线性系统理论——由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现

由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现 最小阶实现的问题的提法:考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s), 将它展成 G(s)=G()+H0s1+H1s2+. (3-62) 其中H(i=0,1,2,…)是q×p的常量矩阵,通常将Hi称为G(s)的 马尔科夫参数矩阵。 若线性时不变动态程方程 X= AX+Bu (3-63) y=Cx+Du 是G(s)的一个实现,则根据定义有 G(S=D+C(SI-A)B A 利用公式,(-A)=∑ 上式可展成 K-OS

最小阶实现的问题的提法： 考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s)， 将它展成 G(s)=G(∞)+H0 s -1+H1 s -2+… (3-62) 其中Hi(i=0，1，2，…)是q×p的常量矩阵，通常将Hi称为G(s)的 马尔科夫参数矩阵。 是G(s)的一个实现，则根据定义有 G(s)=D+C(sI-A)-1B x  = Ax +Bu y=Cx+Du (3-63) 若线性时不变动态程方程   = + − − = K 0 k 1 k 1 s A 利用公式， (sI A) 上式可展成 由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现

G(S=D+CBS+CABs+ (3-64) 引理1动态方程(3-63)是G()的一个实现,必要且只要 D=G(∞)H=CAB(=0,1,2,…) (3-65) 本引理可直接由比较(3-62)和(3-64)而得到。因为G(∞)直接 给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理函数 矩阵。 根据引理1,最小实现问题可重述如下: 给定矩阵序列{H1},寻找一个三元组(A、B、C),使得 H=CAB,且(A、B、C)是可控且可观测的。 由矩阵序列{H}可定义矩阵H如下

引理1 动态方程（3-63）是G(s)的一个实现，必要且只要 D=G(∞),Hi=CAiB (i=0，1，2，…) (3-65) 本引理可直接由比较（3-62）和（3-64）而得到。因为G(∞)直接 给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理函数 矩阵。 由矩阵序列{Hi }可定义矩阵Hij如下 G(s)=D+CBs—1+CABs-2+… (3—64) 根据引理1，最小实现问题可重述如下： 给定矩阵序列{Hi }，寻找一个三元组（A、B、C），使得 Hi=CAiB，且（A、B、C）是可控且可观测的

H。H H H H 2 H H H H1称为由序列{H}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{H1}所生成的亨克尔矩阵的特点 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 s+a1s+a2S+…+arnS+ar 将G(s)展开成 G(s) R1s+R2s2+…+R 3-66 s +a, s+...++a

                = − + − − i 1 i i j 1 2 3 1 2 i 0 1 i 1 i j H H H H H H H H H H H H      Hij称为由序列{Hi }生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{Hi }所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 r 1 r r 2 2 r 1 1 r s + a s + a s + + a s + a − − −  将G(s)展开成 r r 1 1 r r r 2 2 r 1 1 s a s a R s R s R G(s) + + + + + + = − − −   3-66

因为已假定G(s)是严格正则的,故(3-66)式分子的最高幂 次至多为r-1。合并(3-62)和(3-66),可得 R1S+R2s2+.R=(s+as1+.+a)(Hs+H1s2+.) 令s的同次幂系数相等,即有 H=R H, +a,h=R H1+a1H12+…+a-1H=R H+;+a1H+1+…+a1H=0 (1=0,1,2,…)(3-67) 写出H;(i,jr)如下

因为已假定G(s)是严格正则的，故（3-66）式分子的最高幂 次至多为r-1。合并（3-62）和（3-66），可得 R1 s r-1+R2 s r-2+…Rr=(sr+a1 s r-1+…+ar )(H0 s -1+H1 s -2+…) 令s的同次幂系数相等，即有 写出Hij（i，j>r）如下 H0=R1 Hr-1+a1Hr-2+…+ar-1H0=Rr Hr+i+a1Hr+i-1+…+arHi=0 H1+a1Ho=R2 (i=0，1，2，…)(3-67)

HH H HH H HH 2 HH H, H H 2r-2 H 2r-1 H H (3-68) 2r H r+1 H, H 根据(3-67)式,可知H,的秩是有限数,至少H之后, (3-68)中的线性无关列不会再增加了 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如 上所述,它所对应的享克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题,任意给定一个无穷矩阵列{H1},它可以实现的条件是 否是由{H}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢?

(3-68)                           − + − − − − + − + −                 i 1 i r 1 r 2r 1 2r r 1 r 2r 2 2r 1 1 2 r r 1 0 1 r 1 r r 1 j 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的，如 上所述，它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题，任意给定一个无穷矩阵列{Hi }，它可以实现的条件是 否是由{Hi }所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？ 根据（3-67）式 ，可知Hij，的秩是有限数，至少Hr r之后， （3-68）中的线性无关列不会再增加了

定理3-14无穷矩阵序列{H}是能实现的充分必要条件是存 在整数,β、、n,使得 rank Ba rank Blai=n (j=1, 2, . 3-69) 证明必要性。若{H}可实现,因此有最小实现,令(A、B C)是它的最小实现,于是 H=CAB(=0,1,2,…) 因为(A、C)可观测,因此存在正整数β,使 CA k CA B

定理3-14 无穷矩阵序列{Hi }是能实现的充分必要条件是存 在整数，β、α、n，使得 rankH rankH n (j 1,2, ) (3 69)  = +1+ j = =  − 证明 必要性。若{Hi }可实现，因此有最小实现，令（A、B、 C）是它的最小实现，于是 Hi=CAiB (i=0，1，2，…) 因为（A、C）可观测，因此存在正整数β，使 n CA CA C rank =                −1 

这里n是矩阵A的维数。又因为(A、B)可控,所以也存在着 整数α,使 rankB AB..Aa-B=n 而根据定义 C CA IB AB aB CA C CA B AB A +j-1 β+1,α+j BI( CA CAB

这里n是矩阵A的维数。又因为（A、B）可控，所以也存在着 整数α，使 rank[B AB … A α -1 B] = n 而根据定义 B AB A B CA CA C H 1 1 − −                =   B AB A B (j 1,2, ) C A C A C A C H j 1 1 1, j   =                  = + −  − + +

于是有 rankHBa rankHB+ia+i-n 从这一证明过程可知,整数n即最小阶实现的维数,而且β、α 分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。 充分性。通过构造出{H1}的一最小阶实现的方法来证明。从亨 克尔阵的定义可知其第i行第jp列的元素与计q行第j列的元素 相同,运用这一性质和(3-69)式可得 rankHBa rankHB+i, a+=n Vi,j 设用G表示由H3的前n个线性无关构成的子矩阵。用G表示由 Hb,中低于Gaq行的n行组成的子矩阵,即将HBa的前n个线 性无关行下移q行,在H1,中得到的子矩阵。然后由H1 a中确定面下列四个矩阵,这四个矩阵是唯一的

于是有 rankHβα=rankHβ+iα+j=n （i=1，2，…） 从这一证明过程可知，整数n即最小阶实现的维数，而且β、α 分别是最小阶实现的可观测性指数和可控性指数。 充分性。通过构造出{Hi }的一最小阶实现的方法来证明。从亨 克尔阵的定义可知其第i行第j+p列的元素与i+q行第j列的元素 相同，运用这一性质和(3-69)式可得 i, j rankHβα=rankHβ+i，α+j=n 设用Gα表示由Hβ α的前n个线性无关构成的子矩阵。用G表示由 Hβ+1， α中低于G α q行的n行组成的子矩阵，即将Hβ α的前n个线 性无关行下移q行，在Hβ+1， α中得到的子矩阵。然后由Hβ+1， α中确定面下列四个矩阵，这四个矩阵是唯一的

F △△△△△△ △△△△△△ →△△△△△△ △△△△△△ 2 △△△△△△ G 奖 5 Gn的前p列 △△△ H F,入会△ 2△△△ Fx △△△

                                                                                                                                                                                                                                                                                                            H 3 H 4 H 2 H 2 H 7 H 0 H 1 H 1 H 2 H 3 H 3 H 3 H 4 H 4 H 4 H 5 H 5 H 5 H 6 H 6 123456 Gα * G  F F* H 1 α F 1 G α的前 p 列 F 2

F由G的前n个线性无关列构成的n×n阵。 F*根据F在G所占的列位。在Ga中选出的n×n阵,亦即F下 移q行对应的方阵。 F1根据F在G中所占的列位在H1中选出的q×n阵 F2由G的前p列组成的n×p阵。 A=F*F,B=F2C=F1F1(3-70) 下面证明(3-70)式所给的(A、B、C)是{H}的实现,并且 (A、B)可控,(A、C)可观测

F* 根据F在Gα所占的列位。在 中选出的n×n阵，亦即F下 移q行对应的方阵。 * G F 由Gα的前n个线性无关列构成的n×n阵。 下面证明（3-70）式所给的（A、B、C）是{Hi }的实现，并且 （A、B）可控，（A、C）可观测。 F1 根据F在Gα中所占的列位在H1 α中选出的q×n阵。 F2 由Gα的前p列组成的n×p阵。 令 A=F*F-1 ，B=F2 C=F1 F -1 (3-70)