连续小波变换 定义与特性
连续小波变换 ——定义与特性
引入连续小波变换的基本想法: Gambol变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化 在实际应用中,窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分;宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析 所以,在对信号进行时频局部化分析中 我们需要一个自动随频率变化的时频窗
引入连续小波变换的基本想法： ◼ Gaobor变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化。 ◼ 在实际应用中，窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分；宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析。 ◼ 所以，在对信号进行时频局部化分析中， 我们需要一个自动随频率变化的时频窗 口
可用的工具: 利用Foir变换的时间展缩性: O x(at)
可用的工具： ˆ( ) 1 ( ) ^ a x a x at Forier = 利用 变换的时间展缩性：
连续小波变换的定义: W(/)ba)=2|f()v(20)t 其中:f∈2,a,b∈R,a≠0
连续小波变换的定义： , , , 0 W ( )( , ) ( ) ( ) 2 __________ 2 1 − = − − f L a b R a dt a t b f b a a f t 其中：
V应满足的条件: 1时频局部化。即△,△均有限 2振荡性。(表征f的局部频率特性)
振荡性。（表征 的局部频率特性） 时频局部化。即 ， 均有限。 应满足的条件： 2. f 1. ˆ
“容许性”条件: 若:v∈L2,且满足条件 ya C.三 d<+0 则称v/为基小波,c为小波常数
“容许性”条件： 则称 为基小波 为小波常数。 若： 且满足条件： c c d L , ˆ( ) : , 2 2 = + −
对“容许性”条件的分析: "容许性”条件隐含着 (0)=0 即:∫v(t=0(振荡性)
对“容许性”条件的分析： 即： （振荡性） （ ）＝ 容许性”条件隐含着： − ( ) = 0 ˆ 0 0 " t dt 1
对“容许性”条件的分析: 为了“基小波”v能提供一个局部的时频窗口, 我们还得要求满足: tv(t)∈D2,O0(o)∈L2
对“容许性”条件的分析： 2. 2 2 t(t) L ,ˆ() L 我们还得要求 满足： 为了“基小波”能提供一个局部的时频窗口
对“容许性”条件的分析: 3. t-6 用v2(1)=a2(-),则 W((b,a=
对“容许性”条件的分析： 3. = − = − b a b a W f b a f a t b t a , 2 1 , ( )( , ) , ( ) ( ), 用 则
对小波变换时域窗口的分析: 若的时域中心在,时域半径为△,则: 的中心在b+at*,半径为aA W(f(b,a)表征了信号f(1)在 [b+at*-aΔ 如b+a兴 +a△的信息
对小波变换时域窗口的分析： 的信息。 表征了信号 在 的中心在 半径为 若 的时域中心在 时域半径为 则： [ * , * ] ( )( , ) ( ) *, , , , , * + − + + + b at a b at a W f b a f t b at a t b a