线性系统理论——实现

实现 标量传递函数 设给定有理函数 dsn+dns"-+…+d1s+d g0(s)= 0=d+ 阝1s-+…+βnS+β n-1 (3-34*) S+1S+…+n-1S+Cn S+aS+…+a1S+a (3-34*)式中的d就是下列动态方程中的直接传递部分 X=Ax+bu, y=cx+du 所以只需讨论(3-34*)式中的严格真有理分式部分 问题的提法是:给定严格真有理函数 g(s) βs-+…+βn1S+β n-1 3-34) S+anS+…+a1S+a

一、标量传递函数 设给定有理函数 (3-34*) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分 x  = Ax +bu , y = cx + du 所以只需讨论(3-34*)式中的严格真有理分式部分。 问题的提法是：给定严格真有理函数 实现 1 0 n 1 n 1 n n 1 n n 1 1 n 1 n n 1 1 n 1 0 n 1 n 1 n 0 s a s a s a s s d s s s ds d s d s d g (s) + + + +  + +  +  = + +  + +  +  + + + + = − − − − − − − −     (3-34*) 1 0 n 1 n 1 n n 1 n n 1 1 s a s a s a s s g(s) + + + +  + +  +  = − − − −   (3-34)

要求寻找Abc,使得 c(sl-A)b=g(s) (3-35*) 并且在所有满足(3-35*)式的Ab,c中,要求A的维数尽可能的 小。下面讨论g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况 对(3-34)式,可构造出如下的实现(A,b,c) a,可控标准形的最小阶实现(3-42)

要求寻找 A,b,c，使得 c(sI A) b g(s) 1 − = − (3-35*) 并且在所有满足(3-35*)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的 小。下面讨论g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况 对(3-34)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c) a,可控标准形的最小阶实现 (3-42)

000 0 A= (3-42) 0 00 对可控标准形最小阶实现(3-42)式,计算 (SI -A)b= s+x1S+…+Oxn-S+Cn:

对可控标准形最小阶实现 (3-42)式，计算               +  + +  +  − = − − − − n 1 1 0 n 1 n n 1 1 n 1 s s s s s s 1 (sI A) b     n n 1 1 n n 1 n 2 1 c 1 0 0 0 b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 A =                    =                 −  −  −  −  = − − −         (3-42)

b,可观标准形的最小阶实现(3-38) 00 A=01 (3-38) 00 =D00…01 (3-42)式给出的(A,b,c)具有可控标准形,故一定是可控的。可 直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于g(s)无 零、极点对消,故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观 的。这时A阵的规模不可能再减小了,因为再减小就不可能得 出传递函数的分母是n次多项式的结果。所以(3-42)式给出的

b,可观标准形的最小阶实现 (3-38) (3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可 直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于g(s)无 零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观 的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得 出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的 c 0 0 0 1 b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 A 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n            =                =                 −  −  −  −  = − − − (3-38)

就是(3-34)的最小阶动态方程实现。同样可以说明(3-38) 式是(3-34)的可观标准形的最小实现 二、向量的情况 个元素为多项式的矩阵,可以写成矩阵为系数的多项式。 2s3+52+3ss3+4s2+6s+41「21 361「0 s+ S+ s2+6 s+1 (1)行分母展开时得可观标准形最小实现 s+1s2+3s+2 l+21 A (S+l)(s+2)

就是(3-34)的最小阶动态方程实现。同样可以说明(3-38) 式是(3-34)的可观标准形的最小实现。 二、向量的情况 一个元素为多项式的矩阵，可以写成矩阵为系数的多项式。       +       +       +        =      + + + + + + + 6 1 0 4 0 1 3 6 1 0 5 4 0 0 2 1 6 1 2 5 3 4 6 4 3 2 2 3 2 3 2 s s s s s s s s s s s (1) 行分母展开时,得可观标准形最小实现       + + 3 + 2 1 1 1 1, 2 s s s     0 1 1 0 2 1 1 3 0 2 ( 1)( 2) 1 0 2 1 =       =       − − = + + + A b c s s s

2s+3 s2+2s+2 (s+1)2(s+2)s(s+1) p213+{542+36]+[04 s(s+1)(s+3) 00000 1000-2 36 A=0100-7 B=54 000 0010-9 0001-5 00 (2)列分母展开时得可控标准形最小实现 2S s2+2s+2 (S+1)(S+2)(s+3)s(S+1)(s+4)

      + + + + + + 3 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) ( 2) 2 3 2, s s s s s s s         0 0 0 0 1 0 0 2 1 5 4 3 6 0 4 0 0 0 1 5 0 0 1 0 9 0 1 0 0 7 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 ( 1) ( 3) 2 1 5 4 3 6 0 4 3 3 2 =                 =                 − − − − = + + + + + A B C s s s s s s (2) 列分母展开时,得可控标准形最小实现 T s s s s s s s s s       + + + + + + + ( 1)( 4) 2 2 ( 1)( 2)( 3) 2 2

0 0 S+ 18 22 12 s3+10s4+35s3+50s2+24s 000 000 00820 A=0 B=0 12221871 0-24-50-35-10 注意:因为G(s)的诸元素已是既约形式,故行分母(列分母) 的次数就是麦克米伦阶,所构造的实现一定是最小实现。这点 和标量传函一样。 三、传递函数矩阵G(s) 可以将矩阵G(s)分成列(行),每列(行)按列(行)分母展开 以2列为例说明列展开时的做法,设第i列展开所得的可控形实 现为A:,b;C;,可按以下方式形成ABC

      =                 =                 − − − − = + + + +       +       +       +       +       12 22 18 7 1 0 0 8 2 0 1 0 0 0 0 0 24 50 35 10 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 35 50 24 12 0 22 0 18 8 7 2 1 0 5 4 3 2 4 3 2 A B C s s s s s s s s s 注意：因为G(s)的诸元素已是既约形式，故行分母（列分母） 的次数就是麦克米伦阶，所构造的实现一定是最小实现。这点 和标量传函一样。 三、传递函数矩阵G(s) 可以将矩阵G(s)分成列(行)，每列(行)按列(行)分母展开。 以2列为例说明列展开时的做法,设第i列展开所得的可控形实 现为Ai ,b i ,C i ，可按以下方式形成A,B,C

A10 B 0 b C=1C2 这一实现是可控的,并可计算出上述实现的传函阵为G(s) 0b0 C(S/-A)B= k(d-4c10+k-4)c-4y] 同理,可以将G(s)分成行,每行按行分母展开。以2行为例说 明行展开时的做法设第i行展开所得的可观形实现为A,B;,C1, 可按以下方式形成ABC

  1 2 2 1 2 1 , 0 0 , 0 0 C C C b b B A A A =       =       = 这一实现是可控的，并可计算出上述实现的传函阵为G(s)       2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) C sI A b C sI A b b b C sI A C sI A b b sI A sI A C sI A B C C − − − − − − − = − −       = − −             − − − = 同理，可以将G(s)分成行，每行按行分母展开。以2行为例说 明行展开时的做法,设第i行展开所得的可观形实现为Ai ,B i ,ci ， 可按以下方式形成A,B,C

A,0 B B 0A2 B 0 这一实现是可观的,并可计算出上述实现的传函阵为Gs B C(S-A)B= 0 0 B s/9(/ B1 C(sI-A) B B (s1-A2)B 例题给定有理函数阵为 GO S)=/S+1 s+3 s+1s+2

      =       =       = 2 1 2 1 2 1 0 0 , , 0 0 c c C B B B A A A 这一实现是可观的，并可计算出上述实现的传函阵为G(s)       − − =            − − =             − −       − = − − − − − − − 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) c sI A B c sI A B B B c sI A c sI A B B sI A sI A c c C sI A B 例题 给定有理函数阵为           + − + − + + = 2 1 1 1 3 1 1 1 ( ) s s s s G s

试用行展开和列展开构造G(s)实现 解采用行展开方法,将G(s)写成 [11s+[31 G(s) (S+1)(S+3) [1-1+[2-1] (S+1)(s+2) dl1(s)=s2+4s+3,d2(s)=s2+3s+2, 31] [11,N=[2-1 按(1-20)式,可得可观性实现如下 31 0100 B C 0-2 000

试用行展开和列展开构造G(s)实现。 解 采用行展开方法，将G(s)写成         3 1, 1 1,  2 1,  1 1, ( ) 4 3, ( ) 3 2, ( 1)( 2) 1 1 2 1 ( 1)( 3) 1 1 3 1 ( ) 2 1 2 0 1 1 1 0 2 2 2 1 = = = − − = − − = + + = + +             + + − − + − − + + + = N N N N d s s s d s s s s s s s s s G s 按(1-20)式,可得可观性实现如下       =             − − − − =             − − − − = 0 0 0 1 0 1 0 0 , 1 1 2 1 1 1 3 1 , 1 3 0 2 1 4 0 3 A B C