趋势曲线模型预泱
趋势曲线模型预测
第一节多次式曲线模型预测 法 第三章所谈及的回归分析,是在已 知统计资料基础上,利用线性或非线性 回归技术进行模拟,利用趋势外推进彳 预测,而模型的项数均为常数项加一次 项或非线性构成。事实上,若采用多项 式进行模拟,也是一种行之有效的方法
第一节 多次式曲线模型预测 法 第三章所谈及的回归分析，是在已 知统计资料基础上，利用线性或非线性 回归技术进行模拟，利用趋势外推进行 预测，而模型的项数均为常数项加一次 项或非线性构成。事实上，若采用多项 式进行模拟，也是一种行之有效的方法
正规方程组 所谓多项式回归,就是已知统计资料给出,当 预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟 时,利用一元非线性回归技术,来作出模拟并 用于预测。 设实际值为(x,y),为方便多项式次数测定,数 据选取x-x-=Δx=C,模型模拟值为(ⅹ,國) 就有国=fx)=a+ax+ax24……+axm 显然,这是一个m次多项式,同时假定已知数据 为n组:(xy)i=1,2,n
一．正规方程组 所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当 预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟 时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并 用于预测。 设实际值为（xi,yi）,为方便多项式次数测定，数 据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, ) 就有 = f(x) = a0 + a1x + a2x +……+ amx. 显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据 为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n. 2 m = n i 1 i y ˆ i y ˆ
假定y与x是相关的,对应任意的y,都有y 且ei 由回归分析,最佳拟合为Q=∑e2=Qmn 利用最小二乘法,对系数求偏导数,有 (Qa1)=0→2∑ei(e;)2ak=0 其中k=0,1,2,3 因为e=y-y=y-a0-ax akI 所以有 ao aiX- amX mxi=0 得 Mi Xi a∑xk+a∑x(k+1)+……am∑xk+m
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi 且ei = yi－ 由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei 2 = Q min 利用最小二乘法，对系数求偏导数，有 (Q/ak )’ = 0 →2∑ei(ei )’ak = 0 其中 k = 0,1,2,3,……,m 因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxi k……amxi m 所以有：∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxi m)(-xi k )= 0 得 yi xi k =a0 ∑xi k +a1∑ xi (k+1)+……am∑xi k+m i y ˆ = n i 1 = n i 1
4∑时x下=∑x
⚫ 令 ⚫ = = n i k uk yi xi 1 , t b a yt = K = = n i k k i s x 1
可建立m+1个方程组成的正规方程组: Soao+SIar+...+Smam -uo (k=0 SiaotSaIt SmaotSm+lal+ +S2mam um (k=m) 记为矩阵式: So SI S2 ao uo u2 2 u 记为S 记为A记为U 则:U=SA→A=S(U=1/S|S* 有唯一解,故a0a1,am可唯一求出,于是预测方程可 以求得。{2004/11/1}
可建立m+1个方程组成的正规方程组： s0a0+s1a1+……+smam = u0 (k = 0) s1a0+s2a1+………+sm+1am = u1 (k = 1) : : : : sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m) 记为矩阵式： s0 s1 s2 …… sm a0 u0 s1 s2 s3 …… sm+1 a1 u2 sm sm+1 s0 … s2m am um 记为S 记为 A 记为 U 则：U = SA → A = S(-1) U = 1/|S| S*U 有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可 以求得。 {2004/11/1} × =
、案例 某地1972-1979工业产值统计资料如表,企业多项式 模型,并预测1980、1981年工业产值 年19721973197419751976197719781979 序号 产值7.5487682399210.651165125613.78 解:(1)描点,观察,做趋势图 由图所示,用二次曲线描述合理 即预测模型可取为y=ao+ax+ax
二、案例 某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项式 模型，并预测1980、1981年工业产值 年 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 产值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78 解：（1）描点，观察，做趋势图。 由图所示，用二次曲线描述合理。 即预测模型可取为 y = a0+a1x+a2x 2
(2)由正规方程组U=SA,求A=S1)U Sk=∑X:k 8.K=0,1,2,3,4. S0=∑x=8:S1=∑x1=36:S2=∑x2=204 S3=∑x3=1296:S4=∑x=872 36204 ∴S=362041296 20412968772
（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U ∵Sk =∑Xi k i = 1,2,………,8. K = 0,1,2,3,4. S0 = ∑xi =8; S1 = ∑xi =36; S2 = ∑xi =204; S3 = ∑xi =1296; S4 = ∑xi =8772 8 36 204 ∴ S = 36 204 1296 204 1296 8772 0 1 2 3 4
k=>yx,=1,2.8,k=O,1,2 4=∑yx=8309=∑yx2=40742=∑x2=245838 i=1 83.09 U=410.74 2458.38
, 1,2...8, 0,1,2 1 = = = = u y x i k n i k k i i 83.09 8 1 0 0 = = i= i i u y x 410.74 8 1 1 1 = = i= i i u y x 2458.38 8 1 2 2 = = i= i i u y x = 2458.38 410.74 83.09 U
8362041-183.09 A=S(1U=362041296 410.74 20412968772 2458.38 1.9464-0.90130.089383.09 -0.91070.51000.053641074 0.08930.05360.006J(2458.38 7.1602 0.4447 0.0480 故预测模型y=7.1602+0.4447X+0.0480x2
8 36 204 -1 83.09 A = S(-1)U = 36 204 1296 410.74 204 1296 8772 2458.38 1.9464 -0.9013 0.0893 83.09 = -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74 0.0893 -0.0536 0.006 2458.38 7.1602 = 0.4447 0.0480 故 预测模型 y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x2