《智能控制理论与方法》教学资源（PPT讲义课件）模糊逻辑与推理

模糊逻辑与模糊推理 1)精确逻辑(传统逻辑)的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中,命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题,组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作 1)合取 Conjunction.,pq,交” 2)析取 Disjunction P,“并” 3)隐含 Implication P→q, Cif then 4)逆操作 Inversion~P 5)等效关系 Equivalence P>q,"p即

模糊逻辑与模糊推理 1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念 命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, ,“交” 2）析取 Disjunction , “并” 3）隐含 Implication , “if then” 4) 逆操作 Inversion 5) 等效关系 Equivalence ，“p即 q”。 p  q p  q p → q ~ p p  q

个隐含是“真”,必须满足三个条件之 1)前提是真,结论是真;在教书,是教师 2)前提是假,结论是假;不教书,不是教师; 3)前提是假,结论是真。不在教书,是教师; 隐含是“假”时,则 4)前提是真,结论是假。在教书,不是教师。 辑4 pngv p→qp(>9~ [777 TF 用FF 真 FF 值F「TF 表 TTTF TFTT F T 示FFF T

p q p  q p  q p → q p  q ~ p T F T T T T T T T T T T T T T T F F F F F F F F F F F F 一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师； 2） 前提是假，结论是假； 不教书，不是教师； 3） 前提是假，结论是真。 不在教书，是教师； 隐含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。 在教书，不是教师。 逻 辑 关 系 用 真 值 表 示

传统命题逻辑的基本公理: 。每一命题是真或假,但不能既真又假 2。由确定的术语所组成的表达式,都是命题 3。合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复(隐含) (P→9)[P∧(g (P→q)>(p)Vq4(~p)yq 从真值表可以获得证明 Ppqp→q~qp(q)()p(p)y TI T T F F F T TF F T TFT FF FIT F F T FF T T F T

p q p → q ~ q p  (~ q) ~ [ p(~ q)] ~ p (~ p)  q T F T T T T T T T T T T T T T T T T F T F F F F F F F F F F F F 传统命题逻辑的基本公理： 1。 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3。 合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复（隐含） p q p q p q p q p q →     →   ( ) (~ ) (~ ) ( ) ~ [ (~ )] 从真值表可以获得证明：

隐含隶属函数表达式 n+xy)2=1-m(xy)=1-mp1()(1-()或 p->q (x, y)=maxl un(),ua(] =mN(1-2(x),(y) Hnx(x,y)=1-n(x)1-1(y)(→9)分IpA(q)(乘积) An(x,y)=mm(.(1-1(x)+n(y)(~p)Vq(有界和 H(x)(y14(x)1-4(y)m1-4p(x)A()1m-4 10 00 0 01 00

1- 1- 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 (x)  p ( y)  q ( y)  q (x)  p max[1 (x), ( y)] −  p q 1 min[ (x),1 ( y)] −  p − q 隐含隶属函数表达式 (x, y) 1 (x, y) 1 min[ (x),(1 ( y))]  p→q = −  pq = −  p − q max[(1 ( )), ( )] ( , ) ( , ) max[ ( ), ( )] x y x y x y x y p q p q p q p q       = − → =  = 或 (x, y) 1 (x) (1 ( y) ) ( p q) ~ [ p ( ~ q) ]（乘积）  p→q = − p −q →    p→q (x, y) = min[(1,(1− p (x) + q ( y))] ( ~ p)q（有界和）

传统命题逻辑的推理 D假言推理 Modus ponens) 前提1(事实)x是A 前提2(规则)扩x是A, then y是B 结论 y是B(p∧(p→q)→>q 2)否定前提的假言推理( Modus Tollens) 前提1(事实)y不是B 前提2(规则)fx是A, then y是B 结论 x不是A[(q∧(p→q)→p

传统命题逻辑的推理 [( ( )) ] 2 , 1 1 (Modus Ponens) y B p p q q if x A then y B x A 结论 是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 是 ）假言推理 [( ( )) ] 2 , 1 2) (Modus Tollens) x A q p q p if x A then y B y B 结论 不是  → → 前提（规则） 是 是 前提（事实） 不是 否定前提的假言推理

2)模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 uAB(x,y)∈1是衡量x和y隐含关系的真实程度。表示为 A→B(x,y)=1-mn44(x),(1-B(y) UAB(x, y)=max[(1-HA()),uB(yI 或A(xy)=1-[4(x)(1-2(y) HAB(x,y)=mn(1,(1-4(x)+4B2(y) 在连续域情况下,应用于推理会发生问题! x为A 为B If-then规则 uAsB(x, y)

2）模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。 ( , ) min[( 1,(1 ( ) ( ))] ( , ) 1 [ ( ) (1 ( ))] ( , ) max[(1 ( )), ( )] ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( ))] ( , ) [0,1] x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y A B A B A B A B A B A B A B A B A B              = − + = − • − = − = − −  → → → → → 或 是衡量 和 隐含关系的真实程度。表示为： 在连续域情况下，应用于推理会发生问题！ If-then规则  x为A  y为B (x, y)  A→B ( y) B  

r(y)=supA,(x)*uuB(x, yI r∈A 关于/g2(y)的计算 D假定对x=x2(x)=1;对x≠x1(x)=0 x∈U 2)AAB(x2y)用极小min)三角范式计算 B*(v) sup IAA(x)次HA→B(x,y) x∈A (x)AB(x,y)(对x=x) =1次H4→B(x’,y)=mn[124B(x’,y) AB(x2y)=1-min[A(x)(1-/(y) 图示如后:

( y) sup[ * (x) (x, y)] A A B x A B →  =       关于  B  ( y) 的计算 ( , ) 1 min[ ( ),(1 ( )) ] 1 ( , ) min[ 1, ( , )] ( ) ( , ) ( ) ( ) sup[ ( ) ( , )] 2) ( , ) (min) ; 1 , ( ) 1; , ( ) 0, * * * * * * x y x y x y x y x x y x x y x x y x y x U x x x x x x A B A B A B A B A A B A A B x A B A B A A              =  = −  − =  =  =   =  =  =  =   = → → → → →  →  对 用极小 三角范式计算。 ）假定 对 对 ☆ ☆ ☆ 图示如后：

B B B 14(x 有眼支集mf(x)1-( 无限支集 4(x≠x)次HA→B(x≠x,y) 0大AB(x≠x,y) min[O,A→B(x≠x',y 0 取上界 g2(y)=1-mn0,A→B(x≠x2,y)=1

1 1 1 (y)  B (x ) A   1 (y) − B min[ (x ),1 ( y)]  A −  B   ( y) B   y y 有限支集 无限支集 ( ) 1 min[ 0, ( , )] 1 0 min[ 0, ( , )] 0 ( , ) * ( ) ( , ) = −   = = =   =       → → → →  y x x y x x y x x y x x x x y B A B A B A B A A B      ☆  ☆ 取上界：

说明二点 1)对x=x—个特定的规则(其结果是具有有限支集的特定 模糊集合),激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2)对x≠x所有各点,规则将以最大可能的输出隶属函数值1 来激发规则。 从工程观点看,以上二点,违反了工程中的因果关系,即 有因才有果。无因不能有果。 Mamdani和 Larsen分别提出极小和乘积的隐含运算 4A8(x,y)=mn[1(x),B(y 4B(x,y)[A(x)●B(y) 这二种计算并不是基于因果关系,是出于计算的简单性, 但保留了因果关系,与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

说明二点： 1）对 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定 模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。 x  x  x = x  Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 ( , ) ˆ [ ( ) ( )] ( , ) ˆ min[ ( ), ( )] x y x y x y x y A B A B A B A B       = • = → → 这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含

用真值表表示:(精确隐含) (x)4g(y)mn(x)A2(y)(x)() 0 000 000 00 4(x B 148(x,y)m[4(x),42(y) 18(x,y)[(x)42(y x=x模糊隐含 X=X

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 min[ (x), (y)]  A  B (x) (y)  A  B (x) •  A (y)  B 用真值表表示：(精确隐含) 1 1 1 1 (x, y) ˆ min[ (x ), (y)]  A B  A  B → =  (x, y) ˆ [ (x ) (y)]  A B  A  B → =  • (x ) A   (x ) A   (y)  B ( y) B   ( y) B   x = x  模糊隐含 x = x 