参考书 1,高为炳编著:运动稳定性基础高等教育 出版社1987年5月 2,黄琳:稳定性理论北京大学出版社 1992年7月 3,秦元勋、王慕秋、王联: 运动稳定性理论与应用科学出版社1980年 4,王柔怀、伍卓群编: 常微分方程讲义人民教育出版社1978年 5月
1, 高为炳编著： 运动稳定性基础 高等教育 出版社 1987 年5月 2, 黄琳： 稳定性理论 北京大学出版社 1992年7月 3, 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用 科学出版社 1980年 4, 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义 人民教育出版社 1978年 5月 参考书
微分方程解对初值的连续依赖性 文=f(x,t (E) x(to)=Xo 解x(t)是自变量t的函数,to,x变动时对应的解也随 着变动,它应该是自变量t与初值to,x的函数,可写为 x(t,tx0)。例如 x=X(toe Xe 问题:当初值变动时,对应的解如何变动?在应用上 意义是:初值通常是用实验方法求得的,实验测得的 数据不可能绝对准确,若微小的误差会引起对应解的 巨大变动,那么所求的初值问题解的实用价值就很小
微分方程解对初值的连续依赖性 0 x0 x(t ) x f(x,t) (E) = = 解 x(t) 是自变量t的函数，t0, x0变动时对应的解也随 着变动，它应该是自变量t与初值t0,x0的函数, 可写为 x(t, t0,x0) 。例如 0 0 t t 0 t t 0 x x(t )e x e x x − − = = = 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上 意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的 数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的 巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小
定理:若f(xt)在域内连续且局部满足 Lipschitz条 件,则E的解Ⅹ(t2txo)作为t,to2xo的函数在它的存 在范围内是连续的。即 ∨>0,3δ>0,使得当|x(o)-v(to)<6时,有 Ix(t, to, x(to))-y(t, to, v(to))<s, astsb, as to sb
定理：若f(x,t) 在域内连续且局部满足Lipschitz条 件，则E的解x(t, t0,x0)作为t, t0,x0的函数在它的存 在范围内是连续的。即 0, 0, 使得当 ‖ x (t0)- (t0) ‖ 时,有 ‖ x(t, t0,x(t0))- (t, t0, (t0)) ‖, a≤t≤b , a≤ t0 ≤b
7-1李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[t。,+∞)满足存在和唯一性条件 考虑一般的时变、非线性、多变量系统,它的微 分方程式如下 文=F(t,x) (7-1) 其中x为n维向量,F(tx)为n维的函数向量。不失 般性,可以设 F(t,0=0 (7-2)
7-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间 [t 0 ,+) 满足存在和唯一性条件。 考虑一般的时变、非线性、多变量系统，它的微 分方程式如下 其中x为n维向量，F(t,x)为n维的函数向量。不失 一般性，可以设 F(t,0)=0 (7-2) x = F(t, x) (7-1)
这时方程(7-1)有解x=0(满足x(to)=0),称为(7-1) 的显然解或零解 从物理概念上看,(7-2)式表示系统的平衡状 态,相应于状态空间中的座标原点 设有一个初始扰动,使系统的状态偏离了平衡 状态ⅹ=0。若初始扰动为x(to)=xo,显然在这个初始 扰动作用下,方程(7-1)所决定的运动是下列初值 问题 文=F(t,x)x(t0)=x 的解。将这个解表示为x(t)=x(t,xo,to)
这时方程（7-1）有解x=0(满足x(t0)= 0) ，称为（7-1） 的显然解或零解。 设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡 状态x=0。若初始扰动为x(t0)= x0 ，显然在这个初始 扰动作用下，方程（7-1）所决定的运动是下列初值 问题 x(t) x(t, x ,t ) 的解。将这个解表示为 = 0 0 0 x0 x = F(t, x) x(t ) = 从物理概念上看，（7-2）式表示系统的平衡状 态，相应于状态空间中的座标原点
根据微分方程解对初值的连续依赖性质,可知 只要x0充分小,对于[t,T之间的任一时刻,x(ttxo) 偏离x=0也可以任意小。现在要问这一性质是否对 [tn,+∞)均成立? 定义7-1对于任意的E>0,都存在8(t,)>0,使得 当x(to)l<8(to,)时有 Ix(t, to, xo)-0 8 x(t)-0 Ix(t, to, xo)<8 Vt to 成立。则称平衡状态ⅹ=0是(李雅普诺夫意义下) 稳定的。 定义7-2若定义7-1中的δ=8(8),即δ与t无关, 则称所定义的稳定为一致稳定
根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知 只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0) 偏离x=0也可以任意小。现在要问这一性质是否对 [t0, +∞)均成立？ 定义7-1 对于任意的＞0，都存在(t0,)0，使得 当‖x(t0) ‖＜ (t0,)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0 成立。则称平衡状态x=0是（李雅普诺夫意义下） 稳定的。 定义7-2 若定义7-1中的 =() ，即与t0无关， 则称所定义的稳定为一致稳定。 ‖x(t0) -0‖ ‖x(t, t0, x0) -0‖＜
定义7-1李雅普诺夫意义下稳定 对于任意的>0,都存在8(t,)>0,使得当 Ix(to) to 初值变化充分小,解的变化(仑to)可任意小(不是无 变化)
定义7-1 李雅普诺夫意义下稳定 t t 0 1,此处随着 t0而变化 2,‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0 对于任意的＞0，都存在(t0,)0，使得当 ‖x(t0) ‖＜ (t0,) 时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0成立。 初值变化充分小，解的变化( t≥ t0)可任意小(不是无 变化)
定义7-3若(a)x=0是稳定的。(b)存在δ(to)>0,使得对 任意的c>0,存在T(E,t0,x0),当(to) to+T(E,t,xo)时有x(t,to,xo)t的行为已决定 (b)是t充分太时的性质 to+ T(E, to, Xo) 1,此处δ(to)是固定的一个范围,(不是任意小的) 2, x(t, to, xo)k8 t>to+ T(E, to, Xo)
定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在(t0)0 ，使得对 任意的＞0 ，存在T(, t0, x0) ， 当‖x(t0) ‖＜ (t0) ，t t0 + T(, t0, x0)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为渐近稳定。 t0 (t0) t0 + T(, t0, x0) 1,此处(t0)是固定的一个范围，(不是任意小的) 2, ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t t0 + T(, t0, x0) (a)x=0是稳定的, x在t t0的行为已决定 (b) 是t充分大时的性质
定义7-3若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在δ(0,)>0,使得对任意的E>0,存在T(E,to,xo), 当x(to)to+T(E,to,x0)时有kx(t,to,xo)0,使得对任意的>0,存在T(), 当kx(t)to+T(8)时有(t,t,xo)<E。 则称ⅹ=0为一致渐近稳定
定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在(t0,)0 ，使得对任意的＞0 ，存在T(, t0, x0) ， 当‖x(t0) ‖＜ (t0) ，t t0 + T(, t0, x0)时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为渐近稳定。 定义7-4 若 (a)x=0是一致稳定的。 (b)存在0 0 ，使得对任意的＞0 ，存在T() ， 当‖x(t0) ‖＜ 0 , t t0 + T()时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为一致渐近稳定
定义7-5若存在v>0,对任意的8>0,存在8(E)>0 使得当k(to)<δ(8),就有 lx(t, to, xo)cev(t-to Vt to 成立。则称x=0是按指数渐近稳定的 这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、 致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念,即 定义中的条件只要在x=0的附近成立即可
定义7-5 若存在 ＞0 ，对任意的＞0 ，存在() ＞0 ， 使得当‖x(t0) ‖＜ () ，就有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ e - (t- t0 ) t≥ t0 成立。则称x=0是按指数渐近稳定的。 这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一 致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即 定义中的条件只要在x=0的附近成立即可
