由享克尔矩阵序列寻找最小阶实现 最小阶实现的问题的提法:考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s, 将它展成 G(S)=G(oo)+HoS+HS+ (3-62) 其中Hi=0,1,2.)是q×p的常量矩阵,通常将H称为G(s)的马尔 科夫参数矩阵。 若线性时不变动态程方程 X= Ax+Bu y= Cx+ Du (3-63) 是G(s)的一个实现,则根据定义有 G(S)=D+C(SI-A)B A 利用公式,(-A)=∑ 上式可展成 K-OS
最小阶实现的问题的提法：考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s)， 将它展成 G(s) = G(∞) +H0 s -1 +H1 s -2 +… ( 3- 62 ) 其中Hi(i=0,1,2…)是q×p的常量矩阵，通常将Hi称为G(s)的马尔 科夫参数矩阵。 是G(s)的一个实现，则根据定义有 G(s) = D + C(sI-A)-1B x = Ax +Bu y = Cx + Du ( 3- 63 ) 若线性时不变动态程方程 = + − − = K 0 k 1 k 1 s A 利用公式， (sI A) 上式可展成 由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现
G(S)=D+CBS+CABs-2+ (3-64) 引理1动态方程(3-63)是G()的一个实现,必要且只要 D=G(∞),Hi=CAB(i=0,1,2..)(3-65) 本引理可直接由比较(3-62)和(3-64)而得到。因为G(∞)直 接给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理 函数矩阵。 根据引理1,最小实现问题可重述如下: 给定矩阵序列{H},寻找一个三元组(A、B、C),使得 H=CAB,且(A、B、C)是可控且可观测的。 由矩阵序列{}可定义矩阵如下
引理1 动态方程（3-63）是G(s)的一个实现，必要且只要 D = G(∞) , Hi = CAiB ( i = 0, 1, 2 … ) (3- 65) 本引理可直接由比较（3-62）和（3-64）而得到。因为G(∞)直 接给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理 函数矩阵。 由矩阵序列{Hi}可定义矩阵Hij如下 G(s) = D +CBs—1 +CABs-2 +… (3- 64) 根据引理1，最小实现问题可重述如下： 给定矩阵序列{Hi}，寻找一个三元组（A、B、C），使得 Hi = CAiB，且（A、B、C）是可控且可观测的
H HH H H 1+j H称为由序列{}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{H}所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G()各元素的首一最小公分母为 2 s+a1s+a2S+…+ar1S+a 将G(s)展开成 R1S+R,S-2+…+R G(S) (3-66) s+a1s+…+ar
= − + − − i 1 i i j 1 2 3 1 2 j 0 1 j 1 i j H H H H H H H H H H H H Hij称为由序列{Hi}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{Hi}所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 r 1 r r 2 2 r 1 1 r s + a s + a s + + a s + a − − − 将G(s)展开成 r r 1 1 r r r 2 2 r 1 1 s a s a R s R s R G(s) + + + + + + = − − − ( 3 - 66 )
因为已假定G(s)是严格正则的,故(3-66)式分子的最高 幂次至多为r-1。合并(3-62)和(3-66),可得 RIsT-I+R2sr-+. Rr=(S+aIsr-I+. +ar)(Hos- +HiS 令s的同次幂系数相等,即有 Ho=Ri H1+a1H0=R2 Hr-talHr-2t. +ar- Ho= Rr Hr+i+aHr+i1+…+arHi=0(i=0,1,2.)(3-67) 写出j(i,j>r)如下
因为已假定G(s)是严格正则的，故（3-66）式分子的最高 幂次至多为 r-1。合并（3-62）和（3-66），可得 R1s r-1+R2s r-2+…Rr = (sr+a1s r-1+…+ar)(H0s -1+H1s -2+…) 令 s 的同次幂系数相等，即有 写出Hij（i，j > r）如下 H0 = R1 H1+a1H0 = R2 Hr-1+a1Hr-2+… +ar -1 H0 = Rr Hr+i +a1Hr+i-1+… +arHi = 0 ( i = 0,1,2… ) ( 3-67 )
HH H HH H HH 2 HH H, H H 2r-2 H 2r-1 H H (3-68) 2r H r+1 H, H 根据(3-67)式,可知H,的秩是有限数,至少Hr之后, (3-68)中的线性无关列不会再增加了 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如 上所述,它所对应的享克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题,任意给定一个无穷矩阵列{Hi},它可以实现的条件 是否是由{H}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢?
(3-68) − + − − − − + − + − i 1 i r 1 r 2r 1 2r r 1 r 2r 2 2r 1 1 2 r r 1 0 1 r 1 r r 1 j 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的，如 上所述，它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题，任意给定一个无穷矩阵列{Hi}，它可以实现的条件 是否是由{Hi}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？ 根据（3-67）式 ，可知Hij，的秩是有限数，至少Hrr之后， （3-68）中的线性无关列不会再增加了
定理3-14无穷矩阵序列{H}是能实现的充分必要条件是 存在整数,β、α、n,使得 rank Ba rank Blai=n (j=1, 2, . 3-69) 证明:必要性。若{Hi}可实现,因此有最小实现, 令(A、B、C)是它的最小实现,于是 H=CAB(i=0,1,2,…) 因为(A、C)可观测,因此存在正整数β,使 CA rank CA-I
定理 3-14 无穷矩阵序列{Hi}是能实现的充分必要条件是 存在整数，β、α、n，使得 rankH rankH n (j 1,2, ) (3 69) = +1+ j = = − 证明: 必要性。若{Hi}可实现，因此有最小实现， 令（A、B、C）是它的最小实现，于是 Hi = CAiB ( i = 0，1，2，… ) 因为（A、C）可观测，因此存在正整数β，使 n CA CA C rank = −1
这里n是矩阵A的维数。又因为(A、B)可控, 所以也存在着整数α,使 ran[BAB….Aa-1B]=n 而根据定义 CA H B AB AB CAB-I CA HB IB AB +1,+J AB](j=12 CA β-1 CAB
这里 n 是矩阵 A 的维数。又因为（A、B）可控， 所以也存在着整数α，使 rank [B AB … A α -1 B] = n 而根据定义 B AB A B CA CA C H 1 1 − − = B AB A B (j 1,2, ) C A C A C A C H j 1 1 1, j = = + − − + +
于是有 rank h Ba rank B+1 a+in i=1,2,) 从这一证明过程可知,整数n即最小阶实现的维数,而且β、 α分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。 充分性。通过构造出{Hi}的一最小阶实现的方法来证明。从亨 克尔阵的定义可知其第i行第jp列的元素与计+q行第j列的元素 相同,运用这一性质和(3-69)式可得 rank h Ba rank HB+i,a+jn 设用G表示由H3的前n个线性无关行构成的子矩阵。用G表 示由H1中低于Gq行的n行组成的子矩阵,即将H3a的前n个 线性无关行下移q行,在H+12a中得到的子矩阵。然后由Hp1a 中确定面下列四个矩阵,这四个矩阵是唯一的
于是有 rank Hβα = rank Hβ+i , α+j = n （i = 1，2，…） 从这一证明过程可知，整数 n 即最小阶实现的维数，而且β、 α分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。 充分性。通过构造出{Hi}的一最小阶实现的方法来证明。从亨 克尔阵的定义可知其第i行第j+p列的元素与i+q行第j列的元素 相同，运用这一性质和 ( 3- 69 ) 式可得 rank H i, j βα= rank Hβ+i ,α+j = n 设用Gα表示由Hβ α的前n个线性无关行构成的子矩阵。用 表 示由Hβ+1, α中低于Gα q行的n行组成的子矩阵，即将Hβ α的前n个 线性无关行下移q行，在Hβ+1, α 中得到的子矩阵。然后由Hβ+1, α 中确定面下列四个矩阵，这四个矩阵是唯一的。 * G
F G1234 88Q QQ8 8o o8 0000* 00 2 oQ 88 G 38 0 4 H 5 A = F 6 B FFF 2 G 的 前 p F2 QoQ 列80QQ H F
H 3 H 4 H 2 H 2 H 7 H 0 H 1 H 1 H 2 H 3 H 3 H 3 H 4 H 4 H 4 H 5 H 5 H 5 H 6 H 6 123456G α * G F F* H 1 α F 1 G α的前 p 列 F 2 A = F * F - 1 B = F 2 C = F 1 F - 1
F由G的前n个线性无关列构成的n×n阵 F*根据F在G所占的列位。在G中选出的n×n阵,亦即F下 移q行对应的方阵 F1根据F在G中所占的列位在H1中选出的q×n阵。 F2由Gn的前p列组成的n×p阵。 A= F*F-1, B=F C=FF-I (3-70) 下面证明(3-70)式所给的(A、B、C)是{Hi}的实现,并且 (A、B)可控,(A、C)可观测
F* 根据F在Gα所占的列位。在 中选出的n×n阵，亦即 F下 移q行对应的方阵。 * G F 由Gα 的前n个线性无关列构成的n×n阵。 下面证明（3-70）式所给的（A、B、C）是{Hi}的实现，并且 （A、B）可控，（A、C）可观测。 F1 根据F在Gα中所占的列位在H1 α中选出的q×n阵。 F2 由Gα的前p列组成的n×p阵。 令 A = F*F-1 ，B = F2 C = F1F -1 ( 3-70 )