《电路理论基础》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 正弦稳态分析

第四章正弦稳态分析 在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化,则相 应的响应也以同一频率正弦规律变化,只是幅值和相位不 同。这种电路称为正弦交流电路,对其规律的分析为稳态 分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。 第一节正弦量及其描述 正弦量的时域表示 正弦电流(t)= I cOs(t+v) 正弦电压u()= Um coS((ot+v)/0 周期T频率∫和角频率O 2J 2丌 2If (=T) T 2.相(位)角、初相(角)与相位差 y为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离,规 定在s。平=0的正弦量可视为参考正弦量

第四章 正弦稳态分析 在线性电路中若激励以同一频率正弦规律变化，则相 应的响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值和相位不 同。这种电路称为正弦交流电路，对其规律的分析为稳态 分析。正弦稳态分析在实际系统中应用极为广泛。 第一节 正弦量及其描述 一．正弦量的时域表示 正弦电流 ( ) cos( ) m i i t  I  t  正弦电压 ( ) cos( ) m u u t  U  t  1．周期T 频率f 和角频率ω T ω  2πf  2π 2π ωt u(t) Um Ψu 0 (=ωT ) T f 1  2．相(位)角、初相(角)与相位差 Ψ为纵轴左边正向最大值的点与原点间的最短距离，规 定在 |Ψ|≤π 。 Ψ =0的正弦量可视为参考正弦量

相位差φ:两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的 初相之差(与无关的常数)。 Qu=(ot+Yu)-(ot+v)=yu-yi pna>0:称u超前于减称滞后于u; n<:称滞后于i或称超前于u; 9a=0:称u与同相;@n=±π:称与饭相; n=±(x/2)称与证交。 3.振幅(幅值、最大值)与有效值( (effective value) 有效值:若电流i一个周期T内流过某电阻R所作的功 等于大小为的直流电流在这段时间内对同样R所作的功, 则就定义为的i有效值。 :R=n2Rat=P2R-vya方均 根值 瞬时值为小写字母i,l;最大值为大写字母上足标mlmt Um;有效值同直流为大写字母如Ⅰ,U

相位差φ：两同频率正弦量的相位角之差。等于它们的 初相之差(与t无关的常数)。 ui u i u i   (ωt  ) (ωt  )   φui >0：称u超前于i或称i滞后于u ； φui<0：称u滞后于i 或称i超前于u； φui =0 ：称u与i 同相 ； φui =±π： 称u与i反相 ； φui =±(π／2) 称u与i正交。 3．振幅(幅值、最大值)与有效值(effective value) 有效值：若电流i在一个周期T内流过某电阻R所作的功 等于大小为I的直流电流在这段时间内对同样R所作的功， 则I就定义为的i 有效值。 i Rdt I Rdt I RT T T 2 0 2 0 2       T i dt T I 0 1 2 方均 根值 瞬时值为小写字母i， u；最大值为大写字母上足标mIm, Um；有效值同直流为大写字母如I， U

正弦量的有效值 若有:u= U cOs(ot+vn)Un=√2U=1.414 U=S Um cos (ot dt =to Um r1+ cos(2at+ 2y u dt om t, sin(2at 2yD?? =m=0.707 同理:Im=√2I=1.4141 交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V); 而耐压值、冲击值往往指最大值。Um=311V 正弦量的相量表示 1、正弦交流量的运算。列 例:已知:u1=5c0s(t+30°)V,2=10c0s(at+60°)V

正弦量的有效值 cos( ) m u 若有：u  U t  m m 0 2 m 0 2 m 0 2 2 m 0.707 4 2 sin(2 2 ) 2 2 1 cos(2 2 ) cos ( ) 1 U t t U T U dt t T U U t dt T U T u T u T u                          Um  2U 1.414U I 2I 1.414I 同理：m   交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值(如220V)； 而耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V 二．正弦量的相量表示 1、正弦交流量的运算。列： 例：已知： u1  5 cos(ωt  30)V, u2  10 cos(ωt  60)V

求:u=u1+l2=? 解:直接用三角函数进行: l=11+l2=5c0(o+309)+10co(+60°) 9. 33 cos at-11, 16 sin t =933116c0+mrca116 933 =1455c0(t+5019)V 正弦交流量的运算较复杂。观察到u的o与u1、l2相同, 只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立 某种联系,可使运算简化。 2、正弦量与复数的关系 v2lej(at+y=v2I cos(at+Vi)+j 2I sin(at+vi Im coSt+y+j m sin(ot+yi)

? 求：u  u1  u2  解：直接用三角函数进行： 5cos( 30 ) 10cos( 60 ) 1 2 u  u  u  ωt    ωt    9.33 cosωt  11 .16 sinωt 14.55cos( 50.1 )V ] 9.33 11.16 9.33 11.16 cos[ g 2 2       t t arct ω ω 正弦交流量的运算较复杂。观察到u的ω与u1、u2相同， 只是振幅与初相这两个要素不同。将复数与正弦量建立 某种联系，可使运算简化。 2、正弦量与复数的关系 cos( ) j sin( ) 2 2 cos( ) j 2 sin( ) j( ) m i m i i i i I t I t Ie I t I t t               ω ω ω ω ω

正弦量为一复数的实部 i=v2I cos(at+vi)=Revile(ot+v Relv2lejvijot=relv2iejat i=le=∠v称为正弦量的有效值相量 (phasor 大写字母上加小圆点是为了使之与有效值Ⅰ相区别,相 量不同于一般的复数,是针对正弦电流诚正弦电压u而 言的复常数反映其幅值和相位 i=Re|√2i.e/a (t=0 (tt1)at e旋转因子,Rev2e1为旋转矢量在实轴上的投影

2 cos( ) [ 2 ] ( ) Re i j i t i I t Ie       ω ω [ 2 ] [ 2 ] j t j t i j Ie e I e ω ω     R  Re e   正弦量为一复数的实部 i j I Ie I i       称为正弦量i的有效值相量(phasor)。 大写字母I 上加小圆点是为了使之与有效值I 相区别，相 量不同于一般的复数，是针对正弦电流i或正弦电压u而 言的复常数,反映其幅值和相位。 +i +j (t=0) Ψi (t=t1) ωt1 Ψi ωt1 [ 2 ] j t i I e ω   Re  ωt e jωt旋转因子， [ 2 ] j t I e ω  Re  为旋转矢量在实轴上的投影

相量与正弦量是一一对应的表示关系。由正弦量可写 出其相量,由相量和角频率a可写出其正弦量 已知1=1002c09(ot-是x)A,n2=100sm(t+15°)V, i3=20e/3A求i1,U2及i 解:1,=10025xzA 12 100 100 U2===∠(15°-909=∠-75°V 2 i3=20√2cos(or+60°)A

相量与正弦量是一一对应的表示关系。由正弦量可写 出其相量，由相量和角频率可写出其正弦量 1 2 3 3 3 12 2 5 1 20 A , 100 2 cos( )A, 100sin( 15 )V, I e I U i i t u t j 求 及 已知    /    ω   ω   解： A 12 5 I  1  100  75 V 2 100 (15 90 ) 2 100 2 U           i3  20 2 cos(t  60) A

正弦量运算与相量运算的对应 正弦量的加减运算 例: 1=√2I1cos(Ot+y1); 1=I1∠1; i2=√22cos(ot+y2) 2=12∠v i=i+i2=Rev2i士Re2i2e=Rev(1±i2)e i=√2 I cos(at+y)=Rey2il,i=l∠; 同频率正弦量相加(减)对应为相量的加(减)

4．正弦量运算与相量运算的对应 2 cos( ); 1  1   1 i I t ; 1  1 1 I I  例： 2 cos( ); 2  2   2 i I t ; 2  2 2 I I  [ 2 ] [ 2 ] [ 2( ) ] 1 2 1 2 1 2 j t j t j t i i i I e I e I I e           Re Re  Re  2 cos( ) [ 2 ],  ;  i  I t   Ie I  I j t R   e 1 2 I I I      同频率正弦量相加(减)对应为相量的加(减)。 正弦量的加减运算

例1已知u1=5c0s(0+309)V,2=10c0s(0t+60°)V 用相量形式求u1+2 解:U=U,+U=5∠30°+10∠60°=14.55250.0V DRG显示“DEG”2nCPX5a30b2ndF→xy+10 a60b2ndF→x=显示“933”b显示“1116”2ndF →r显示“1455”b显示“501” l=14.55c0s(t+50.1)V 可见相量计算比三角函数法计算简便。 例2:(5+1j4)×(6+3)=18+j39 2 ndF CPlX5a4b×6a3b=显示“18”b显示 例39”-3-1=5∠(-126.87°) 3+a4+/b2ndF→r显示“5”b显示“-126.8698.” 例4:10∠-60°=5-8.66 10a60°+b2ndFx显示“5”b显示“-8.66

5cos( 30 )V, 1 例 1已知 u  t   u2  10cos(t  60)V 用相量形式求u1+u2 解：U m  U 1m U 2m  530 1060  14.5550.1 V 显示“DEG” 显示“9.33” 显示“11.16” 显示“14.55” 显示“50.1” u  14.55cos(ωt  50.1)V 可见相量计算比三角函数法计算简便。 例2：(5+j4) ×(6+j3)=18+j39 显示“18” 显示 “例339： ”  3  j4  5(126.87) 显示“5” 显示“-126.8698…” 例4： 10∠-60° =5-j8.66… 显示“5” 显示“-8.66…

正弦量的微分与积分计算i=√2c0s(ot+v) 山— =√2cos(ot+v+909 d!R(√21)=Rg(√2i1)=Re(√2 joleOn 匝=d 正的相量为:jo=oi∠90° 正弦量求导与相量×jo对应 振幅为原来的o倍,初相增加90° 同理M的相量为:=∠-90 正弦量积分与相量÷j0对应 振幅为原来的1o倍,初相减小90°

正弦量的微分与积分计算 2 cos( ); i i  ωt  [ ( 2 )] [ ( 2 )] j t j t Ie dt d Ie dt d dt di  ω  ω  Re  Re : j I  I90 dt di 的相量为 ω ω 正弦量求导与相量×jω对应 90 . j :      ω ω I I idt t   的相量为 [( 2j )] j t Ie ω ω  Re  2 cos(   90); i t dt di  ω  正弦量积分与相量jω对应 同理 振幅为原来的倍，初相增加90° 振幅为原来的1/倍，初相减小90°

正弦稳态下R、L、C等元件的ⅤAR涉及建立正 弦量微分方程,由以上可知正弦量微分方程可对应 为的相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较 简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程,首 先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式

正弦稳态下R、L、C 等元件的VAR涉及建立正 弦量微分方程，由以上可知正弦量微分方程可对应 为的相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较 简便的相量法进行。由电路直接建立相量方程，首 先要确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式