第七章非正弦周期电路的稳态分析 在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的,例 如方波、锯齿波或者经过整流的半波,电力系统中正弦交流电受 某些干拢也有可能发生畸变不是严格的正弦浪,因此非正弦激励 下的响应的分析又将是电路课程中的一项内容。 周期性f()=f(t+T) nonsinusoidal periodic wave 非正弦浪激励 非周期性 第一节非正弦周期的傅里叶级数展开式 傅里叶级数:任一个周期(非正弦)函数只要满足狄里赫利 条件,都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。 若 f(t)=f(t+r)0 2丌 T
第七章 非正弦周期电路的稳态分析 在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的，例 如方波、锯齿波或者经过整流的半波，电力系统中正弦交流电受 某些干扰也有可能发生畸变不是严格的正弦波，因此非正弦激励 下的响应的分析又将是电路课程中的一项内容。 0 t f (t) 0 t f (t) 0 t f (t) 非正弦波激励 周期性： 非周期性 f (t) = f (t +T) nonsinusoidal periodic wave 第一节 非正弦周期的傅里叶级数展开式 一、傅里叶级数：任一个周期（非正弦 ）函数只要满足狄里赫利 条件，都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。 若： f (t) = f (t +T) T 2 = T f 1 = T T T
f(t)=ao+2(ar cos kwt+bk sin kat) k=1 TJi f(o)dt ak==f()coskwtdt 2 b.resin kwtdt 2 将同频率项合并为一项,则有: f(t)=Ao+2Akm cos(kwt +Pr) =1 A=a0 0=A0 a2+b2 ak=Akm cos km tgk k bk= Akm sin k k
第一节 非正弦周期的傅里叶级 数展开式 = = + + 1 0 ( ) ( cos sin ) k k k f t a a kwt b kt − = 2 2 0 ( ) 1 T T f t dt T a − = 2 2 ( )cos 2 T k T f t kwtdt T a − = 2 2 ( )sin 2 T k T f t kwtdt T b = = + + 1 0 ( ) cos( ) k A Ak m kwt k f t A0 = a0 将同频率项合并为一项，则有： 2 2 Akm = ak + bk k k k a b tg = − a0 = A0 ak Akm k = cos bk Akm k = sin
f(t)=Ao+Am cos(wt+1)+ A2m cos(2wt+2)+ I3m cos (3wt+3)+A4m cos(4wt +P4)+ A5m cos(5wt+P5)+ A0称为周期函数f(t)的直流分量或恒定分量( DC component) A1mC0s(Wt+q1)称为周期函数f(的基波分量简称基波 ( fundamental frequency component。周期为T 其它各项称为周期函数ft)的高次谐液( high order harmonic component)如: A3ncos(2w+φ2)称为周期函数ft的二次谐波。其频率是 原周期函数的频率的两倍 、傅里叶系数与原周期函数的关系: 1)f(为偶函数:f(t)=f(-t),f(t)关于纵轴对称。则: bk=0, f(=ao+>ak cos kwt k=1 偶函数的傅里叶级数展开式中只含有偶函数项和直流分量。 其中: T ao=20 2f(dt uk TJo (t)cos kwtdt T
第一节 非正弦周期的傅里叶 + + + + 级数展开式 + + = + + + + + cos(3 ) cos(4 ) cos(5 ) ( ) cos( ) cos(2 ) 3 3 4 4 5 5 0 1 1 2 2 A wt A wt A wt f t A A wt A wt m m m m m A0称为周期函数 f(t)的直流分量或恒定分量(DC component)。 cos( ) A1m wt +1 称为周期函数 f(t)的基波分量简称基波 (fundamental frequency component)。周期为T cos(2 ) A2m wt +2 称为周期函数 f(t)的二次谐波。其频率是 原周期函数的频率的两倍。 其它各项称为周期函数 f(t)的高次谐波(high order harmonic component)如： 二、傅里叶系数与原周期函数的关系： 1） f(t)为偶函数：f(t) =f(-t)， f(t)关于纵轴对称。则： = = + 1 0 ( ) cos k = 0, f t a ak kwt bk 偶函数的傅里叶级数展开式中只含有偶函数项和直流分量。 其中： = 2 0 0 ( ) 2 T f t dt T a = 2 0 ( )cos 4 T k f t kwtdt T a
2)f()为奇函数:f-t=f(t),ft关于原点对称。 ak=0,ao=0, f()=2b, sinkwt k=1 奇函数的傅里叶级数展开式中只含有奇函数项。其中: f(1) bx=2 f(t)sin kwtdt 3)半波对称(镜对称):f()=ft+T/2) 波形移动半周后与原波形对称于横轴。 a0=0,a=0(k为偶数)b=0k为偶数 4=7D2(oskw(为奇数 k 2f(t) sinto(k为奇数) 半波对称(镜对称)函数的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐 浪分量。故半波对称函数也称为奇谐波函数
傅里叶系数与原周期函数的关系： 2） f(t)为奇函数：f(-t) =-f(t)， f(t)关于原点对称。 = = 1 ( ) sin k 0, 0, f t bk kwt ak = a0 = 奇函数的傅里叶级数展开式中只含有奇函数项。其中： = 2 0 ( )sin 4 T k f t kwtdt T b 3）半波对称（镜对称）： f(t) =-f(t+T/2)， 波形移动半周后与原波形对称于横轴。 t f (t) 0 0, 0 , 0( ) a0 = ak =（k为偶数）bk = k为偶数 ( )cos ( ) 4 2 0 f t kwtdt k为奇数 T a T k = ( )sin ( ) 4 2 0 f t kwtdt k为奇数 T b T k = 半波对称（镜对称）函数的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐 波分量。故半波对称函数也称为奇谐波函数
第二节非正弦周期量的有效值和平均值 非正弦周期电流、电压的有效值: 1)非正弦周期电流傅立叶级数展开式为: i()=l0+∑ Ikm cos(kr+g) 则有效值: dt T yrJo Aa, cos(kwt +i/ 1+∑ dt 12 =2+m+2m+-3m+ 222 1++2+3+ 非正弦周期电流的有效值为其恒定分量的平方与各次谐浪有效 值平方之和的平方根
第二节 非正弦周期量的有效值和平均值 一、非正弦周期电流、电压的有效值： = = + + 1 0 ( ) cos( ) k k m kwt k i t I I 1）非正弦周期电流傅立叶级数展开式为： 则有效值： = + + + + = + + + + = + + = = 2 3 2 2 2 1 2 0 2 3 2 2 2 2 1 0 1 2 0 2 2 2 2 [ cos( )] 1 1 I I I I I I I I I I kwt dt T i dt T I m m m T O k k m k T O 非正弦周期电流的有效值为其恒定分量的平方与各次谐波有效 值平方之和的平方根
2)非正弦周期电压傅立叶级数展开式为 u(t)=Uo+2Ukm cos(kwt+Pk) 则有效值 U=1U7+U2+U2+U2+ 非正弦周期电压的有效值为其恒定分量的平方与各次谐浪有 效值平方之和的平方根。 ( 、非正弦周期电流电路的平均功率 N 一端口网络作用的电压、电流都为非正弦 周期量,则其可表示为 ()=+∑ 网络吸收的 u(t=Uo xnc0skrt+9)瞬时功率p()=u(i( ∑ 平均功率分P U coS((kwt+9)别为: dt k=1 7.meos(+9)×1+∑kmos(kwt+n) k=1
2）非正弦周期电压傅立叶级数展开式为： = = + + 1 0 ( ) cos( ) k U Uk m kwt k u t 则有效值： U = U0 2 +U1 2 +U2 2 +U3 2 + 非正弦周期电压的有效值为其恒定分量的平方与各次谐波有 效值平方之和的平方根。 二、非正弦周期电流电路的平均功率： − + u(t) i(t) N = = + + 1 0 ( ) cos( ) k k m kwt k i t I I = = + + 1 0 ( ) cos( ) k U Uk m kwt k u t 一端口网络作用的电压、电流都为非正弦 周期量，则其可表示为 网络吸收的 瞬时功率和 平均功率分 别为： p(t) = u(t)i(t) = = = + + + + 1 0 1 0 [ cos( )] [ cos( )] 1 k k m k k k m k T O U U kwt I I kwt dt T P = T O pdt T P 1
P=0010+U,1 COS P1+U212 cos 2+U33 Cos P3+ Un+∑ UKk coS o 非正弦周期电路中的平均功率为直流分量构成的功率与各次 谐波构成的平均功率之和。只有同频率的电压电流谐浪才构成平 均功率。不同频率的余弦量乘积据正交性得零,只构成瞬时值。 第三节非正弦周期电流电路的稳态分析 谐波分析法:当非弦周期激励作用于线性电路时,电压源可等 效为一系列谐波电压源的串联,电流源可等效为一系列谐浪电流 源的并联。根据线性电路的叠加性,电路的响应就是各次谐浪电 源单独作用时响应的代数和。 骤: 、将给定的非正弦周期激励分解为直流分量和各次谐波分量。 2、建立不同频率下的电路相量模型(注意感抗、容抗的计算)。 3、用相量法分别计算各次谐波分量(直流分量)作用下的响应。 写出将各响应的瞬时值表达式后相加
非正弦周期电流电路的平均功 率 K k k K U I U I P U I U I U I U I cos cos cos cos 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 = = + = + + + + 非正弦周期电路中的平均功率为直流分量构成的功率与各次 谐波构成的平均功率之和。只有同频率的电压电流谐波才构成平 均功率。不同频率的余弦量乘积据正交性得零，只构成瞬时值。 第三节 非正弦周期电流电路的稳态分析 谐波分析法：当非正弦周期激励作用于线性电路时，电压源可等 效为一系列谐波电压源的串联，电流源可等效为一系列谐波电流 源的并联。根据线性电路的叠加性，电路的响应就是各次谐波电 源单独作用时响应的代数和。 具体步骤： 1、将给定的非正弦周期激励分解为直流分量和各次谐波分量。 2、建立不同频率下的电路相量模型（注意感抗、容抗的计算）。 3、用相量法分别计算各次谐波分量（直流分量）作用下的响应。 4、写出将各响应的瞬时值表达式后相加
例:图示电路,电压源的浪形如图,求电感上的电压。 ①将n)傅立叶级数展开: 200 2 =2丌×103rad/s 400 Ims t u (t)=100+-(cos wt--cos 3wt +-cos 5wt- 25mH ②直流分量作用: Uo=100VU7o=01 50g ③基波分量作用时: 400 ∠0°=127∠0°1L=oL=507 元 =0-10L=12720°-1507=12128219 ⅧR+jL 50+j507 l1(t)=121.28c0s(ot+17.78°) ④三次谐波分量作用时: 1400 s3m —∠0°=42.4∠-180°,L=3L=150兀 3丌
第三节 非正弦周期电流电路的分 析 − + u (t) S 50 25mH 200V u t 0 1ms 例：图示电路，电压源的波形如图，求电感上的电压。 ①将us(t)傅立叶级数展开： cos5 ) 5 1 cos 3 3 1 (cos 400 us (t) = 100 + wt − wt + wt − rad s T 2 10 / 2 3 = = ②直流分量作用： US0 = 100V UL0 = 0V ③基波分量作用时： = 0 = 1270 400 1 US m 1 L =L = 50 = + = + = 121.28 17.78 50 50 | 50 127 0 1 1 1 1 j j R j L j L Ul m US m ④三次谐波分量作用时： = − 0 = 42.4 −180 400 3 1 3 US m 3 L = 3L = 150 ( ) 121.28cos( 17.78 ) 1 u t = t + l
U,y=42.2-180°7150z 42.1∠-173.95° m R+yoRL 50+150z l13(t)=42.lcos(3or-173.95°) ⑤各次谐波分量共同作用时: 1()=10+ln1+l3 121.28c0s(t+17.78°4-2lcos(3ar+6.05°)
例：图示电路，电压源的波形如图，求电 感上的电压。 ( ) 42.1cos(3 173.95 ) 3 u t = t − l 121.28cos( 17.78 )4 2.1cos(3 6.05 ) ( ) 0 1 3 = + − + = + + t t ul t ul ul ul = − + = − + = 42.1 173.95 50 150 | 150 42.4 180 3 3 3 3 j j R j L j L Ul m US m ⑤各次谐波分量共同作用时：