圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 §4.3三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1.模型和微扰计算 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用,假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似,可以用 势场的平均值代替离子产生的势场:V=(F)。周期性势场的起伏量V(F)-=ΔV作为微扰来处 理。 波动方程:[V2+V(P)]v(F)=Ev(F) 晶格周期性势场函数:V(F+Rn)=(F),其中Rn=ma1+m2a2+m23-布拉伐格子的格矢 零级近似下电子的能量和波函数一一空格子中电子的能量和波函数 由N=N1N2N3个原子构成的金属,体积:=Mvo--vo原胞体积 零级近似下:H0=-v2+F 薛定谓方程:2mYy0()+y"(F)=E"y(F) 方程的解就是在恒定场自由粒子的解:v(x) 庐“·=2 引入周期性边界条件后,k的取值:k=l1+l2-+l b v(F)=e“满足正交归一化条件:∫ve*v"= 微扰时电子的能量和波函数(自由电子近似模型)。 有微扰的情形:H=H0+H,其中H=-V2+,H=V(F)-=△ 根据微扰理论的结果,计入微扰后电子的能量:Eg=E+EF+EF2+ REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 §4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用 势场的平均值代替离子产生的势场：V V (r) K = 。周期性势场的起伏量V (r) −V = ∆V K 作为微扰来处 理。 波动方程： ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 2 V r r E r m = K K K − ∇ + ψ = ψ 晶格周期性势场函数：V (r R ) V (r) m K K K + = ，其中 Rm m1a1 m2a2 m3a3 K K K K = + + —布拉伐格子的格矢 零级近似下电子的能量和波函数 ——空格子中电子的能量和波函数 由 N = N1N2N3 个原子构成的金属，体积：V = Nv0 —— v0 原胞体积 零级近似下： V m H = − ∇ +2 2 0 2 = 薛定谔方程： ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 r V r E r m = K K K − ∇ ψ + ψ = ψ 方程的解就是在恒定场V 自由粒子的解： 0 1 ( ) ik r k x e V ψ ⋅ = K K K ， 2 2 0 2 k k E V m K = + = 引入周期性边界条件后， k K 的取值： 3 3 3 2 2 2 1 1 1 N b l N b l N b k l K K K K = + + 0 1 ( ) ik r k r e V ψ ⋅ = K K K K 满足正交归一化条件： 0 0 ' ' 0 * V k k k dr ψ ψ δ k = ∫ K K K K K 微扰时电子的能量和波函数（自由电子近似模型）。 有微扰的情形： H = H0 + H' ，其中 V m H = − ∇ +2 2 0 2 = ， H'=V (r) −V = ∆V K 根据微扰理论的结果，计入微扰后电子的能量： 0 (1) (2) . k k k k E E K K = + EK + EK +" REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 电子的波函数:v(x)=v(x)+v(x)+v42(x)+ 级能量修正:E=,= 0 二级能量修正:EP=∑2,式中kk 波函数的一级修正:v Et-ET 矩阵元:== =le-ik-krv()dr 和一维处理方法一样,引入积分变量,F=5+R 应用k=1+l22+13和k=l1+22+13,Rn=m11+m2a2+m2a3 ∑ 当上式中:1-1 N n3,n1,n2,n3为整数 ∑ 71-1 n, 3n3中任意一项不满足时 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 电子的波函数： ( ) ( ) ( ) ( ) . ψ k x =ψ k 0 x +ψ k (1) x +ψ k (2) x +" 一级能量修正： , (1) | ' | k E k K = = K (1) 0 1 1 [ ( ) ] V ik r ik r k E e V r V e dr V V − ⋅ ⋅ = − ∫ K K K K K K K (1) 0 k , EK = 二级能量修正： 2 (2) 0 0 ' ' ' | ' | ' k k k k k H k E E E = − K ∑ K K ，式中k ' ≠ k K K 。 波函数的一级修正： (1) 0 0 0 ' ' ' ' | ' | ' k k k k k k H k E E ψ ψ = − K ∑ K K K 矩阵元：== K K ∫ − − ⋅ = V i k k r e V r dr V k V r k 0 ( ' ) ( ) 1 '| ( ) | K K K K K K 和一维处理方法一样，引入积分变量ξ ， K Rm r K K K = ξ + ∫ ∑ − − ⋅ − − ⋅ = ⋅ m i k k R v i k k m e N e V d v k V r k K K K K K K K K K ( ' ) 0 ( ' ) 0 1 ( ) ] 1 '| ( ) | [ 0 ξ ξ ξ 应用 3 3 3 2 2 2 1 1 1 N b l N b l N b k l K K K K = + + 和 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ' ' ' ' N b l N b l N b k l K K K K = + + ， Rm m1a1 m2a2 m3a3 K K K K = + + ( )( )( ) 1 0 ' 2 1 0 ' 2 1 0 ' 2 ( ' ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ − = − − − = − − − = − − − − ⋅ = N m m N l l N i m m N l l N i m m N l l i m i k k R e e e e m K K K π π π 当上式中： 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ' , ' , ' n N l l n N l l n N l l = − = − = − ， n1, n2 , n3 为整数 e N N N N m i k k Rm ∑ = = − − ⋅ 1 2 3 ( ' ) K K K 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ' , ' , ' n N l l n N l l n N l l = − = − = − 中任意一项不满足时： 0 ( ' ) ∑ = − − ⋅ m i k k Rm e K K K REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 k-k=-4五+2+24万,和-k=m丙+n+n 倒格矢 =e-iGasVes=v 波数的一级修正:=2≤1,““ Et -Ek 因为RnGn=2r(n1m1+n2m2+nm3) 所以式v=1“(Cn)中改变一个格矢量,括弧内的数值不变 说明波函数可以写成自由粒子波函数和晶格周期性函数的乘积。 当两个由相互自由的矩阵元状态k和k=k+Gn的零级能量相等时,一级修正波函数和二级能量修 正趋于无穷大。 =+G.或者G,(+2G,)=0 如图XCH004008所示为发散条件的表示 XCH004009 b O XCHO04 008 对于三维晶格,波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值,非简并微扰不在适用。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' ' ' b N l l b N l l b N l l k k K K K K − K + − + − − = ， n b n b n b Gn k k K K K K K K '− = 1 1 + 2 2 + 3 3 = —— 倒格矢 n v iG e V d V v k V r k n = = ∫ − ⋅ 0 0 0 ( ) 1 '| ( ) | ξ ξ ξ K K K K K 波函数的一级修正： (1) 0 0 0 ' ' ' ' | ' | ' k k k k k k H k E E ψ ψ = − K ∑ K K K ， 0 ' ' 1 1 ( ) n ik r ik r iG r k x e e e V V ψ ⋅ ⋅ ⋅ = = K K K K K K K (1) 0 0 1 ( ' n n ik r n iG r k n k k G V e e V E E ψ ) ⋅ ⋅ + = − ∑K K K K K K K K —— 因为 2 ( ) Rm Gn = n1m1 + n2m2 + n3m3 ⋅ π K K —— 所以式 (1) 0 0 1 ( ' ) n n ik r n iG r k n k k G V e e 改变一个格矢量 Rm K r ，括弧内的函数值不变。 K V E E ψ ⋅ ⋅ + = − ∑K K K K K K K K 中 —— 说明波函数可以写成自由粒子波函数和晶格周期性函数的乘积。 当两个由相互自由的矩阵元状态k K 和 Gn k k K K K '= + 的零级能量相等时，一级修正波函数和二级能量修 正趋于无穷大。 —— 2 2 Gn k k K K K = + ，或者 ) 0 2 1 Gn ⋅(k + Gn = K K K 如图 XCH004_008 所示为发散条件的表示 对于三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不在适用。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 如简单立方晶格中的倒格子空间,如图XCH004_009所示,A和A两点相差倒格矢Gn=b,零级 能量相同。C1,C2,C3,C4四点相差一个倒格矢,零级能量相同。因此三维情形中,简并态的数目可 能多于两个。 2.布里渊区和能带 在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出,可 Brillouin Zone II 见k空间分割为许多区域,在每个区域内E~k是连续变 Brillouin ZoneⅢ 化的,而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变,这些 区域称为布里渊区。如图XCH004010为简单立方晶格k 空间的二维示意图 XCHDN 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带,不同的布里渊区对于不同的能带。每一个布里渊区的体 积相同,等于倒格子原胞的体积,每个能带的量子态数目:2N(计入自旋)。 在三维晶格中,不同方向上能量断开的取值不同,这使得不同的能带发生重叠。 E(k) E(k) E ER ABk EA XCH00401l01 XCH00401102 XCH401103 如图XCH004_01101所示,第一布里渊区在k方向上能量最高点A,k方向上能量最高点C。C点 的能量比第二布里渊区B点高。能带的重叠情况如图ⅹCH004011_02-04所示。 E(k) E(k XCH0401104 E O REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 如简单立方晶格中的倒格子空间，如图 XCH004_009 所示，A 和 A’两点相差倒格矢Gn b1 K K = ，零级 能量相同。 四点相差一个倒格矢，零级能量相同。因此三维情形中，简并态的数目可 能多于两个。 1 2 3 4 C , C , C , C 2. 布里渊区和能带 在 k 空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，可 见 k 空间分割为许多区域，在每个区域内 是连续变 化的，而在这些区域的边界上能量 发生突变，这些 区域称为布里渊区。如图 XCH004_010 为简单立方晶格 k 空间的二维示意图。 E ~ k E(k) 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对于不同的能带。每一个布里渊区的体 积相同，等于倒格子原胞的体积，每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）。 在三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，这使得不同的能带发生重叠。 如图 XCH004_011_01 所示，第一布里渊区在 k 方向上能量最高点 A，k’方向上能量最高点 C。C 点 的能量比第二布里渊区 B 点高。能带的重叠情况如图 XCH004_011_02-04 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 用简约波矢k表示能量和波函数:k=k+G 能量En(k)和波函数vnx(F),必须同时指明它们属于哪一个能带。 3.几种晶格的布里渊区 Reciprocal Lattice 1)简单立方格子 a,=ai, a,=a, a,=ak 倒格子基矢b=2x,b2 简单立方格子 First Brillouin zone XCH00401201 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。如图XCH0040120所示 2)体心立方格子 体心立方晶格原胞基矢:a1=(-+j+k),a2=(-j+k),a3=(i-j+k) 倒格子基矢:b1= b 边长一的面心立方格子。 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如图XCH00401202 所示。 XCHo0401202 H First Brillouin zo for bcc lattice 体心立方格子第一布里渊区各点的标记,如图XCH00401204所示 3)面心立方格子 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 用简约波矢k 表示能量和波函数： Gn k k K K = + 能量 E (k ) n 和波函数 (r) nk K ψ ，必须同时指明它们属于哪一个能带。 3. 几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子 a ai a aj a ak K K K K K K 1 = , 2 = , 3 = 倒格子基矢 k a j b a i b a b K π K K π K K 2π K , 2 , 2 1 = 2 = 3 = —— 简单立方格子 第一布里渊区为原点和 6 个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。如图 XCH004_012_01 所示。 2) 体心立方格子 体心立方晶格原胞基矢： ( ) 2 ( ), 2 ( ), 2 1 2 3 i j k a i j k a a i j k a a a K K K K K K K K K K K K = − + + = − + = − + 倒格子基矢： ( ) 2 1 j k a b K K K = + π ， ( ) 2 2 i k a b K K K = + π ， ( ) 2 3 i j a b K K K = + π —— 边长 a 4π 的面心立方格子。 第一布里渊区为原点和 12 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如图 XCH004_012_02 所示。 体心立方格子第一布里渊区各点的标记，如图 XCH004_012_04 所示。 3) 面心立方格子 REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH
圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 面心立方格子原胞基矢:a1=(j+k),a2=(k+i),a3=(+j) 倒格子基失:≈2(+J+k),b2=2(-j+k),b j+k)一边长一的体心 立方格子。 XCH00401203 XCHO04-012_05 kza First Brillouin Zone kz L 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体,和沿立方轴的6个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角,形成的14面体。八个面是正六边形,六个面是正四边 形。如图XCH00401203所示 面心立方格子的倒格子为体心立方,其第一布里渊区为十四面体。 面心立方格子第一布里渊区各点的标记,如图XCH00401205所示。通常布里渊区中某些对称点和 若干对称轴上的点能量较为容易计算,这些点的标记符号如下 布里渊区原点F:F[000 六方面的中心L:L:(,z,z) aaa 四方面的中心X:X:(—,0,0) X计为4轴,即(100)方向 E,k 几计为A轴,即(111)方向 d axis XCH004014 将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区,能量变化的图像,如图XCH004_012014所示,定 性画出了沿4轴的结果。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 面心立方格子原胞基矢： 1 2 3 ( ), ( ), ( 2 2 2 a a a = + k a = + k i a = i + j) KKK K K K K K K a j 倒格子基矢： ( ) 2 1 i j k a b K K K K = − + + π ， ( ) 2 2 i j k a b K K K K = − + π ， ( ) 2 3 i j k a b K K K K = − + π — 边长 a 4π 的体心 立方格子。 第一布里渊区为原点和 8 个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的 6 个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的 14 面体。八个面是正六边形，六个面是正四边 形。如图 XCH004_012_03 所示。 —— 面心立方格子的倒格子为体心立方，其第一布里渊区为十四面体。 面心立方格子第一布里渊区各点的标记，如图 XCH004_012_05 所示。通常布里渊区中某些对称点和 若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号如下： 布里渊区原点 Γ ： Γ [000] 六方面的中心 L ： :( , , ) a a a L π π π 四方面的中心 X ： , 0, 0 ) 2 :( a X π ΓX 计为 ∆ 轴，即(100) 方向 ΓL 计为 Λ 轴，即(111) 方向 —— 将零级近似下的波矢 k 移入简约布里渊区，能量变化的图像，如图 XCH004_012_014 所示, 定 性画出了沿 ∆ 轴的结果。 REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH