线性系统理论——输出反馈配置极点

输出反馈配置极点问题学习要求 1,了解问题的困难和正确理解已有结果 自由度少、非线性、非单值性定理5-8 2,一些处理(线性)方法(工具、概念)和局限性 定理5-2至5-4及推论的作用 3,研究输出反馈的意义 (状态反馈、部分状态反馈、动态补偿器) 4由此产生的一系列分支与结果 (由于它的挑战性,使得它像一只下蛋的老母鸡。)

1,了解问题的困难和正确理解已有结果 自由度少、非线性、非单值性 定理5-8 2,一些处理(线性)方法(工具、概念)和局限性 定理5-2至5-4及推论的作用 3,研究输出反馈的意义 (状态反馈、部分状态反馈、动态补偿器) 4,由此产生的一系列分支与结果 (由于它的挑战性，使得它像一只下蛋的老母鸡。) 输出反馈配置极点问题学习要求

§5-1静态输出反馈和极点配置 研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别 静态输出反馈的性质 若给定线性时不变系统方程为 xy Ax+ Bu (5-1) CX 其中各符号意义同前。 如果我们取u=Kyv(5-2) K是p×q的常值矩阵,v为p维输入向量。 通常称(5-2)式为静态输出反馈控制律。 联合(5-1)式和(5-2)式,可以得到闭环系统的 动态方程为

研究静态输出反馈与状态反馈与状态反馈的区别 K是p×q的常值矩阵，v为p维输入向量。 通常称（5-2）式为静态输出反馈控制律。 联合（5-1）式和（5-2）式，可以得到闭环系统的 动态方程为 若给定线性时不变系统方程为 y Cx x Ax Bu =  = + （5-1） 其中各符号意义同前。 如果我们取 u=Ky+v （5-2) 静态输出反馈的性质 §5-1 静态输出反馈和极点配置

X=(A+BKC)X+Bv y=CX (5-3) 闭环系统的示意图如图 定理5-1反馈规律(5-2)不改变系统的可观测性。 证明根据等式 sI-(A+BCK)「1-BKTs-A (5-4) C 01 C

B C A K  x  闭环系统的示意图如图 定理5-1 反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。 证明 根据等式       −       − =      − + C sI A 0 1 1 BK C sI (A BCK) (5-4) x  =（A+BKC）x+Bv y= Cx （5-3）

由于(54)式右端第一个矩阵是非奇异阵,因此 对任意的s和K。均有 SI-(A+BKC) SI-A rar nk k ran C C 由此可见,系统(5-3)的可观测的充分必要条 件是系统(5-1)可观测,这表明静态输出反馈不改 变系统的可观测性。 如果系统(5-1)不可观测,由(5-5)可知, 使得(5-5)右边矩阵降秩的那些s值也使(5-5)式 左边矩阵降秩。这表明静态输出反馈不会改变系统 的不可观测振型

由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此 对任意的s和K。均有 =      − + C sI (A BKC) rank       − C sI A rank 由此可见，系统（5-3）的可观测的充分必要条 件是系统（5-1）可观测，这表明静态输出反馈不改 变系统的可观测性。 如果系统（5-1）不可观测，由（5-5）可知， 使得（5-5）右边矩阵降秩的那些s值也使（5-5）式 左边矩阵降秩。这表明静态输出反馈不会改变系统 的不可观测振型

从几何观点来看,(5-2)式的输出反馈不改 变不可观测子空间 (5-2)式的反馈律也不改变系统的可控性。事 实上,可以把(5-3)中的KC看作是一种状态反馈 的增益阵,显然这种特殊的状态反馈不改变系统的 可控性。 第四章证明了一个可控的系统通过状态反馈可 以任意移动它的极点,但是作为一种特殊的状态反 馈的输出反馈一般不具有这一性质

从几何观点来看，（5-2）式的输出反馈不改 变不可观测子空间。 （5-2）式的反馈律也不改变系统的可控性。事 实上，可以把（5-3）中的KC看作是一种状态反馈 的增益阵，显然这种特殊的状态反馈不改变系统的 可控性。 第四章证明了一个可控的系统通过状态反馈可 以任意移动它的极点，但是作为一种特殊的状态反 馈的输出反馈一般不具有这一性质

例5-1 维系统动态方程为 x+I u y=[ okr 00 取uKy+v,这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s2-K,无论K取何值,闭环系统的极点只能在复平面 的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改 变这个系统的极点。 (5-2)式的输出反馈控制律中的K阵与闭环极 点之间的关系是复杂的,可以说仍是线性控制理 论至今尚未解决的问题

例5-1 二维系统动态方程为 u 1 0 x 0 0 0 1 x       +        = y = 1 0x 取u=Ky+v，这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s 2 -K，无论K取何值，闭环系统的极点只能在复平面 的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改 变这个系统的极点。 （5-2）式的输出反馈控制律中的K阵与闭环极 点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理 论至今尚未解决的问题

循环矩阵 n×n方阵A称为循环的是指其最小多项式就是特征多 项式。 等价说法有 1,sl-A的 Smith标准形只有一个非1的不变因子; 2,A的若当形中一个特征值只有一个若当块; 3,存在向量b(称为A的生成元,使 b.Ab.A2b…An-2b.A-b线性无关 单输入系统(Ab)可控的充分必要条件是:A是循环的 且b是A的生成元

1, sI-A的Smith标准形只有一个非1的不变因子； 单输入系统 (A b)可控的充分必要条件是：A是循环的 且b是A的生成元。 3, 存在向量b(称为A的生成元), 使 b,Ab,A 2 b,  ,A n−2 b,A n−1 b 线性无关。 循环矩阵 n×n方阵A称为循环的是指其最小多项式就是特征多 项式。 等价说法有 2, A的若当形中一个特征值只有一个若当块；

用于极点配置问题中的几个定理 推论5-2若(A、B)可控,A是循环矩阵,则存 在向量b∈ImB使(A、b)可控。 推论5-4设(A、B、C)可控可观测,存在一个 p×q矩阵H,使(A+BHC、B)可控,(A+BHC、 C)可观测,并且A+BHC是循环矩阵,即它的最小 多项式是n次。 这一推论可以通过反复用定理54而得到。它 表明在(A、B、C)可控可观测的条件下,存在输 出反馈增益阵H,可使闭环系统矩阵A+BHC是循环 的。因此在讨论输出反馈问题时,我们总可认为系 统矩阵是循环矩阵

用于极点配置问题中的几个定理 推论5-2 若（A、B）可控，A是循环矩阵，则存 在向量bImB,使（A、b）可控。 这一推论可以通过反复用定理5—4而得到。它 表明在（A、B、C）可控可观测的条件下，存在输 出反馈增益阵H，可使闭环系统矩阵A+BHC是循环 的。因此在讨论输出反馈问题时，我们总可认为系 统矩阵是循环矩阵。 推论5-4 设（A、B、C）可控可观测，存在一个 p×q矩阵H，使（A+BHC、B）可控，（A+BHC、 C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最小 多项式是n次

例5-3给定系统为(A、B、C)如下 1100 0110 00 1000 A B C 0010 000 0001 0 01 0 00 H a+ BHc 00 0011 000 00 000 可知(A+BHC、B)可控,(A+BHC、C)可观测 且A+BHC是循环矩阵,它的最小多项式为4次

例5-3 给定系统为（A、B、C）如下               = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 A               = 0 1 1 0 0 0 0 0 B         = 0 0 0 1 1 0 0 0 C b 0 0 0 1 c 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A BHC 0 0 0 1 H T = =             + =         = 可知（A+BHC、B）可控，（A+BHC、C）可观测， 且A+BHC是循环矩阵，它的最小多项式为4次

用静态输出反馈配置极点 首先研究单输入多输出的系统,以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难,而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为 Ax+ bu y Cx (5-11) u=ky+v (5-12) 联合(5-11)和(5-12)可得闭环系统的动态方程为 文=(A+bKC)x+bv (5-13)

首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为 u=ky+v (5-12) 联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为 y Cx x Ax bu =  = + （5-11） x  = (A + bKC)x + bv （5-13） 用静态输出反馈配置极点