解耦 用状态反馈进行解耦控制 系统动态方程为 x= Ax+ Bu, y=Cx (4-32) 这里A,B,C分别为n×nn×p,p×n的矩阵。系统的传递 函数矩阵为 G(s)=C(s-A)1B(4-33) 定义若(4-32)的传函阵G)4-33)是对角形非奇异 矩阵,则称系统(4-32)是解耦的。 下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。 状态反馈控制律为 u=Kx+Hv(H为非奇异阵) (4-35)
1 这里A,B,C分别为n×n,n×p,p×n的矩阵。系统的传递 函数矩阵为 G(s)=C(sI-A)-1B (4-33) x = Ax+ Bu , y =Cx 定义 若(4-32) 的传函阵G(s)(4-33)是对角形非奇异 矩阵，则称系统(4-32)是解耦的。 用状态反馈进行解耦控制 下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。 状态反馈控制律为 u=Kx+Hv (H为非奇异阵) (4-35) 系统动态方程为 (4-32) 解耦
文=(A+BK)x+BHv,y=Cx G(s, K,H)=CsI-(A+ BK) BH (4-36) 解耦问题:找出矩阵KH,使Gf(s)为对角、非奇异阵。 (1)准备知识 a,开、闭环传递函数矩阵的关系 G(S)=G(S)[I+K(SI-A-BK) BH G(s[I-K(SI -A)BH (4-37) b,非负整数d及非零向量E; 记C的第行为c;G(s)的第i行为G(s)。根据 (sI-A)=∑As i=0 2
2 解耦问题：找出矩阵K,H ，使G f (s)为对角、非奇异阵。 G (s,K,H) C[sI (A BK)] BH x (A BK)x BHv , y Cx 1 f − = − + = + + = (4-36) G(s)[I K(sI A) B] H G (s) G(s)[I K(sI A BK) B]H 1 1 1 f − − − = − − = + − − (4-37) b, 非负整数di及非零向量Ei 记C的第i行为ci；G(s)的第i行为Gi (s)。根据 = − − + − = i 0 1 i (i 1) (sI A) A s （１）准备知识 a, 开、闭环传递函数矩阵的关系
可将G1(s)表示成 C, (SI-A)B cBs+cABs2+…+cA4Bs+cA“Bs6t)+…(4-37a) 非负整数d定义,为(4-37a)式中由左向右s负幂次系 数是零的个数,即有 c.B=c:AB=…=c.A-B=0 E.=c:AB≠0 (4-40) 由传递函数阵G(s)出发,可知d及E的等价定义分别为 di=min[G1(s)各元素分母次数与分子次数之差]-1(4-38) E1=lmsG(s)=cA“B≠0 (4-39)
3 可将Gi (s)表示成 非负整数di,定义,为(4-37a)式中由左向右s负幂次系 数是零的个数，即有 E c A B 0 c B c AB c A B 0 i i d i i d 1 i i i = = = = = − (4-40) = + ++ + + − − − − − − + − d (d 1) i d 1 d i 2 i 1 i 1 i i i A i Bs i c Bs c ABs c A Bs c c (sI A) B (4-37a) 由传递函数阵G(s)出发，可知di及Ei 的等价定义分别为 di=min[Gi (s) 各元素分母次数与分子次数之差]-1 (4-38) E lim s G (s) c A B 0 i i d i i d 1 s i = = + → (4-39)
例题 给定如下的G(s),试计算d和E s+2 G(s)=s2+2s+1s2+s+2 s2+2s+1s2+2s+4 解d1=min12]-1=0,d2=min[221=1 E1=1msG1(s)=[10],E2=ms2G4s)[13
4 例题 给定如下的G(s)，试计算di和Ei + + + + + + + + + = 2 4 3 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 s s s s s s s s s G s 解 d1 =min[1,2]-1=0 , d2 =min[2,2]-1=1 E1 = sG1 (s)=[1 0] , E2= s 2G2 → (s)=[1 3] s Lim s→ Lim
例题45a系统方程为 000 x=001x+00 y 1-2-3|0 试计算d和E 解cB=[10,d1=0,E1=[10 C2B=[01],d2=0;E2=[01
5 解 c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0] c2B=[0 1], d2 =0; E2=[0 1] 例题4-5a 系统方程为 x x u y x = + − − − = 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 0 0 1 0 0 0 试计算di和 Ei
c,开、闭环传递函数阵 引入非负整数d及非零向量E后,可定义 EE CA d1+1 E (4-45) F/C2A吗 (4-46) E CA +1 p 开环传递函数阵的第行可以表示为下式 c, (SI -A)B=S-d*(C, AdB+C Ad*Bs"+. =s+cAB+cA“(s+As2+As3+…)B s-d*[E, +F(SI-A)"B 6
6 s [E F (sI A) B] s [c A B c A (Is As As )B] c (sI A) B s (c A B c A Bs ) 1 i i (d 1) d 1 1 2 3 i d i (d 1) d 1 1 i d i 1 (d 1) i i i i i i i i − + − − + + − − − − − + + − = + − = + + + + − = + + 开环传递函数阵的第i行可以表示为下式 c ,开、闭环传递函数阵 引入非负整数di及非零向量Ei后，可定义 (4-46) = p 2 1 E E E E = + + + d 1 p d 1 2 d 1 1 p 2 1 c A c A c A F (4-45)
开环传递函数阵可以表示为(448)式 S (d1+1) G(s)= E+F(-A)B](448) -(dp+1) S 再利用(437)式,将闭环传递函数阵表为 G1(s) SYg E+F(SI-ABll+K(SI-A-BK)BJH (S-1) 或
7 [E F(sI A) B] s s G(s) 1 (d 1) (d 1) p 1 − − + − + + − = (4-48) 再利用 (4-37)式，将闭环传递函数阵表为 [E F(sI A) B][I K(sI A BK) B]H s s G (s) 1 1 (d 1) (d 1) f p 1 − − − + − + + − + − − = (S-1) 或 开环传递函数阵可以表示为(4-48)式
G(s)= [E+F(SI-A)BJI-K(SI-A)B]H (dn+1) S (S-2) 按照非负整数d及非零向量E;的定义,用(S-2)式可以 求出闭环传函阵所对应的d.,E,并且有 E=EH 定理4-10系统(4-32)可用(4-35)式的反馈进行解 耦的充分必要条件是(445)式定义的E为非奇异阵 8
8 [E F(sI A) B][I K(sI A) B] H s s G (s) 1 1 1 (d 1) (d 1) f p 1 − − − − + − + + − − − = (S-2) 按照非负整数di及非零向量Ei 的定义，用(S-2)式可以 求出闭环传函阵所对应的 di , Ei , 并且有 = di , = EiH i d Ei 定理4-10 系统(4-32)可用(4-35)式的反馈进行解 耦的充分必要条件是(4-45) 式定义的E为非奇异阵
证明必要性因为G(s)对角非奇异,故有E=EH是对 角的,又因为E,是非零向量,因此有E非奇异,故 可知E非奇异 充分性将 K--E-IF H=E-1 (4-47) 代入(S-1)可得 (d1+1) G(S) (4-49)
9 证明 必要性 因为Gf (s)对角非奇异，故有 =EH是对 角的，又因为 是非零向量，因此有 非奇异，故 可知E非奇异。 Ei E E 充分性 将 K= -E-1F , H=E-1 (4-47) 代入(S-1)可得 = − + − + (d 1) (d 1) f p 1 s s G (s) (4-49)
闭环传函阵的麦克米伦阶为 6G(s)=d1+d2+…+d+p 如果 d1+d2+…+dn+p<n 若原系统可控、可观测,采用状态反馈不改变可 控性,因此这时闭环动态方程是不可观的。说明这 解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。 (4-49)式中的传递函数阵,由于其对角元都是积 分器,故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要 求,故在实际中不能使用。但是在理论上,它提供了 可解耦系统的一种中间形式,可供进一步硏究解耦问 题时使用
10 若原系统可控、可观测，采用状态反馈不改变可 控性，因此这时闭环动态方程是不可观的。说明这一 解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。 d d d p n, 1 + 2 ++ p + 闭环传函阵的麦克米伦阶为 G (s) d d d p f = 1 + 2 ++ p + 如果 (4-49) 式中的传递函数阵，由于其对角元都是积 分器，故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要 求，故在实际中不能使用。但是在理论上，它提供了 可解耦系统的一种中间形式，可供进一步研究解耦问 题时使用