第2章线性系统的数学模型 内容提要 实际存在的自动控制系统可以是电气的、 机械的、热力的、化工的,甚至是生物学的 经济学的等等,然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数 学模型如微分方程,传递函数,方框图,信 号流图的求取以及它们之间的相互关系。最 后介绍用 MATLAB求取系统的数学模型。 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 第2章 线性系统的数学模型 内 容 提 要 实际存在的自动控制系统可以是电气的、 机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、 经济学的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数 学模型如微分方程，传递函数，方框图，信 号流图的求取以及它们之间的相互关系。最 后介绍用MATLAB求取系统的数学模型
知识要点 线性系统的数学模型,拉普拉斯变换, 传递函数的定义,非线性特性的线性化处理, 方框图的简化,梅逊公式的含义和应用。 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换， 传递函数的定义，非线性特性的线性化处理， 方框图的简化，梅逊公式的含义和应用
描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式,称为系统的数学模型。常 用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数 脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数 学模型,对于系统的分析研究是至关重要的。系统 数学模型的建立,一般采用解析法或实验法 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常 用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、 脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数 学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统 数学模型的建立，一般采用解析法或实验法
目录 ÷§2.1线性系统的微分方程 92.2微分方程的线性化 92.3传递函数 52.4方框图 ÷§2.5信号流图 §2.6在 MATLABI中数学模型的表示 小结 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 目 录 ❖ §2.1 线性系统的微分方程 ❖ §2.2 微分方程的线性化 ❖ §2.3 传递函数 ❖ §2.4 方框图 ❖ §2.5 信号流图 ❖ §2.6 在MATLAB中数学模型的表示 ❖小 结
§2.1线性系统的微分方程 (1)分析系统工作原理,将系统划分为若干环节, 确定系统和环节的输入、输岀变量,每个环节可 考虑列写一个方程; (2)根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化 学定律)或通过实验等方法得出的基本规律,列写 各环节的原始方程式,并考虑适当简化和线性化; (3)将各环节方程式联立,消去中间变量,最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程; (4)将输出变量及各阶导数放在等号左边,将 输入变量及各阶导数放在等号右边,并按降幂排 列,最后将系统归化为具有一定物理意义的形式, 成为标准化微分方程。 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 § 2.1 线性系统的微分方程 （1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节， 确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可 考虑列写一个方程； （2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化 学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写 各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化； （3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后 得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程； （4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将 输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排 列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式， 成为标准化微分方程
例2-1试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输 入为(t,输出为) R r 解根据基尔霍夫定理,可列出以下式子 (1)=R1() (1)-i2()d (1()-12()=R2(t)+-|12(m)dh i, (tdt 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 例2-1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输 入为ui (t)，输出为u0 (t) 。 解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子： = + i t − i t dt C u t R i t i ( ( ) ( )) 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 1 − = + i t dt C i t i t dt R i t C ( ) 1 ( ( ) ( )) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 = i t dt C u t ( ) 1 ( ) 2 2 0
整理得: R,RC +(RC1+R2C2+R1 du0() +4( 令T1=RC1,T2=R2C2,T3=R1C2则得 TT +(7+72+73) +u d t 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 整理得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 u t u t dt du t R C R C R C dt d u t R R C C + + + + = i 令T1 =R1C1，T2 =R2C2，T3 =R1C2 则得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 2 3 0 2 1 2 u t u t dt du t T T T dt d u t TT + + + + = i 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程
例2-2图为一弹簧阻尼系统,当外力F(t)作用于系统 时,系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y1)之间 的微分方程。 k (1) 77777777 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 例2-2 图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统 时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间 的微分方程
解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F(1)和粘性 摩擦阻力F2(),根据牛顿第二定律有 F()+F()+F2(0)=my 其中F(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出 F1()=-ky( F2(t)=-f dy(t dt 式中k——弹簣系数 f——阻尼系数 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 解 弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1 (t)和粘性 摩擦阻力F2 (t)，根据牛顿第二定律有 ： 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dt d y t F t + F t + F t = m ( ) ( ) 1 F t = −ky t dt dy t t f ( ) ( ) F2 = − 其中F1 (t)和F2 (t)可由弹簧、阻尼器特性写出 式中 k —— 弹簧系数 f —— 阻尼系数
整理且标准化 md y(t) f dy(t kah2× k dty(t)=.f(t) k 令T=√m/k称为时间常数 z=f(2Vmk)称为阻尼比; K=1/k 称为放大系数 得 dy(+272(o +y(t)=KF() dt 第2章线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型 整理且标准化 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 t k y t dt dy t k f dt d y t k m + − = F 令 称为时间常数； 称为阻尼比； 称为放大系数。 T = m/ k = f /(2 mk ) K =1/ k ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 y t K t dt dy t T dt d y t T + + = F 得
