A,线性时不变系统的稳定性分析 §7-2.,7-3的部分内容 系统方程为 ⅹ=Ax+Bu y=CX (A-1) (A-)的解x()=c^x(O)+Je"Bp(dr (A-2) y(t)=CeAtx(0)+[CeA(t-t)Bu(t)dt 或用复数域表示 x(s)=(s-A)x(0)+(s-A)Bu(s) (A-3) y(s)=C(SI-A)X(0)+C(sl-A)Bu(s)
1 A, 线性时不变系统的稳定性分析 §7-2,7-3的部分内容 或用复数域表示 系统方程为 (A-1)的解 x = Ax +Bu y = Cx (A-1) = + = + − − t 0 A t A(t ) t 0 A t A(t ) y(t) Ce x(0) Ce Bu( )d x(t) e x(0) e Bu( )d (A-2) y(s) C(sI A) x(0) C(sI A) Bu(s) x(s) (sI A) x(0) (sI A) Bu(s) 1 1 1 1 − − − − = − + − = − + − (A-3)
由(A-2)可见x(t)y(t)由四部分组成,因此稳定性 分析要对这四部分进行,显然只有这四项都有界时系 统才能正常工作。因此,对系统采用状态空间的描述 方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和 系统可控性、可观测性密切相关。 ,运动模式及其收敛、发散、有界的条件 (A-1)式中A阵的特征值称为模态,n1重特征值入 对应的运动形式可能有S2…-s,它们均 称为系统的运动模式。但对应于λ的这些模式并非全 部都出现,究竞出现多少项取决于λ的几何结构。例 如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式:
2 由(A-2)可见x (t),y (t)由四部分组成，因此稳定性 分析要对这四部分进行，显然只有这四项都有界时系 统才能正常工作。因此，对系统采用状态空间的描述 方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和 系统可控性、可观测性密切相关。 (A-1) 式中A阵的特征值称为模态，ni重特征值λ 对应的运动形式可能有 ,它们均 称为系统的运动模式。但对应于λ的这些模式并非全 部都出现，究竟出现多少项取决于λ的几何结构。例 如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式： t t n t e te t e i 1 , , , − 一，运动模式及其收敛、发散、有界的条件
例题A-1 2 2t e 2 →)e A, 2 2t e 21 2t te 2t e A →)e e 2t e 2t 22t 21 te te A At 2t te 2t 2 2t e 3
3 → = = → = = 2t 2t 2t 2t 2t 2 2t A t 3 2t 2t 2t 2t A t 2 e e te t e 2 1 e te e 2 2 1 2 1 A e e e te e 2 2 2 1 A 3 2 → = = 2t 2t 2t A t 1 e e e e 2 2 2 A 1 例题A-1
(1)Reλ0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间 趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散 (3)Reλ=0,分两种情况:若λ对应的若当块全是一阶块, 这时λ的代数重数与几何重数一致,不会发生发散现 象,运动模式也不收敛,运动模式是有界的;当λ的 几何重数小于代数重数,对应的若当块一定有二阶 或二阶以上的出现,这时运动模式发散,但发散是按 时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时
4 (3) Reλ=0, 分两种情况：若λ对应的若当块全是一阶块， 这时λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现 象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当λ的 几何重数小于代数重数，λ对应的若当块一定有二阶 或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按 时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时, (1) Reλ0, λ对应的所有运动模式发散，即随着时间 趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散
定要研究它的几何重数后,才可对运动模式的 形态作出结论。只要将题A-1中的特征值2换为零, 就可证实。 如果对动态方程(A-1)进行等价变换,不会改变运 动模式的性质,因而也不会改变(A-2)式中四项的有 界性,即等价变换不改变稳定性 稳定性问题是A的特征值问题,但在(A2)式中以 四项形式出现,也就是与BC阵密切相关,即与系统 的可控性、可观测性密切相关
5 一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的 形态作出结论。只要将题A-1中的特征值2换为零， 就可证实。 如果对动态方程(A-1)进行等价变换,不会改变运 动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有 界性，即等价变换不改变稳定性。 稳定性问题是A的特征值问题，但在(A-2)式中以 四项形式出现，也就是与B,C阵密切相关，即与系统 的可控性、可观测性密切相关
二,李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定 首先研究齐次方程 X=AX (A-4 它的解为ek(0),这是(A-2)式中的第一项,也是u=0 时x(t)的表达式。当x(0)=0时,(A-4)有解:x=0,它称 为(A4)的零解 定义对任意的x(0),均有x(t)有界则称(A-4)的零解是 李雅普略夫意义下稳定的; 若对任意的x(O),均有limx(t)=0, 称(A4)的零解为渐近稳定
6 二，李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定 首先研究齐次方程 x = Ax (A-4) 它的解为e A tx (0)，这是(A-2)式中的第一项 , 也是u=0 时x (t)的表达式。当x(0)=0时，(A-4)有解：x=0，它称 为(A-4)的零解。 定义 对任意的x(0) , 均有x(t)有界,则称(A-4)的零解是 李雅普略夫意义下稳定的； 若对任意的x(0), 均有 ， 则 称(A-4)的零解为渐近稳定。lim ( ) = 0 → x t t
说明:这里一个时间函数x(t)称为有界的,是指存 在与t无关的常数K,使得当t∈(0,∞),均有kx(t)<K 成立。 定理A-1对方程(A-4)零解的稳定性有下列充分必 要条件成立 (1)李雅普略夫意义下稳定←→A的实部为零的特征值 对应的若当块是一阶块,其余特征值均具有负实部; (2)渐近稳定◆A的特征值均具有负实部; (3)不稳定〈→A或有正实部特征值;或实部为零的 特征值有非一阶若当块
7 说明：这里一个时间函数x(t) 称为有界的，是指 存 在与 t无关的常数K，使得当t∈(0, ∞), 均有|x(t)|<K 成立。 定理A-1 对方程(A-4) 零解的稳定性有下列充分必 要条件成立： (1)李雅普略夫意义下稳定 A的实部为零的特征值 对应的若当块是一阶块，其余特征值均具有负实部； (2) 渐近稳定 A 的特征值均具有负实部； (3) 不稳定 A或有正实部特征值；或实部为零的 特征值有非一阶若当块
例题A-2下面给出的三个系统矩阵A,分别对应于稳 定、渐近稳定、不稳定的情况。对于同属于不稳定情 况的第三、四个矩阵,发散的情况有所不同,前者按t 规律发散,后者按指数规律(et)发散。 1+j 三,有界输入、有界状态(BIBS)稳定 本节研究(A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项
8 例题A-2 下面给出的三个系统矩阵Ａ，分别对应于稳 定、渐近稳定、不稳定的情况。对于同属于不稳定情 况的第三、四个矩阵，发散的情况有所不同，前者按t 规律发散，后者按指数规律(e t ) 发散。 − − − − − − − + − − 1 3 5 1 0 0 1 5 1 1 0 1 1 1 j j 三,有界输入、有界状态（BIBS）稳定 本节研究(A-2)式中的第二项,并综合研究第一、二项
定义若x(0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下,均有 x(t)有界,则称系统(A-1)BBS稳定 若对任意的x(),及在任意有界输入u(t)作用下 均有x(t)有界,则称系统(A-1)BIBS全稳定 定理A-2系统(A-1)BIS稳定系统(A-1)全体可 控模式收敛 系统(A-1)BIBS全稳定(→系统(A-1)全体 可控模式收敛.全体不可控模式无发散 定理A-2可以用可控性分解式来说明,不妨假定, (A-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有
9 定义 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有 x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS稳定。 若对任意的x(0), 及在任意有界输入u(t)作用下, 均有x(t)有界, 则称系统(A-1)BIBS 全稳定。 定理A-2 系统(A-1)BIBS稳定 系统(A-1)全体可 控模式收敛. 系统(A-1)BIBS 全稳定 系统(A-1)全体 可控模式 收敛. 全体不可控模式 无发散。 定理A-2 可以用可控性分解式来说明, 不妨假定， (A-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有
x=e×xo)1+ca()rx 4x2(O) 0 当x(0)=0时,x(t)的表达式中只有第二项,这项与不 可控模式无关,而 JeB()d|≤k∫l= B, ldt 这里K是u(t)的界,上式若有界当且仅当A1的特征值 均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计 及,故需加上e|有界的条件,而这个条件就是A4李 氏稳定的条件
10 + = − 0 ( ) (0) (0) ( ) 0 1 ( ) 2 1 1 4 1 t A t A t A t e B u d x x e e x t 当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不 可控模式无关，而 − 0 1 0 1 ( ) 1 1 e B u( )d K e B dt A t t A t 这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值 均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计 及，故需加上| |有界的条件，而这个条件就是A4李 氏稳定的条件。A t e 4