状态观测器 状态观测器又称状态渐近估计器 为了实现状态反馈,须对状态变量进行测量,但 在实际系统中,并不是所有的状态变量都能测量到的 因此为了实现状态反馈控制律,就要设法利用巳知的 信息(输入量及输出量),通过一个模型(或系统、 或软件)来对状态变量进行估计 如果系统可观测,从输入u和输出y间接地把状态变 量x重构出来是可能的。 这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点
为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但 在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。 因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的 信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、 或软件)来对状态变量进行估计。 状态观测器又称状态渐近估计器。 状态观测器 如果系统可观测，从输入u和输出y间接地把状态变 量x重构出来是可能的。 这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点
个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系 统具有同样动态方程的模型系统,用模型系统的状态 变量作为系统状态变量的估计值,见图5-2所示 B∞ C 原系统 A B 图5-2 模型 A
一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系 统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态 变量作为系统状态变量的估计值，见图5-2所示。 ˆ x B A ˆ x 图5-2 模型 B C A u x y 原系统
问题:1)模型系统的Ab难以与真实系统一致; 2)两系统的初值难以设置得相同 所以这种方案难以保证 im(x-x)=0x0,x0, 由于图5-2中未能利用系统的输出信息对误差进行校正, 所以用图5-2得到的估计值是一个开环估值
问题：1) 模型系统的A b 难以与真实系统一致； 2) 两系统的初值难以设置得相同。 所以这种方案难以保证 lim (x x ˆ) 0 x0 , x ˆ 0 ,u t − = → 由于图5-2中未能利用系统的输出信息对误差进行校正， 所以用图5-2得到的估计值是一个开环估值
般系统的输入量u和输出量y均为已知,因此希望利用 y=cx与y=cx的偏差信号来修正x的值,这样就形 成了图5-3的闭环估计方案。 册环 B C 方案 A H⑧ B C 估计器 A 图5-3
ˆ y = c ˆ x ˆ x 一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用 y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形 成了图5-3的闭环估计方案。 C H 估计器 B C A B A u x y ˆ x ˆ x 图5-3 开环 方案 闭环
在图5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态 估计器,它是一个动态系统,以原系统的输入量和 输出量作为它的输入量,而估计器的输出量是原系 统的状态变量的估计值x,应当满足 im(x-X)=0u,x(O)2x(0) t→∞ 根据图5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方 程 X= AX+ Bu +H(y-CX)=(A-HC)X+ Bu+Hy X=(A-HC)X+(B H BI=(B H) y Y=IX
在图5-3中虚线框出的部分称为状态观测器或状态 估计器，它是一个动态系统，以原系统的输入量和 输出量作为它的输入量，而估计器的输出量是原系 统的状态变量的估计值 ˆ x ， 应当满足 lim (x x ˆ) 0 u, x(0), x ˆ(0) t − = → 根据图5-3所表示的关系可写出观测器部分的状态方 程 x ˆ = Ax ˆ + Bu + H(y − Cx ˆ) = (A − HC)x ˆ + Bu + Hy = − + y u xˆ (A HC)xˆ (B H) B1 = (B H) u1 = y u A1 Y1=I x ˆ
在一类工程实际问题中,产生状态估计值的目的 是用以构成反馈控制规律K,在这种情况下,完全可 以直接讨论如何产生状态的线性组合Kx的估计值, 而没有必要去产生状态的估计值,因此下面我们更 般地引入Kx观测器的概念。 定义5-1设线性时不变系统∑:(A、B、C)的状态 是不能直接量测的,另一状态变量为Z动态系统∑称 为系统∑的Kx观测器,如果∑。以∑的输入u和输出y为 其输入,且对给定的常数矩阵K,∑的输出w满足 lim (Kx-w)=0 Vxo、Zo、u(5-26)
在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的 是用以构成反馈控制规律K，在这种情况下，完全可 以直接讨论如何产生状态的线性组合 Kx 的估计值， 而没有必要去产生状态的估计值，因此下面我们更一 般地引入 Kx 观测器的概念。 定义5-1 设线性时不变系统 ：(A、B、C）的状态 是不能直接量测的，另一状态变量为Z动态系统0称 为系统的Kx观测器，如果0以的输入u和输出y为 其输入，且对给定的常数矩阵K，0的输出w满足 lim (K x w) 0 x0 z 0 u t − = 、 、 → (5-26)
若在上述定义中,如果K=,则∑称为状态观测器或 状态估计器。 观测器理论要研究的问题 存在性极点配置结构条件维数代数等价 等问题 书中介绍了十个定理,定理5-9至定理5-18 分状态观测器和Kx观测器
观测器理论要研究的问题 存在性 极点配置 结构条件 维数 代数等价 等问题 书中介绍了十个定理， 定理5-9至定理5-18 分状态观测器和Kx观测器 若在上述定义中，如果K=I，则0称为状态观测器或 状态估计器
定理5-9对线性时不变系统(A、B、C),其状 态观测器存在的充分必要条件是系统可检测 (若系统中不可观模态是稳定模态,则称系统 可检测。) 证明因为(A、B、C)不是可观测时,可按可 观测性进行结构分解,故这里不妨假定(A、B C)已具有如下形式 A O B B C=C OI A 21 A
定理5-9 对线性时不变系统（A、B、C），其状 态观测器存在的充分必要条件是系统可检测。 证明 因为（A、B、C）不是可观测时，可按可 观测性进行结构分解，故这里不妨假定（A、B、 C）已具有如下形式 C [C O] B B B A A A O A 1 2 1 2 1 2 2 1 1 = = = （若系统中不可观模态是稳定模态，则称系统 可检测。）
其中(A1C1)可观测,A2的特征值具有负实部。现 构造如下的动态系统 X=A父+Bu+G(y一Cx) X=(A-GC)X+ Bu+ Gy (5-27) 这时,不难导出一=文的关系为 Ax +Bu A X+Ax +Bu 2 (Au-GC1X+Bu+GCX (A21-G2C1)x1+A2X2+B2u+G2C1X1
其中 可观测， 的特征值具有负实部。现 构造如下的动态系统 (A C ) 11 1 A22 x ˆ = Ax ˆ + Bu + G(y − Cx ˆ) x ˆ = (A − GC)x ˆ + Bu + Gy (5 − 27) 这时，不难导出 x − x ˆ = ~ x 的关系为 − + + + − + + − + + + = = 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 (A G C )xˆ A xˆ B u G C x (A G C )xˆ B u G C x A x A x B u A x B u x ~ x ~ x ~
(A1-G1C1) (A21-G2C1)X1+A22X2 从而可得文 A1-G1C10 A1-GcA 22 显然,因为(41、C1)可控,适当选择G1,可 使A1=C 的特征值,亦即A1-G1C1 的 特征值均有负实部,这时 limX,=0 Vx 0:0 文2=(A21-G2C1)x1+A 当且仅当A2的特征值具有负实部时,有
x ~ A G C A A G C 0 x ~ x ~ x A ~ (A G C ) x ~ (A G C ) 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 − − = − + − = 从而可得 显然，因为 可控，适当选择 ，可 使 的特征值，亦即 的 特征值均有负实部，这时 ( ) 11 1 T T A 、C T G1 T T T A11 − C1 G1 A11 − G1 C1 2 21 2 1 1 22 2 1 0 0 t x ~ x A ~ x (A G C ) x 0 x , xˆ ,u ~ li m = − + = → 当且仅当A22的特征值具有负实部时，有
