第五章声子ⅡI(热学性质) §1.点阵热容 不同频率的谐振子系统对热能的贡献 应是所有各模式对热能的贡献之和: U=∑n,(K加o(K) SK
第五章声子 Ⅱ (热学性质) §1. 点阵热容 不同频率的谐振子系统对热能的贡献 应是所有各模式对热能的贡献之和： = s K U ns K s K . ( ) ( )
式中K是简正模式的波矢,s表示色散关 系的第S支,n(K)是某模式上的声子数: n3(K) hos(K) 通常情况下要把热能计算式中对k的求 和用对频率的积分来计算,为了进行这样 的变换,引入简正模式密度的概念
式中 是简正模式的波矢， 表示色散关 系的第 支， 是某模式上的声子数： ＝ 通常情况下要把热能计算式中对 的求 和用对频率的积分来计算，为了进行这样 的变换，引入简正模式密度的概念。 s s n (K) s n (K) s 1 1 ( ) − k T K b s e K K
1.简正模式密度 定义:在频率附近单位频率间隔中 的简正模式数。用D(o)表示。(有时也用 单位体积、单位频率间隔中的简正模式数) D(O)dlo表示在频率do范围内的简正模式 数,模式密度又称为声子的态密度(或能 级密度),引入简正模式密度后,则热前 可表示为: U=∑doD(o)n(O,T)o
1.简正模式密度 定义: 在频率 附近单位频率间隔中 的简正模式数。用 表示。（有时也用 单位体积、单位频率间隔中的简正模式数） 表示在频率 范围内的简正模式 数，模式密度又称为声子的态密度（或能 级密度），引入简正模式密度后，则热能 可表示为： D() D()d d = s s s T s U dD ()n ( )
(1)一维模式密度的计算 根据模式密度的定义,对于色散关系的 支来说,D()=“×(一维波失空间单 位体积的模式数)水表示在单位频率 间隔中的波矢改变 在频率do的范围内的模式数为D(a)do 模式密度: dkL L D()= d丌d丌 dk
（1）一维模式密度的计算 根据模式密度的定义，对于色散关系的 一支来说， ×（一维波矢空间单 位体积的模式数）， 表示在单位频率 间隔中的波矢改变。 在频率 的范围内的模式数为 模式密度： d dK D( ) = d dK d D()d L dK d L d dK D = = 1 ( )
又 dave dk=s∴Da) L m v为群速度 g 若νg=0,则模式密度发散,出 现一个奇点,这个奇点叫做 维模式密度的 Van hove奇点 在奇点,晶体的热学性质要出 现反常
又 ∵ ∴ 为群速度 若 =0，则模式密度发散，出 现一个奇点，这个奇点叫做一 维模式密度的Van Hove奇点， 在奇点，晶体的热学性质要出 现反常。 g v dK d = g v L D () = g v g v
(2)三维模式密度 在三维晶体中,晶体的尺寸为边长为 的正方体,波矢的取值为: 2丌 K、K,、K:=0、± (n为整数)边界条件允许的K值均匀地 分布在波矢空间边长为"的小立方体的 顶点上,每个波矢占的体积为2xz),单位 体积中的值为(2
(2) 三维模式密度 在三维晶体中，晶体的尺寸为边长为L 的正方体，波矢的取值为： 、 、 = 0、 、 、…… （ｎ为整数）边界条件允许的 值均匀地 分布在波矢空间边长为 的小立方体的 顶点上，每个波矢占的体积为 ，单位 体积中的值为 。 Kx Ky Kz L 2 L 4 n L 2 K L 2 3 2 L 3 2 L
〈1〉德拜模型 所谓德拜模型是假定在晶体的波 矢空间存在着连续介质弹性波的色散 关系,这相当于长波极限下声学支格 波的色散关系O=vnK, -Kx的色散关系是线性的, 德拜模型正是由这样一个简单的线性 色散关系去替代复杂的色散关系
〈1〉德拜模型 所谓德拜模型是假定在晶体的波 矢空间存在着连续介质弹性波的色散 关系，这相当于长波极限下声学支格 波的色散关系 ， 的色散关系是线性的， 德拜模型正是由这样一个简单的线性 色散关系去替代复杂的色散关系。 = vg K − K
般情况下,先画出某支色 散关系的等能面来,声子的能量 为ho,(K) 能量相同就意味着O相同 即a=;K=常数,在波矢空间中 相等的点组成的面称为等能面, 在德拜模型中,所有O相等的 点在波矢空间中为一波矢K为 半径的球面
一般情况下，先画出某支色 散关系的等能面来，声子的能量 为 能量相同就意味着 相同， 即 常数，在波矢空间中 相等的点组成的面称为等能面， 在德拜模型中，所有 相等的 点在波矢空间中为一波矢 为 半径的球面。 (K) s = vK＝ K
在球内的模式数应为 球的体积×波矢空间单位体积的模式数 4兀g3 N K 2丌 L)4丌 E.(\=N 6丌2p 则模式密度一单位频率间隔中的模式数为: dN Vo D(o)do 2nv
在球内的模式数应为： 球的体积×波矢空间单位体积的模式数 = ∴ 则模式密度—单位频率间隔中的模式数为: ' 3 2 4 3 3 N L K = v K = 2 3 3 3 3 3 3 6 4 2 ' v V v L N = = 2 3 2 ' ( ) v V d dN D = =