因果性 P28习题2-8引入了一个算子,被称为截断算子,定义如 y(t)=P()={ l(t)t≤a 0t≥a C y(t) C
P.28 习题2-8引入了一个算子，被称为截断算子，定义如 下： = = t u t t y t P u t 0 ( ) ( ) ( ) ｛ t u(t) t y(t) 因果性
因果性可用截断算子来表示。即 H表示的系统是具有因果性的,是指成立如下的关系: VT P(Hu)=P(hPu 左端的输入比右边的多了t>T的一段, 而输出在tT的输入对t<T的输出无影响
H表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系： T P (Hu) P (HP u) T = T T 左端的输入比右边的多了 的一段， 而输出在 是一样的， t T t T 这说明 t T 的输入对 t T 的输出无影响。 因果性可用截断算子来表示。即
实变量解析函数 ft在(ab)是解析的,对于(ab)中任一点t,存在一个50, 使得对(-500+E0)所有t,t可表示成t处的 泰劳级数 (t- f()=∑f0() 定理(解析开拓):若函数f在D上解析,已知函数在D中任 意小的非零区间上恒为零,则函数在D上恒为零
定理(解析开拓)：若函数 f 在 D上解析，已知函数在D中任 意小的非零区间上恒为零，则函数在D上恒为零。 f(t)在( a b)是解析的，对于( a b)中任一点t0，存在一个 ， 使得对 中所有t， f(t)可表示成t0处的 泰劳级数 0 ( ) 0 0 0 t − t + o ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 f t n t t f t n n − = ！ 实变量解析函数
小结 t松弛:y(t)=Hn ∈t,+ 0 +线性 y(1)=G(t,z)(z)dzt≥o +因果性 y(o)= G(t, r)u(r)dr G(,t)=o t<T +时不变性 y(t)= G(t-T)u(r)dt t≥t 0
t0松弛： ( ) [ , ) y t = Hu[t 0 ,+) t t 0 + + 线性 0 ( ) ( , ) ( ) 0 y t G t u d t t t = + +因果性 +时不变性 = = G t t y t G t u d t t t t ( , ) 0 ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 y t G t u d t t t t = − 小 结
y(1)=G(-z)(z)dz t≥0 L变换 y(s)=G(S)u(s) 单入、单出 y(t)= g(t-T)u(r)dt t≥0 v(s)=g(s)u(s) g(s)为有理函数,即是经典控制理论中研究的模型。 这里对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍 直观的概念如何用数学式子表示出来
t0=0 L变换 单入、单出 g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。 ( ) ( ) ( ) 0 0 = − y t G t u d t t y(s) = G(s)u(s) y(s) = g(s)u(s) ( ) ( ) ( ) 0 0 = − y t g t u d t t 这里对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。 直观的概念如何用数学式子表示出来
(1-42)2习题1-21 9 (1-42)(s-4)=-1 (RoS"+RS +.+R,-2S+Rm) △(s) (1-43) S十41S十…+a,1S+a R=/ R,=4+a1 R=A+aa+al=ar+al R=AR+al R Ar+ -2 0=ARn-1+anI=△(A) (A可逆) a.≠0 R
1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 1 0 0 ( ) − − − − − − − − = = + = = + = + = + + = + = + = n n n n n n n n k k k R a a A AR a I A R AR a I R AR a I R A a A a I AR a I R A a I R I (1-44) (A可逆) (1-42) ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 1 0 1 − − − − − + + + + − = n n n n R s R s R s R s sI A (1-43) n n n n s = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 ( ) (1-42),习题1-21
习题1-21要证 (Rk-1A)k=1,2 k 式中符号tA表示A的迹,迹的运算性质为 traA= atrA (A+B)=trA+trB tr(AB)=tr(BA) 利用恒等式(可由行列式定义直接证明) det(bb2…b,)=∑de(b1…bk…b d△(s)dlsl-A tradi( S 直接分别计算上式两边,并比较上式左、右边的s同次幂系数
= = n k b b bn b bk bn dt d 1 1 2 1 det( ) det( ) ( ) ( ) ( ) = − − = tradj sI A ds d sI A ds d s t r R A k n k ak k ( ) 1,2, , 1 1 = − = − 习题1-21 要证 利用恒等式(可由行列式定义直接证明) 直接分别计算上式两边，并比较上式左、右边的s同次幂系数 式中符号 trA 表示A的迹，迹的运算性质为 ( ) ( ) ( ) t r AB t r BA t r A B trA trB t r A trA = + = + =
左边 nn1+a1(n-1)s"2+…+(n-k)asn-k++ 右边 r(R。s”+R;s"2+…+Rsnk+…+Rn2s+Rn1) nS+trR1s2+…+bRk-+…hn-1 比较上式左、右边的s同次幂系数,则有 (n-kak=trR=tr(ARk+arD=trAR+nak 由上式即可得 tr(ARk=tr(RkA k
( ) 1 ( ) 1 1 t r R 1 A k t r AR k ak k− k− − = − = k k k k k nak (n − k)a = trR = t r(AR −1 + a I) = trAR −1 + 由上式即可得 ns n−1 + a1 (n −1)s n−2 ++ (n − k)ak s n−k+1 + 左边 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 ( ) − − − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + n n k k n n n n n k k n n ns trR s trR s trR t r R s R s R s R s R 右边 比较上式左、右边的s同次幂系数, 则有
这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外,还可 以解决一些计算问题 两类计算问题:给定A 已知A的特征式及特征值,可求adj(s-A),A的逆及特征 向量。只需用(1-42,43,44)式。 2,特征式未知时,求特征式、adj(s-A),A的逆。 这时要用到习题1-21的结果和(1-44)的递推式子令 A= AR Rk=A+an1(=1.2,n1)R=
1，已知A的特征式及特征值，可求adj(sI-A),A的逆及特征 向量。只需用(1-42,43,44)式。 2, 特征式未知时，求特征式、 adj(sI-A), A的逆。 这时要用到习题1-21的结果和(1-44)的递推式子,令 A AR R A a I k = k−1 k = k + k (k=1,2, ··· n-1) R = I 0 这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外，还可 以解决一些计算问题 两类计算问题：给定A
A=A a,=-trA R=A+a,l A= AR tra R2=A2+a2 - AR tra R.,=A.,+a.,I AR trA R.=A.+a.I=0 最后一个式子可用于验证结果。 adj(s-A)及△(s)有了,即求出了(s-A) (R0s+Rs"2+…+R23+Rn1) △ △(S S +a1S+…+a,1S+a
0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = = − = + = = + − = = − = = − = + = = − = + − − − − − − − − trA R A a I n A AR a trA R A a I n A AR a A AR a trA R A a I A A a trA R A a I n n n n n n n n n n n n n n 最后一个式子可用于验证结果。 adj(sI-A)及 有了,即求出了(sI-A) (s) -1 。 ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 1 0 1 − − − − − + + + + − = n n n n R s R s R s R s sI A n n n n s = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 ( )