线性系统理论——定理2-6

定理2-6 1◇→4今>6证明如下 1→4 系统可控,要证 ranklE AB "B=n 反证法:若 rankB AB A"B<n 彐c≠0 CIB 4B 4-1B O C4B=0 利用(1-48)式

1 4 6 证明如下： 14 系统可控，要证 rankB AB A B n n =  −1 反证法：若   0 1    − rank B AB A B n  n   0 1,2, , 1 0 1 = = − = − A B i n B AB A B i n     利用(1-48) 式 定理2-6

Φ(t2z) A(to-T) P(t0-)A(1-48) i=0 (t2)B=∑p,(to-r)aB=0 Φ(to,z)B行线性无关,与可控矛盾。 lt 彐a≠0ce(o0B=0r∈

  − = − = −  = − =  = = − − 1 0 0 0 1 0 0 ( ) 0 ( , ) ( ) 0 ( , ) ( ) (1 48) 0 n i i i n i i i A t t B t A B t e t A          (t 0 , )B 行线性无关，与可控矛盾。 14 要证系统可控。 rankB AB A B n n 1 =  − 若 反证法：若不可控，   0 1 ( ) 1 0 0 0 0 t t e B t t A t     =  −    

上式对τ求导,再求导.,依次可得 ce A(to-T)AB=0 ce(o-T)A-B=0 令 OB=aAB=…=04B=0 a|BAB…AnB|=0 与rmk|BAB AnB=n矛盾 4→6 若 rankB AB A"B=n

上式对τ求导，再求导…，依次可得 0 0 ( ) 1 ( ) 0 0 = = − − − e A B e AB A t n A t      0 1 = 0 = = = = − t B AB A B n 令        0 1 = − B AB A B  n  rankB AB A B n n =  −1 与 矛盾。 4  6 rankB AB A B n n =  −1 若

要证 V41∈A()mk[4-,IB]=n 用反证法,若有一个0,使ramk[A-4B<n 彐a≠0 a[4-01B=0→a4-201]=0aB=0 C4B=10B=0 a42B=0B=0 aA"B=0 →a|BAB A-B=0 与 rank[B AB…AB]=n矛盾

i  A() rankA− i I B = n 要证 用反证法，若有一个 0 ，使 rankA− 0 I B  n       0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0  = = = = = = − =  − = =   − − B AB A B A B A B AB AB B A I B A I B n n                 rankB AB A B n n = 与  −1 矛盾

4<6 V∈A(o)ramk[4-2B]=n,要证 rankB AB A-B=n 反证法:若 rank B AB…AnB=n1<n k 存在可逆矩阵T,T是将U=BAB AB 的后k行化为零行的行变换矩阵,即 TIB AB B=TB TAB TA B

46 i  A() rankA− i I B = n ，要证 rankB AB A B n n =  −1 反证法：若   n n k rank B AB A B n n n − = =  − 1 1  1 存在可逆矩阵T，T是将 U B AB A B n−1 =  的后k行化为零行的行变换矩阵，即 TB AB A B TB TAB TA B n−1 n−1  = 

矩阵BTAB TAnB]的后k行为零行。 记 B=TB A= TAT U=TBAB…]=BAB…“ B, B=TB= A= TAT- TAB- TAT-TB=4B 0 A B A AB= AB/→AB1=0 A2B=AAB A A24B1 AB 0 0 A AB →A341B1=0

矩阵 TB TAB TA B  n−1 的后 k行为零行。 记 1 , − B = TB A = TAT     0 0 3 1 3 1 1 1 3 4 1 21 1 1 1 1  =   =   = = = =   = = = =− − − − A B A B A B AB A A A A A A TAT TAB TAT TB A B B B TB U T B AB A B B A B A B  n  n 0 0 0 3 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 3 4 2 1 2  =  =  =   = = A A B A A B A B A B A A A A A B AAB

依此类推,可得 AB A1 0→A3A12B1=0 A3A" B 综合起来,可知A3应满足 AB, A, B An-2B1=0 而U的形式为 U-B, A,B, AF B, B rankU 00 0 rank[B, A, B1 A B AB

………… 依此类推，可得 0 1 0 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1  =  =      = − − − − A A B A A B A B A B n n n n  1  0 2 3 1 1 1 1 = − A B A B A B  n 综合起来，可知 A3 应满足 而 U 的形式为 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 rankU n B A B A B A B U n  =      =  −  1 1 1 1 1 2 rank B1 A1 B1 A1 B A B n n n =  − −

因为n1<nn1-1<n-1 ,根据卡莱—哈密顿定理 可以由ramU=n1得 rankB, A,B A1B1」=n1 由 ,AB 12B]=0可得A3=0 故A,B的形式为(以后将说明这就是可控分解的形式。) B 0 A 0 且A4的维数为k,考察下式 T 0 B IA-n B n B () 20

1 1 1 1 因为 n  n n −  n − ，根据卡莱—哈密顿定理 U n1 可以由 rank = 得   1 1 2 rank B1 A1 B1 A1 B n n =  −  1  0 2 3 1 1 1 1 = − A B A B A B  n 由 可得 A3 = 0 故 A,B 的形式为 (以后将说明这就是可控分解的形式。)       =       = 0 0 1 4 1 2 B B A A A A 且 A4 的维数为k, 考察下式           − −  = − =      − − 0 0 0 0 4 1 2 1 1 1 k n A I A I A B A I B I T T A I B     (＊)

显然只要取A4的特征值元。,即可使右边矩阵的秩小于n 是A4的特征值,因而也是A的特征值,也是A的特征值 (大)式左端矩阵T与 T-0 不影响秩,故有 0 K rank nI Bl< n LO 即存在1。∈A0),使mmkA-1B]<n,与假设相矛盾。 故 rankB AB A"B=n

显然只要取 A4 的特征值  0 ，即可使右边矩阵的秩小于n。  0 是 A4 的特征值，因而也是 A 的特征值,也是A的特征值。       − k I T 0 0 1 (＊) 式左端矩阵T与 不影响秩，故有 rankA− 0 I B  n 即存在 ,使 ,与假设相矛盾。 故 ( ) 0   A  rankA− I B  n 0 rankB AB A B n n =  −1

说明 关于定理2-6的6,的说明 1,可以将V1∈A()换为∨s∈C。(s为任意复数) 因为当不是A的特征值时,|f-A4≠0,rams-AB]=n 自然成立。 2,当4是A的简单特征值时, ramk[A4-0lB]<n,A不可控 rak[4-201B=n,n可控

关于定理2-6的6,的说明： 1, 可以将  A() 换为 。(s为任意复数)  i  sC 因为当s不是A的特征值时， 自然成立。 sI − A  0, ranksI − A B = n 2, 当  0 是A的简单特征值时， rankA− I B  n 0 rankA− 0 I B = n , 不可控； , 可控。  0  0 说明