函数与散射波:%(m)=坏2m-(k+n7 第一项 是波矢为k的前进的平面波 第二.1,x L 2a是平面波受到周期性势场作用产生的散射波。 k2-(k+-2n)2] 21 散射波的波矢k=k+-2x 为相关散射波成份的振幅。 2[k2-(k+n2n) 如果相邻原子产生的散射波成份有相同的位相 k=k+-2 2r=-k.b-n兀 电子的入射波波长:2=2z=2 k n a=n 布拉格反射条件在正入射时的结果(2 asin g=n REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 令： x a n i n n k e a n k k m V u x π π 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 ( ) 1 ∑ − + = + = 可以证明u x k ( ) + = na uk (x) 是晶格的周期函数。 ( ) 1 ( ) e u x L x k ikx ψ k = —— 电子的波函数具有布洛赫函数形式。 + 电子波函数的意义 i) 电子波函数与散射波： 2 2 2 2 1 1 ( ) [ ( 2 ) ] 2 n i x ikx ikx n a k n V x e e e L L n k k m a π ψ π = + − + ∑ = —— 第一项： ikx e L 1 是波矢为 k 的前进的平面波 —— 第二项： x a n i n ikx n e a n k k m V e L π π 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 1 ∑ − + = 是平面波受到周期性势场作用产生的散射波。 —— 散射波的波矢 ' 2π a n k = k + —— [ ( 2 ) ] 2 2 2 2 π a n k k m Vn − + = 为相关散射波成份的振幅。 如果相邻原子产生的散射波成份有相同的位相 —— ( 2 ) n i k a ik e e + π − = k a n k'= k + 2π = − ， a n k π = − 电子的入射波波波长： n a k 2 2 = = π λ 2a = nλ —— 布拉格反射条件在正入射时的结果（2 s a n inϕ = λ ） REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 在这种情况下,散射波成份的振幅:n,n→ k2-(k+-2n)2] —此时一级修正项太大,微扰法不再适用了 i)电子波函数与不同态之间的相互作用 从v4(x)=元e+1,k 可以看出 [k2-(k+-2r)2] 在原来的零级波函数v(x) 中将参入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数 i(k+-2r)r v(x)=÷ea 它们的能量差越小,掺入的部分就越大 时,k=k+-2丌 两个状态具有相同的能量,导致了波函数的发散 ★电子能量的意义 二级能量修正:E2=∑ 当k2=(k+-2x),k=-时 ∞--电子的能量在k=-时是发散的 由于k=-和k=k+2x=mx两个状态具有相同的能量,即k和k态是简并的 4)电子波矢k=-m附近能量和波函数 在简并微扰问题中,波函数由简并波函数线性组合构成。 如果状态k (1-△),式中4是一个小量,如图XCH00400所示 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 在这种情况下，散射波成份的振幅： 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 Vn n k k m a π ⇒ ∞ − + = —— 此时一级修正项太大，微扰法不再适用了。 ii) 电子波函数与不同态之间的相互作用 从 x a n i n ikx ikx n k e a n k k m V e L e L x π π ψ 2 2 2 2 [ ( 2 ) ] 2 1 1 ( ) ∑ − + = + = 可以看出： 在原来的零级波函数 ikx k e L x 1 ( ) 0 ψ = 中将参入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数： x a n i k k e L x ( 2 ) 0 ' 1 ( ) π ψ + = —— 它们的能量差越小，掺入的部分就越大 —— 当 a n k π = − 时， a n a n k k π '= + 2π = ，两个状态具有相同的能量，导致了波函数的发散。 + 电子能量的意义 二级能量修正： ∑ − + = n n k a n k k m V E [ ( 2 ) ] 2 ' 2 2 2 2 (2) π = 当 2 2 ( 2π ) a n k = k + ， a n k π = − 时： ⇒ ±∞ —— 电子的能量在 (2) Ek a n k π = − 时是发散的。 由于 a n k π = − 和 a n a n k k π π = + = 2 ' 两个状态具有相同的能量，即 k 和 k' 态是简并的。 4）电子波矢 a n k π = − 附近能量和波函数 在简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成。 如果状态 = − (1− ∆) a n k π ，式中 ∆ 是一个小量，如图 XCH004_002 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 周期性势场中,对其有主要影响的状态:k=h+2nπk==(1+△) XCH004002 只考虑影响最大的状态k=x(1+△) E(k) 忽略其它状态的影响。 波函数:v(x)=av+bv 其中v 1+△)k 将波函数代入薛定谓方程:H0(x)+Hv(x)=Ev(x) h2 d2 其中:,H=2mb2,H=V(x)-=△ (Ho+V)yk=Eryk 考虑到 (Ho+V)yg=ErY 得到:a(E-E+△)y+b(E-E+△e=0 分别以v*或v*从左边乘上方程,对x积分,并利用:==0 得到两个线性代数方程:(E-E)a+b=0 v= 势场为实数 Vna+(Er-E)b=0 Vn= EL-E V a,b有非零解,系数行列式满足 能量本征值:E1=5(E+E土E一E)+4P 波矢k离-较远,电子k状态的能量和状态k能量差别较大 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 周期性势场中，对其有主要影响的状态： a n k k 2 π '= + ， '= (1+ ∆) a n k π 只考虑影响最大的状态 '= (1+ ∆) a n k π —— 忽略其它状态的影响。 波函数： 0 0 ' ( ) k k ψ x = + a b ψ ψ 其中 0 1 ikx k e L ψ = ， 0 ' ' 1 ik x k e L ψ = 将波函数代入薛定谔方程： ( ) ' ( ) ( ) 0 H ψ x + H ψ x = Eψ x 其中：， 2 2 2 0 2 dx d m H = = − ， H V ' ( = − x) V = ∆V 考虑到： 0 ' 0 ' 0 0 ' 0 0 0 0 ( ) ( ) k k k k k k H V E H V E ψ ψ ψ ψ + = + = 得到： ( ) ( ) 0 0 ' 0 ' 0 0 a Ek − E + ∆V ψ k + b Ek − E + ∆V ψ k = 分别以 *0 ψ k 或 *0 ψ k ' 从左边乘上方程，对 x 积分，并利用： = = 0 得到两个线性代数方程： —— ( ) 0 ( ) 0 0 ' 0 * + − = − + = V a E E b E E a V b n k k n * ' ' n n V k V k V k V k = = ：势场为实数 —— a, b 有非零解，系数行列式满足： 0 0 ' 0 * = − − V E E E E V n k k n 能量本征值： 2 0 0 0 0 2 ' ' 1 { ( ) 4 } 2 E E ± = +k k E ± Ek − Ek + Vn i) Ek − Ek >> Vn 0 ' 0 波矢 k 离 a nπ − 较远，电子 k 状态的能量和状态 k’能量差别较大。 REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 E2={E+EC±(E-E1+ 将1+E-E)2(E20-20泰勒级数展开:- 4V按 14 (E-E)22(E-E E=(E8+E士(E-E+(E-E)l→E=/“x Er -EK E0-EO 因为k=-m(1-△),k=m(1+△),△>0,E>E k和k'能级相互作用的结果是:原来能级较高的k'提高,原来能级较低的k下压。 量子力学中,在微扰作用下,两个相互影响的能级,总是原来较高的能量提高了,原来较低的 能量降低了一能级间“排斥作用”。 2-E<n 波矢k非常接近 电子k状态的能量和状态k'能量差别很小。 E E±2 41,将1(E-E)m(E一E (E8-EC)2 泰勒级数展开 +(E-E)21+1(E-Ek)2 4m 4 k,B+E土2P (E8-EC)2 将k=--(1-4),k==(1+4)代入E0h2k2 +F.E0 方2k 2m REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 2 0 0 0 0 ' ' 0 0 2 ' 1 4 { ( ) 1 2 ( n k k k k k k V E E E E E E E ± = + ± − + − } ) 将 2 0 0 ' 4 1 ( ) n k k V E E + − 2 按 2 0 0 ' 4 ( ) n k k V E E − 2 泰勒级数展开： 2 2 0 0 2 0 0 ' ' 4 4 1 1 1 ( ) 2 ( n n k k k k V V E E E E + ≈ + − − 2 ) 2 0 0 0 0 ' ' 0 0 2 ' 1 2 { ( )[1 2 ( ]} n k k k k k k V E E E E E E E ± = + ± − + − ) ¤ 2 0 ' 0 0 ' 2 0 0 0 ' n k k k n k k k V E E E E V E E E ± ⎧ ⎪ + ⎪ − = ⎨ ⎪ − ⎪ ⎩ − 因为 = − (1− ∆) a n k π ， '= (1+ ∆) a n k π ， ∆ > 0 ， 0 0 Ek ' > Ek k 和 k’能级相互作用的结果是：原来能级较高的 k’提高，原来能级较低的 k 下压。 —— 量子力学中，在微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的 能量降低了—能级间“排斥作用”。 ii) Ek − Ek << Vn 0 ' 0 波矢 k 非常接近 a nπ − ，电子 k 状态的能量和状态 k’能量差别很小。 } 4 ( ) { 2 1 2 1 2 0 2 ' 0 0 ' 0 n k k k k n V E E E E E V − ± = + ± + ，将 2 0 2 ' 0 4 ( ) 1 n k k V E − E + 按 2 0 2 ' 0 4 ( ) n k k V E − E 泰勒级数展开 2 0 2 ' 0 2 0 2 ' 0 4 ( ) 2 1 1 4 ( ) 1 n k k n k k V E E V E E − ≈ + − + } 4 ( ) { 2 2 1 0 2 ' 0 0 ' 0 n k k k k n V E E E E E V − ± = + ± + 将 = − (1− ∆) a n k π ， '= (1+ ∆) a n k π 代入 V m k Ek = + 2 2 2 0 = ， V m k Ek = + 2 ' 2 2 0 ' = REVISED TIME: 05-4-9 - 7 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论200409 (1+△)2=+Tn(1+△)2 得到 电子的动能 E0=F+ )2(1-△)2=+7n(1-△)2 在将上式代入E:=1F+E±2+(24-E 4 2T +7+V+△2T(+1) 得到E F+7n-|-△27 ★结果分析 i)如图ⅹCH004003所示。图中的粉色抛物线表示零级能量,两个相互影响的状态k和k微扰后, 能量变为 e ande-,原来能量高的状态ve,能量提高;原来能量低的状态v,能量降低; XCH004003 E(k) E(k) E △0 E A0,△0,Δ REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 得到： 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 ' ( ) (1 ) (1 ) 2 ( ) (1 ) (1 ) 2 = + − ∆ = + − ∆ = + + ∆ = + + ∆ k n k n V T a n m E V V T a n m E V π π = = ， 2 2 ( ) 2 a n m Tn = π = —— 电子的动能 在将上式代入 } 4 ( ) { 2 2 1 0 2 ' 0 0 ' 0 n k k k k n V E E E E E V − ± = + ± + 得到 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) n n n n n n n n n n T V T V T V E T V T V T V ± ⎧ + + + ∆ + ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ + − − ∆ − ⎪ ⎩ + 结果分析 i) 如图 XCH004_003 所示。图中的粉色抛物线表示零级能量，两个相互影响的状态 k 和 k’微扰后， 能量变为 E+ and E− ，原来能量高的状态 0 ψ k '，能量提高；原来能量低的状态 0 ψ k ，能量降低； ii) 当 ∆ ⇒ 0 时：E± ⇒V + Tn ± Vn ，图 XCH004_004 画出了 ∆ > 0, ∆ 0, ∆ > Vn 0 ' 0 REVISED TIME: 05-4-9 - 8 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 hk2 k状态的能量:Ek= Tz ,可以忽略不计二级能量修正。 21 Ek V-—能量本征值曲线为抛物线。 当电子的k=-n和k~-xn两种情形时,存在一个k=n的态,它和k=-zm状态能量相同。 丌 因此在微扰计算中,只计入k=-n和k~--n的相互作用影响。 由于周期性势场的微扰电子的能量本征值在k=±“n处断开,能量的突变为:2 两个态的能量间隔:E2=2川为禁带宽度。 电子波矢k的取值:k=l h-k 对于一个1,有一个量子态k,其能量本征值E +V,当N很大时,E视为准连续 准连续的能级分裂为一系列的能带。 ★结果分析讨论 XCH004005 1)禁带之上的一个能带底部,能量E,随相对 Band 4 波矢Δ的变化是向上弯曲的抛物线;禁带之下 的一个能带上部,能量E随相对波矢4的变 Band 3 化是向下弯曲的抛物线;如图XCH004005 所示。 2)禁带出现在波矢空间倒格失的中点处:言0音吾k k 12丌14n1618丌 2 3)禁带的宽度:E=2222…2取决于金属中势场的形式。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 k 状态的能量： ∑ − + = + + n n k a n k k m V V m k E [ ( 2 ) ] 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 π = = ，可以忽略不计二级能量修正。 V m k Ek = + 2 2 2 = —— 能量本征值曲线为抛物线。 当电子的 n a k π = − 和 n a k π ~ − 两种情形时，存在一个 n a k π '= 的态，它和 n a k π = − 状态能量相同。 —— 因此在微扰计算中，只计入 n a k π '= 和 n a k π ~ − 的相互作用影响。 由于周期性势场的微扰，电子的能量本征值在 n a k π = ± 处断开，能量的突变为： Vn 2 两个态的能量间隔： Eg = 2Vn 为禁带宽度。 电子波矢 k 的取值： Na k l 2π = 对于一个l ，有一个量子态k ，其能量本征值 V m k Ek = + 2 2 2 = ，当 N 很大时， Ek 视为准连续。 准连续的能级分裂为一系列的能带。 + 结果分析讨论 1) 禁带之上的一个能带底部，能量 随相对 波矢 E+ ∆ 的变化是向上弯曲的抛物线；禁带之下 的一个能带上部，能量 E− 随相对波矢 ∆ 的变 化是向下弯曲的抛物线；如图 XCH004_005 所示。 2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处： 1 2 1 4 1 6 1 8 , , , 222 2 k a a a a , π π π π = ± ± ± ± "； 3) 禁带的宽度： Eg V V V 2Vn 2 , 2 , 2 , = 1 2 3 " 取决于金属中势场的形式。 REVISED TIME: 05-4-9 - 9 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20040920 ★能带及一般性质 方2k2 自由电子的能谱是抛物线型:Ek=2m 2丌2 在晶体弱周期性势场的微扰,电子能谱在布里渊边界 发生能量跃变,产生了宽度:E2=21b2223…的禁带。在远离布里渊区边界,近自由电子 的能谱和自由电子的能谱相近。 对于每个波矢k有一个量子态,它的能量可由能谱图给出。将所有量子态的能级都画出来,当晶体 中原胞的数目趋于无限大时,波矢k变得非常密集,这时能级的准连续分布形成了一系列的能带 E1(k),E2(k),E3(k) 各能带之间是禁带。在完整的晶体中,禁带内没有允许的能级。 对于一维布喇菲格子:能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系如下列表格。 能带序号 k的范围 k的坐标轴长度 布里渊区 E1(k) 第一布里渊区 E2(k) 2一 第二布里渊区 aaa 22丌3 E3(k) 第三布里渊区 由k=12x:△Mk=M2z Na,4/sNa M一k→k+△k范围k的数目 每个能带对应的k的取值范围:△k Na2丌 各个能带k的取值数目 N 等于晶体中原胞的数目 2 如果计入自旋,每个能带中包含2N个量子态。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20040920 + 能带及一般性质 自由电子的能谱是抛物线型： m k Ek 2 2 2 = = 在晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界： )," 3 , 3 ), ( 2 , 2 ( , ), ( a a a a a a π π π π π π − − − 发生能量跃变，产生了宽度：Eg = 2V1 , 2V2 , 2V3 ,"的禁带。在远离布里渊区边界，近自由电子 的能谱和自由电子的能谱相近。 对于每个波矢 有一个量子态，它的能量可由能谱图给出。将所有量子态的能级都画出来，当晶体 中原胞的数目趋于无限大时，波矢 变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带： ，各能带之间是禁带。在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级。 k k E1 (k), E2 (k), E3 (k), " 对于一维布喇菲格子：能带序号、能带所涉及波矢 k 的范围和布里渊区的对应关系如下列表格。 能带序号 k 的范围 k 的坐标轴长度 布里渊区 ( ) 1 E k a a π π − ~ a 2π 第一布里渊区 ( ) 2 E k a a π π − ~ − 2 ， a a π 2π ~ a 2π 第二布里渊区 ( ) 3 E k a a π 2π ~ 3 − − ， a a π 3π ~ 2 a 2π 第三布里渊区 # # # # 由 Na k l 2π = ： Na k l 2π ∆ = ∆ ， k Na ∆l = ∆ 2π — k → k + ∆k 范围 k 的数目 每个能带对应的 k 的取值范围： a k 2π ∆ = 各个能带 k 的取值数目： N a Na × = π π 2 2 —— 等于晶体中原胞的数目 —— 如果计入自旋，每个能带中包含 2N 个量子态。 REVISED TIME: 05-4-9 - 10 - CREATED BY XCH