§3-3动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系 本节研究动态方程的的可控性、可观性与传递函数零、极点 相消问题之间的关系。 单变量系统 考虑单变量系统,其动态方程为 文=Ax+bu,y=cx (3-30) (3-30)式对应的传递函数为 &s)=c(sI-A)b cadi(sI-A)b N(S (3-31) 式中 N(S)=cadj(sl-A)b D(S)=SI-Al
本节研究动态方程的的可控性、可观性与传递函数零、极点 相消问题之间的关系。 考虑单变量系统，其动态方程为 x = Ax + bu, y = cx (3-30) (3-30)式对应的传递函数为 D(s) N(s) sI A cadj(sI A)b g(s) c(sI A) b 1 = − − = − = − (3-31) D(s) sI A N(s) cadj(sI A)b = − 式中： = − 单变量系统 §3-3 动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系
N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点,D(s)=△(s)=0的根 称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 定理3-10动态方程(3-30)可控、可观测的充分必要条件是 g(s)无零、极点对消,即Δ(s)和N(s)无非常数的公因式 证明首先用反证法证明条件的必要性,若有s=S0既使NS)=0, 又使A(s)=0 soI-A=0, cadj(s I-A)b=0 利用恒等式 (sI-AsI-A)-(sI-A) Cadj(SI-A)b=I
N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=Δ (s)=0的根 称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 定理3-10 动态方程(3-30)可控、可观测的充分必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 Δ(s)和N(s)无非常数的公因式。 证明 首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0 )=0， 又使Δ (s0 )=0 s0 I − A = 0, cadj(s0 I − A)b = 0 利用恒等式 I sI A cadj(sI A)b (sI A)(sI A) (sI A) 1 = − − − − = − −
可得 (sI- A)adj(sl-A)=D(S)I 将s=s代入,可得 Soadj(soI-A)=Adj(soI-A) 将上式前乘c、后乘b后即有 cAadjlsoI-a)b=so cadj(s I-Ab=SN(so)=0 前乘cA、后乘b后即有 CA adj(soI-A)b=So cAadj(soI-A)b=0 依次类推可得
(sI − A)adj(sI − A) = D(s)I 可得 将s= s0代入，可得 s adj(s I A) Aadj(s I A) 0 0 − = 0 − 将上式前乘c、后乘b后即有 cAadj(s0 I − A)b = s0 cadj(s0 I − A)b = s0 N(s0 ) = 0 前乘cA、后乘b后即有 cA adj(s 0 I A)b s 0 cAadj(s 0 I A)b 0 2 − = − = 依次类推可得
N(s)=cadj(soI-A)b=0 cAadj(s I-a)b=0 CA adj(soI-a)b=0 CA adj(s I-A)b=0 这组式子又可写成 CA dj (so I-a)b=0 CA n-1 因为动态方程可观测,故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵, 故有 adj(sol-A)b=0
cA adj(s I A)b 0 cA adj(s I A)b 0 cAadj(s I A)b 0 N(s) cadj(s I A)b 0 0 n 1 0 2 0 0 − = − = − = = − = − 这组式子又可写成 adj(s I A)b 0 cA cA c 0 n 1 − = − 因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵， 故有 adj(s0 I − A)b = 0
又由于系统可控,不妨假定A、b具有可控标准形的形式,直接 计算可知 di(-a)b ≠0 出现矛盾,矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子,即g(s)不会出现零 极点相消的现象。下面再证充分性,即若N(s)和D(s)无相同因 子,要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法,若系 统不是既可控又可观测的,不妨设(3-30)是不可控的,这时可 按可控性分解为(2-36)的形式,并且可知这时传递函数 g(s)=c(sI-A)b cadi(sI-A)b N(S) SI-Al D(S)
又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形的形式，直接 计算可知 0 s s 1 adj(s I A)b n 1 0 0 0 − = − 出现矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、 极点相消的现象。下面再证充分性，即若N(s)和D(s)无相同因 子，要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法，若系 统不是既可控又可观测的，不妨设(3-30)是不可控的，这时可 按可控性分解为(2-36)的形式，并且可知这时传递函数， D(s) N(s) sI A cadj(sI A)b g(s) c(sI A) b 1 = − − = − = −
C(SI-A1b cadj(sl-Aub N,(s) SI-A 在上面的式子中,D(s)是n次多项式,而D1(S)是n次多项式, 由于系统不可控,所以n1<n,而N(s)和D(s)无相同因子可消 去,显然 N(S) N,(S) ≠ D(S) 这和两者应相等矛盾,同样可以证明动态方程也不可能不可 观测。充分性证毕 推论3-10单输入(出)系统可控(观)的充分必要条件是 adj(s-A)b(cadj(s-A)与△(s)无非常数公因式
D (s) N (s) sI A c adj(sI A )b c (sI A ) b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − = − 在上面的式子中，D(s)是n 次多项式，而D1 (S)是n1次多项式， 由于系统不可控，所以 n1 < n，而N(s)和D(s)无相同因子可消 去，显然 D (s) N (s) D(s) N(s) 1 1 这和两者应相等矛盾，同样可以证明动态方程也不可能不可 观测。充分性证毕。 推论3-10 单输入(出)系统可控(观)的充分必要条件是 adj(sI-A)b (cadj(sI-A))与 Δ (s)无非常数公因式
多变量系统 设多变量系统动态方程为 X= AX+ Bu Cx (3-32) 其中ABC分别是n×nn×p,q×n的实常量矩阵,其传递函数 矩阵为 T(S)- Cadi(sI-A)B G (3-33) 式中PI-Ⅵ称为系统的特征式。传递函数矩阵G(s)是一个 严格真有理函数阵,即它的每一元素都是s的有理函数,且分 母的阶次严格高于分子的阶次
设多变量系统动态方程为 多变量系统 y Cx x Ax Bu = = + (3-32) 其中A,B,C 分别是 n×n,n×p,q×n的实常量矩阵，其传递函数 矩阵为 sI A Cadj(sI A)B G(s) − − = (3-33) 式中 称为系统的特征式。传递函数矩阵G(s)是一个 严格真有理函数阵，即它的每一元素都是s的有理函数，且分 母的阶次严格高于分子的阶次。 sI − A
定理3-11若(3-33式中,A的特征式A(s)与Cadj(s-A)B之 间没有非常数公因式,则系统(3-32)是可控、可观的 证明用反证法。(略) 与单变量系统不同本定理中的条件是系统可控可观测的充 分条件,而不是必要条件,可用以下例题来说明 例题3-4设系统方程为 X u y 显然系统可控且可观,但传递函数阵为 s-10 0 G(s)= 1)2L0s 0 S
定理3-11 若(3-33)式中，A的特征式Δ(s)与 之 间没有非常数公因式，则系统(3-32)是可控、可观的。 Cadj(sI − A)B u 0 1 1 0 u y 0 1 1 0 x 0 1 1 0 x = + = 显然系统可控且可观，但传递函数阵为 例题3-4 设系统方程为 证明 用反证法。（略） 与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的充 分条件,而不是必要条件，可用以下例题来说明。 − − = − − − = s 1 1 0 0 s 1 1 0 s 1 s 1 0 (s 1) 1 G(s) 2
在A的特征式与Cadj(s-A)B之间存在公因式(Ss-1)。故 定理中的条件不是必要的 如果将(3-33)式的分母写成A的最小多项式,可以得到(3-32)可 控可观的一个必要条件。设d(s)是adj(s-A)的首一最大公因式, 即adj(s-A)=d(s)H(s),多项式矩阵H(s)各元的公因式为1。因为 d(s)是s-A的n-1级子式的公因式,因此也是D(s)的因式,即有 D(s)=d(s)平(s) 这里平(s)是A的最小多项式。于是G(s)可表示为 Go CH(S)B Y(s) 定理3-12系统(3-32)是可控可观测的必要条件是CH(s)B和(s) 无非常数公因式
在A的特征式与 之间存在公因式(s-1)。故 定理中的条件不是必要的。 Cadj(sI − A)B 如果将(3-33)式的分母写成A的最小多项式，可以得到(3-32)可 控可观的一个必要条件。设d(s)是adj(sI-A)的首一最大公因式， 即adj(sI-A) =d(s)H(s)，多项式矩阵H(s)各元的公因式为1。因为 d(s)是sI-A的n-1级子式的公因式，因此也是D(s)的因式，即有 D(s)=d(s)Ψ(s) 这里Ψ(s) 是A的最小多项式。于是G(s)可表示为 (s) CH(s)B G(s) = 定理3-12 系统(3-32)是可控可观测的必要条件是CH(s)B和Ψ(s) 无非常数公因式
证明思路与单变量类似。现就其中一个式子解释如下: AH(SO=SOH(SO=H(SOS-H(SOA (sI-AsI-A)=I(SI-A adj(sl-A) H(S) S-A V(S) H(S) Sl-A)=I(SI-A)H(S)=U(s) u (s) H(So)=AH(So) 又(sI-A)(sI-A)=I H(S) US(SI-A)=I H(S(SI-A)=V(s)I
证明 思路与单变量类似。现就其中一个式子解释如下： (s) H(s) sI A adj(sI A) (sI A)(sI A) I (sI A) 1 1 = − − − − = − = − − AH(s0 )=s0H(s0 )=H(s0 )s0=H(s0 )A 又 (sI A) I H(s)(sI A) (s)I (s) H(s) (sI A) (sI A) I 1 − = − = − − = − s s s H(s ) AH(s ) I (sI A)H(s) (s)I (s) H(s) (sI A) = 0 0 0 = 0 = − = −