时变线性系统 本章所考虑的n维线性时变系统的方程为 文=A(tx+B(tu y=c(tx (6-1) 式中u是p维输入向量,y是q维输出向量,并假定 状态方程满足解存在和唯一性条件 (1)系统的性质如状态可控性、可达性、可观测性 可重构性等和所研究的时刻有关,因此就提出这 些性质对t是否具有一致性的问题。 在时变系统的设计中,一致性常是设计问题有解 的条件
时变线性系统 式中u是p维输入向量，y是q 维输出向量，并假定 状态方程满足解存在和唯一性条件。 (1)系统的性质如状态可控性、可达性、可观测性、 可重构性等和所研究的时刻有关，因此就提出这 些性质对 t 是否具有一致性的问题。 在时变系统的设计中，一致性常是设计问题有解 的条件。 本章所考虑的n 维线性时变系统的方程为 y C(t)x x A(t)x B(t)u = = + （6—1）
时不变系统:特征值对应于系统运动的模式, 特征值的分析 时变系统:分析状态转移矩阵 求出时变系统的状态转移矩阵难 (3)在研究方法上,显然复数域的方法一般不再 适用,所采取的完全是时域的方法。 介绍一致完全可控性与一致完全可观测性的概念 介绍一些在研究时变系统时所遇到的困难
(2) 时不变系统：特征值对应于系统运动的模式， 特征值的分析 时变系统： 分析状态转移矩阵 求出时变系统的状态转移矩阵 困难 (3) 在研究方法上，显然复数域的方法一般不再 适用，所采取的完全是时域的方法。 介绍一致完全可控性与一致完全可观测性的概念 介绍一些在研究时变系统时所遇到的困难
定义6-1 致完全可控 线性时变系统(6-1)称为一致完全可 控的,如果存在σ>0以及与σ有关的正数 a;(σ)(i=1,2,34),使得对一切t有 0<α1(σI≤W(t2t+o)≤2(o)(6-2) 0<α3(o)l≤Φ(t+σ,t)W(t,t+σ)Φ(t+o,t)≤4(I (6-3)
定义6-1 一致完全可控 线性时变系统（6-1）称为一致完全可 控的，如果存在 σ > 0 以及与 σ 有关的正数 α i (σ) (i=1,2,3,4)，使得对一切 t 有 0 ( )I (t , t)W(t, t ) (t , t) ( )I 4 T 3 + + + 0 ( )I W(t, t ) ( )I (6 2) 1 + 2 − （6-3）
定义可以保证,在时间定义域内任何时刻的状 态转移均可在时间间隔σ内完成,而与时间的 起点无关。这里所说的状态转移,包括了 从t时刻的任何状态转移到tG时刻的零状态 (可控)以及 从t-σ时刻的零状态转移到t时刻的任意状态 (可达), 这两点分别由(6-2)式与(6-3)式所保证 t-O t+o
定义可以保证，在时间定义域内任何时刻的状 态转移均可在时间间隔内完成，而与时间的 起点无关。这里所说的状态转移，包括了 从 t 时刻的任何状态转移到t+ 时刻的零状态 （可控）以及 从t- 时刻的零状态转移到t 时刻的任意状态 （可达）， 这两点分别由（6-2）式与（6-3）式所保证。 t- t t+
例6-1一维线性系统 x=elu 系统是可控的,不是一致完全可控的 W(t, t +o) e dt=o5e 2t 20 (1-e-20) 因为当t充分大时,因子e可任意地小, W(tt)不存在(>0)的下界
例6-1 一维线性系统 x e u −|t| = 系统是可控的，不是一致完全可控的 + − − − + = = − t t 2t 2t 2 W(t,t ) e dt 0.5e (1 e ) 因为当 t 充分大时，因子 可任意地小 , W(t,t+ )不存在(>0)的下界 t e −2
例6-2一维线性系统x=b(t) 式中b()由图6-1所定义。 b(t) 选择∝=5 1≤Wt,t+5)=b2()dts5
例6-2 一维线性系统 式中 由图6-1所定义。 x = b(t)u b(t) t 1 2 b(t) + + = t 5 t 2 1 W(t,t 5) b (t)dt 5 选择 =5
(6-2)式成立。又因为Φ=,所以6-3)式也成立 在(-∞+∞)内系统是一致完全可控的。当然也 是可控的
在 内系统是一致完全可控的。当然也 是可控的。 (−,+) (6-2)式成立。又因为Φ=I，所以(6-3)式也成立
定理6-1可控性矩阵W(to,t)性质 (1)W(to,t)是对称的, (2)W(tn,t1)对于t1>to是非负定的, (3)W(to,t)满足线性矩阵微分方程, w(t, tD=A(tW(t, t,+w(t, tuA(t)-B(tB(t) dt W(t1,t1)=0 (4)W(to,t1)满足 W(to, t=W(to, t +o(to, t )W(t, t,p(to, t)
定理6-1 可控性矩阵W(t0, t)性质 （1） W(t0, t)是对称的， （2） W(t0, t1 )对于 是非负定的， （3） W( t0, t)满足线性矩阵微分方程， 1 0 t t W(t ,t ) 0 W(t,t ) A(t)W(t,t ) W(t,t )A (t) B (t)B (t) dt d 1 1 T T 1 1 1 = = + − W(t ,t ) W(t ,t ) (t ,t )W(t,t ) (t ,t ) 0 1 T 0 1 = 0 1 + 0 1 （4） W(t0, t1 )满足
定理6-2 若A(t)及B(t)有界,即存在K使得对任意的t, 均有 A(t)|0及a0(a),使得对一切t成立 0<o(o)I≤W(t,t+o) (6-9) 四个不等式变成一个不等式。四个不等式变成 个不等式。)
定理6-2 若A(t)及B(t)有界，即存在K使得对任意的t ， 均有 0 ( )I W(t,t ) 0 + (6-9) || A(t)|| K, || B(t)|| K (6-8) 则系统一致完全可控的充分必要条件为：存 在 及 ( ) 0 0 ,使得对一切 t 成立 (四个不等式变成一个不等式。四个不等式变成 一个不等式。)
引理1(Gmwl-Bemn不等式), 设u(t),v(t)≥O而c>O 若u≤c+ udt Vt≥0(6-9) vdt 则有u<cel Vt≥0 (6-10) 引理1之应用 dop(t,to=Ao(t, to)o(to, to)=I dt 对方程两边从t到t积分,即可将初值问题转换为 个积分方程(弗利德荷姆第一类积分方程)
引理1 （ Gronwall −Bellman 不等式） ， 设 u(t), v(t) 0 而 c0 u ce t 0 (6 10) u c uvdt t 0 (6 9) t 0 vdt t 0 − + − 则有 若 A (t,t ) dt d (t,t ) 0 0 = (t ,t ) I 0 0 = 对方程两边从t 0到t积分，即可将初值问题转换为 一个积分方程(弗利德荷姆第一类积分方程) 引理1之应用