线性系统理论——由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统

由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统 若原系统(对象)方程为 ⅹ=Ax+Bu,y=Cx(548) 现以状态观测器所得到的状态估计值xX代替原系统 的状态变量x形成状态反馈,即 u=v+KX 而观测器的方程为 X=(A-GC)X+Bu +Gy (549)

由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统 若原系统(对象)方程为 x  = Ax + Bu , y = Cx (5-48) 现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统 的状态变量 x 形成状态反馈，即 ˆ x u = v + Kx ˆ 而观测器的方程为 x ˆ = (A − GC)x ˆ + Bu + Gy  (5-49)

由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭 环系统的方块图如图5-5所示。 Ax+Bi y=CX 观测器 K 图5-5

由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭 环系统的方块图,如图5-5所示。 图5-5 观测器 K ˆ x v u y y Cx x Ax Bu =  = +

合并上面的式子,可分别得到 X= AX+BKX+ Bv, y=CX (S-1) X=(A-GC +BK)X+GCx+Bu(S-2 图5-5所示的闭环系统,由于对象的方程为n维,而观 测器也是n维,所以闭环是一个2n维的系统,为了写 出它的动态方程,取状态向量为[xx 根据 (S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为 X A BK XB GCA-GC+BK‖x|B (5-50 y

合并上面的式子，可分别得到 xˆ (A GC BK)xˆ GCx Bu x Ax BKxˆ Bv , y Cx = − + + + = + + =   (S-1) (S-2) 图5-5所示的闭环系统，由于对象的方程为 n 维，而观 测器也是n 维，所以闭环是一个 2n 维的系统，为了写 出它的动态方程，取状态向量为 ，根据 (S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为 T T T [x x ˆ ]         =       +            − + =      xˆ x y C 0 v B B xˆ x GC A GC BK A BK xˆ x   (5-50)

将(5-50)式的动态方程进行如下的坐标变换 X I0‖x 0 0 P 变换后,所得到的动态方程为 A+BKBK‖xB 0A-GC‖x|0 (5-51) y=C O 可控性分解

将(5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换             − =      xˆ x I I I 0 x ~ x       − =       − = − I I I 0 P I I I 0 P 1 变换后，所得到的动态方程为         =       +            − + − =      x ~ x y C 0 v 0 B x ~ x 0 A GC A BK BK x ~ x   (5-51) 可控性分解

闭环系统的传递函数可以通过(5-51)式来计算。注 意到(5-51)式是可控性分解的形式,不可控部分AGC 在传递函数中计算过程中将被消去,闭环系统的传递 函数由可控部分决定,所以可得 G(S)=C[SI-(A+BK)I-B 上述关系表明图5-5所示系统的传递函数和用准确 的x作反馈时的传递函数完全一致,这说明用x代替 x作反馈未影响系统的输入输出关系

闭环系统的传递函数可以通过(5-51)式来计算。注 意到(5-51)式是可控性分解的形式，不可控部分 A-GC 在传递函数中计算过程中将被消去，闭环系统的传递 函数由可控部分决定，所以可得 G (s) C[sI (A BK)] B 1 f − = − + 上述关系表明图5-5所示系统的传递函数和用准确 的x 作反馈时的传递函数完全一致，这说明用 代替 x作反馈未影响系统的输入输出关系。 ˆ x

从(5-51)式可知,这时闭环系统矩阵的特征式可计 算如下 A+BK一BK detsl 2n 0 A-GC detIsl-(A+ bk)ldetIsI-(A-GC)I 上式表明,图5-5所示闭环系统的特征式等于矩阵 A+BK与矩阵AGC的特征式的乘积,而A+BK是状 态反馈系统的系统矩阵,AGC是观测器的系统矩阵, 这表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性 是相互独立的

det[sI (A BK)]det[sI (A GC)] 0 A GC A BK BK det sI n n 2n = − + − −             − + − − 上式表明 , 图5-5所示闭环系统的特征式等于矩阵 A+BK 与矩阵A-GC 的特征式的乘积，而A+BK 是状 态反馈系统的系统矩阵，A-GC是观测器的系统矩阵， 这表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性 是相互独立的。 从(5-51)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计 算如下

这个特点表明:若系统是可控、可观的,则可按 闭环极点配置的需要选择反馈增益阵K,然后按观测 器的动态要求选择G,G的选择并不影响已配置好的闭 环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的 设计可分开进行,这个原理通常称为分离定理 同样,可以证明,用降维观测器来实现状态反馈 时分离特性仍成立。 通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器,这 控制器的输入是对象(ABC)的输入信号和输出信号, 控制器的输出是状态估计值的线性函数,它作为反馈 信号构成闭环控制,如图所示

这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按 闭环极点配置的需要选择反馈增益阵K，然后按观测 器的动态要求选择G，G的选择并不影响已配置好的闭 环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的 设计可分开进行，这个原理通常称为分离定理。 同样，可以证明，用降维观测器来实现状态反馈 时分离特性仍成立。 通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器，这 一控制器的输入是对象(A B C )的输入信号和输出信号， 控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈 信号构成闭环控制，如图所示

X= AX+Bu u Cx kx 控制器 由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号, 另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成, 这种结构称为输入、输出反馈结构,是动态补 偿器的一种形式

ˆ x 观测器 K ˆ x v u y y Cx x Ax Bu =  = + k 控制器 这种结构称为输入、输出反馈结构，是动态补 偿器的一种形式。 由对象的输入经过观测器形成一个反馈信号， 另一反馈信号由对象的输出经过观测器所形成

LTR+ 0p transfer recovery))方法 直接用状态量作反馈 C 时的开环传递函数阵: A o(s=K(sl-A)B 引入观测器用状态估 u X=Ax Bu 计值作反馈时的开环 y=CX 传递函数阵 (S)=K(SI-A+HC)[I+HC(SI-A) 1B

直接用状态量作反馈 时的开环传递函数阵： 引入观测器用状态估 计值作反馈时的开环 传递函数阵： L0 (s)=K(sI-A)-1B B C A K  x  观测器 K ˆ x u y cx x Ax Bu =  = + Lc (s)=K(sI-A+HC)-1 [I+HC (sI-A)-1 ] B LTR (loop transfer recovery) LTR 方法

希望‖Lo(s)-L(s)最小。 ∈g2

希望 ‖ L0 (s) - Lc (s) ‖最小。 S=j  