§4-1状态反馈和极点配置 本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方 程如下 文=Ax+Bu,y=Cx 线性状态反馈控制律为 u=v+KX (4-2) 式中的ⅴ是参考输入,K称为状态反馈增益矩阵, 这里它是p×n的矩阵。将(41)式和(4-2)式用方块图 表示,见图4-1,它是一个闭环系统
本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方 程如下 x = Ax + Bu , y = Cx (4-1) 线性状态反馈控制律为 u = v + Kx (4-2) 式中的v 是参考输入，K称为状态反馈增益矩阵， 这里它是p×n 的矩阵。将(4-1)式和(4-2)式用方块图 表示，见图4-1，它是一个闭环系统。 §4-1 状态反馈和极点配置
A b A k 图4-1 图4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表 达式为 X=(A+BK)X+ Bv, y=CX (4-3) 式中A+BK为闭环系统的系统矩阵
x y b c A k v x 图4-1 图4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表 达式为 x = (A +BK)x +Bv, y = Cx (4-3) 式中A+BK为闭环系统的系统矩阵
定理4-1(4-3)可控→(4-2)可控 VK (A+BK) B]=[I-A BI 0 K I V入.K rank[ 2I-(A+BK)B]=rankJaI-A B(4-4) 状态反馈不影响可控性 状态反馈不能改变不可控中的模态,即开环的不可控模 在闭环中得到保持。影响可控性
状态反馈不影响可控性 定理4-1 (4-3)可控 (4-2)可控 rank I (A BK) B rank I A B ,K K I I 0 I (A BK) B I A B K p n − + = − − − + = − (4-4) 状态反馈不能改变不可控中的模态，即开环的不可控模 在闭环中得到保持。影响可控性
定理4-2状态反馈不改变可控子空间。 VK Im U=Im U2 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观 的系统在某些状态反馈下,闭环可以是不可观的。同 样,原来不可观的系统在某些状态反馈下,闭环可以 是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性,要进 行具体分析 例题系统的动态方程如下 0 y 01
定理4-2 状态反馈不改变可控子空间。 1 U2 Im U Im K = 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观 的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同 样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以 是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进 行具体分析。 例题 系统的动态方程如下 u , y c c x 1 0 x 0 1 1 1 x = 1 2 + =
下表列出了系统c阵参数、状态增益向量k和系统 可观测性的关系。 k 原系统闭环系统 [11]不可观可观 1111 不可观 112]可观不可观 [11] 可观 任意 可观 可观 上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化 是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统 可观测性的关系。 1 0 任意 可观 可观 1 1 [1 1] 可观 1 1 [1 2] 可观 不可观 0 1 [0 1] 不可观 0 1 [1 1] 不可观 可观 c1 c2 k 原系统 闭环系统 上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、 是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节
首先讨论单输入情况 开环 ⅹ=Ax+bu (4-5) 状态反馈律:u=V+kx (4-6) 闭环:x=(A+bk)x+bv(47) 定理4-3闭环系统(4-7)的系统矩阵A+bk的特征 值可以由状态反馈增益阵k配置到复平面的任意位 置,其充分必要条件是(4-5)式的系统可控
首先讨论单输入情况 x (A bk)x bv u v kx x Ax bu = + + = + = + 开环： 状态反馈律： 闭环： (4-5) (4-6) (4-7) 定理4-3 闭环系统(4-7) 的系统矩阵A+bk 的特征 值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位 置，其充分必要条件是(4-5)式的系统可控
证明先证充分性。因为(45)式的系统可控,则存在可 逆矩阵P,将(4-5)式的系统通过x=Px的变换化为 可控标准形 ⅹ=Ax+bu y=cX (4-8) 0 式中 0 A n n-1
证明 先证充分性。因为(4-5)式的系统可控,则存在可 逆矩阵P，将(4-5)式的系统通过 的变换化为 可控标准形。 x = Px n n 1 1 n n 1 1 c 1 0 0 b 1 0 0 1 A x Ax bu y cx = = − − − = = + = − − 式中 (4-8)
这时(46)式的状态反馈律可写为 K=Kb K=Kb n=∧+K=A+Kb-1=A+K 由于 gGrbL2-(v+P)Jb_)=gGrlaI-(v+Pk) gGrlai-(v+Pk)]=gGrlaI-(bvb-+ BPKb-) 故A+bk的特征式即是A+bk的特征式,所以 A+bk和A+bk有相同的特征值。 设期望的多项式为 n n-1 s+1S+…+n-1S+n
这时(4-6)式的状态反馈律可写为 k kP k kP u v kx v kP x v kx 1 1 = = = + = + = + − − (4-9) det{P[sI (A bk)]P } det[sI (A bk)] det[sI (A bk)] det[sI (PAP PbkP )] 1 1 1 = − + = − + − + = − + − − − 由于 故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。 A+ bk A + bk A+ bk A + bk 设期望的多项式为 n 1 n n 1 1 n s + s + + − s + −
若取 k=n-ann1-an1…a2-a21-a1](4101 考虑矩阵 V+ PK= (4-11)的特征式为S+ax1S+…+Cn-1S+∝n 故知(4-11)具有期望的特征值
考虑矩阵 − − − − + = n n−1 2 1 1 1 0 1 A bk (4-11) n n n 1 n 1 2 2 1 1 k = − − − − − − (4-10) 若取 (4-11)的特征式为 n 1 n n 1 1 n s + s + + − s + − 故知(4-11)具有期望的特征值
这说明任意给定闭环n个极点,均可通过(4-10)、(4-11) 式确定,使A+bk具有给定的n个特征值,充分性证毕。 必要性。若系统(4-5)可任意配置闭环特征值,要证 明系统(4-5)可控。用反证法,若系统(4-5)不可控, 则存在一个可逆矩阵,通过等价变换后,可将(4-5) 式转换为可控分解形式。考虑矩阵 AA b atk= +/01 k 0 A 4 A 1+b,k a2+b,k2 0 A
这说明任意给定闭环n个极点，均可通过(4-10) 、(4-11) 式确定，使A+bk具有给定的n个特征值，充分性证毕。 必要性。若系统(4-5)可任意配置闭环特征值，要证 明系统(4-5) 可控。用反证法，若系统(4-5)不可控， 则存在一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将(4-5) 式转换为可控分解形式。考虑矩阵 + + = + + = 4 1 1 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 0 A A b k A b k k k 0 b 0 A A A A bk