实验二简谐振动的研究 自然界中存在着各种振动现象，最简单、最基本的振动是简谐振动，简谐振动是物理 量随时间按正弦或余弦规律进行变化的振动.由数学知识知道，任何一个复杂的函数均能 用正弦和余弦函数展开，因此任何一个复杂的振动也可以由许多不同频率和振幅的简谐振 动合成.讨论简谐振动是研究复杂振动现象的基础。 【实验目的】 1.观察简谐振动现象： 2.测定弹簧的倔强系数： 3.测定振动周期T随振子质量m变化的情况： 4.学习使用气垫导轨、焦利氏秤和计时仪器： 5.测定弹簧的有效质量. 【实验原理】 1.胡克定律 在弹性限度内，弹簧的伸长量x与其所受的拉力F成正比，这就是胡克定律： F=k·x (1) 比例系数k称为弹簧的倔强系数.在本实验中k可以由焦利氏秤测得，焦利氏秤的示 意图如图1所示.一个可以升降的套杆A,A上有米尺刻度，并附有读数游标H.A顶点 悬挂一弹簧S,弹簧下端悬挂一个带有刻痕标记的小镜子C.镜子下端挂一个砝码托盘.镜 子通过一个固定的玻璃管D.D上也有刻痕标记.G为调 节套杆升降的旋扭，11、2为调节仪器垂直螺丝.E为放 物平台. 初始时，可调节G,使小镜子上的刻痕、玻璃管上的 镜面C 刻痕以及在小镜子中的像三者重合，简称“三线对齐”.读 刻线 出标尺刻度L: 玻璃管 当在砝码托盘内加载重物m时，弹簧拉伸，三线不再 D 对齐，可再次调节G,使三线对齐，同时记下刻度L2,k 可由此得到： k=mg (2) L-L 2 图】焦利氏秤的示意图 26
26 实验二 简谐振动的研究 自然界中存在着各种振动现象，最简单、最基本的振动是简谐振动．简谐振动是物理 量随时间按正弦或余弦规律进行变化的振动．由数学知识知道，任何一个复杂的函数均能 用正弦和余弦函数展开，因此任何一个复杂的振动也可以由许多不同频率和振幅的简谐振 动合成．讨论简谐振动是研究复杂振动现象的基础． 【实验目的】 1．观察简谐振动现象； 2．测定弹簧的倔强系数； 3．测定振动周期T 随振子质量m 变化的情况； 4．学习使用气垫导轨、焦利氏秤和计时仪器； 5．测定弹簧的有效质量． 【实验原理】 1．胡克定律 在弹性限度内，弹簧的伸长量 x 与其所受的拉力 F 成正比，这就是胡克定律： F = k × x （1） 比例系数 k 称为弹簧的倔强系数．在本实验中 k 可以由焦利氏秤测得，焦利氏秤的示 意图如图 1 所示．一个可以升降的套杆 A，A 上有米尺刻度，并附有读数游标 H．A 顶点 悬挂一弹簧 S，弹簧下端悬挂一个带有刻痕标记的小镜子 C．镜子下端挂一个砝码托盘．镜 子通过一个固定的玻璃管 D．D 上也有刻痕标记．G 为调 节套杆升降的旋扭，I1、I2 为调节仪器垂直螺丝．E 为放 物平台． 初始时，可调节 G，使小镜子上的刻痕、玻璃管上的 刻痕以及在小镜子中的像三者重合，简称“三线对齐”．读 出标尺刻度 L1． 当在砝码托盘内加载重物 m 时，弹簧拉伸，三线不再 对齐，可再次调节 G，使三线对齐，同时记下刻度 L2，k 可由此得到： L2 L1 mg k - = （2） 镜面 C 刻线 玻璃管 D S A C E F G B I1 I2 H 图 1 焦利氏秤的示意图
a M k2 图2简谐振动示意图 2.弹簧振子的简谐运动方程 本实验中所用的是倔强系数分别为k和2的弹簧，%和分别由焦利氏秤测得.k1 和如图2所示联结在一个质量为M的物体上，它们在光滑的水平气垫导轨上作简谐振动， 弹簧的另外两端是固定在气垫导轨上.记M的平衡位置为坐标原点，该点x=0.如果忽略 阻尼和弹簧质量，则当M距平衡位置为x时，只受弹性恢复力kx和k2x的作用，根据牛 顿第二定律，其运动方程为： (h +k:)x+M=0 d (3) 方程的解为 x=Acos(@t+po) (4) 其中0。= 2是振动系统的固有角频率，A是振幅，po是初位相.o0由系统本身决 M 定，也称固有频率，A和0由初始条件决定.系统的固有周期 T=2π=2元， M (5) 00 k+k 本实验通过改变M测出相应的T,用以考察T与M的关系 3.弹簧质量的影响 当弹簧的质量不可忽略时，振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和， 振动系统的角频率可记作 k+k2 00= (6) M+mo o为弹簧的有效质量，在数值上等于弹簧质量的三分之一 27
27 2．弹簧振子的简谐运动方程 本实验中所用的是倔强系数分别为 k1 和 k2 的弹簧，k1 和 k2 分别由焦利氏秤测得．k1 和 k2如图 2所示联结在一个质量为M 的物体上，它们在光滑的水平气垫导轨上作简谐振动， 弹簧的另外两端是固定在气垫导轨上．记 M 的平衡位置为坐标原点，该点 x = 0．如果忽略 阻尼和弹簧质量，则当 M 距平衡位置为 x 时，只受弹性恢复力 k1x 和 k2x 的作用，根据牛 顿第二定律，其运动方程为： ( ) 0 2 2 1 + 2 + = dt d x k k x M （3） 方程的解为 cos( ) = w0 + j 0 x A t （4） 其中 M k k 1 2 0 + w = 是振动系统的固有角频率，A 是振幅，j 0是初位相．w 0由系统本身决 定，也称固有频率，A 和 f 0 由初始条件决定．系统的固有周期 0 1 2 2 2 k k M T + = = p w p （5） 本实验通过改变 M 测出相应的 T，用以考察 T 与 M 的关系． 3．弹簧质量的影响 当弹簧的质量不可忽略时，振子的有效质量为振动物体的质量与弹簧有效质量的和， 振动系统的角频率可记作 0 1 2 0 M m k k + + w = （6） m0为弹簧的有效质量，在数值上等于弹簧质量的三分之一． k1 k2 M 图 2 简谐振动示意图
【实验内容】 1.测量弹簧的倔强系数 (1)将焦利氏秤调节至垂直状态后，将弹簧1按图1要求挂在焦利氏秤上，调“三线 合一”，并记录标尺位置L1,加砝码5克，记录位置L2: (2)重复以上加砝码过程，记录位置变化6个点： (3)用最小二乘法计算弹簧1的倔强系数k1: (4)用弹簧2替换弹簧1，重复以上过程，计算2 2.验证振动周期与振子质量的关系 (1)将气垫导轨调至水平， (a)以目测的方法调整导轨单脚螺钉，使导轨初步水平： (b)将滑块安上两个距离固定的挡光片，并打开自动计数器的电源，调整计数器面板 上的功能档为“a”.使滑块运动通过导轨上两个固定的光电门，当滑块通过两个光电门的 速度基本一致时（挡光板的通过时间差不超过3s),可认为气垫导轨水平.若误差较大， 可调节单脚螺钉，使气垫导轨水平 (2)将滑块联上两个弹簧，装上单挡光片，自动计数器面板上的功能档放在“T”档.当 振子连续在某一光电门左右振动时，计数器记录10个周期的时间，记录振子质量M,和振 动周期T (3)在振子上加砝码5克，重复实验内容(2)，记录质量M,振动周期T2 (4)重复(3)工作，共记录5~6个点，作图，观察M与T2是否线性. (5)考虑折合质量，计算k=k1+k值，并和实验值比较 【注意事项】 1.作简谐振动的弹簧绝对不能用手随便拉伸，以免超过其弹性限度，不能恢复原状 2.调节焦利氏秤时，应使小镜子在玻璃管内能自由振动，而不与管壁发生摩擦，每次 加砝码时应托住码盘，以免引起振动导致测量误差. 【预习思考题】 1,实验前为什么要将气垫导轨调水平？如何调整？ 2.实验前为什么要将焦利氏秤调垂直？如何调整？ 【思考题】 1,滑块的振幅在振动过程中不断减少，是什么原因？对实验结果有无影响？ 2.如果M~T2图不是一条直线，说明什么？ 3.为测准弹簧的伸长量，你采取了那些方法？有效吗？ 28
28 【实验内容】 1．测量弹簧的倔强系数 （1）将焦利氏秤调节至垂直状态后，将弹簧 1 按图 1 要求挂在焦利氏秤上．调“三线 合一”，并记录标尺位置 L1，加砝码 5 克，记录位置 L2； （2）重复以上加砝码过程，记录位置变化 6 个点； （3）用最小二乘法计算弹簧 1 的倔强系数 k1； （4）用弹簧 2 替换弹簧 1，重复以上过程，计算 k2． 2．验证振动周期与振子质量的关系 （1）将气垫导轨调至水平． （a）以目测的方法调整导轨单脚螺钉，使导轨初步水平； （b）将滑块安上两个距离固定的挡光片，并打开自动计数器的电源，调整计数器面板 上的功能档为“a”．使滑块运动通过导轨上两个固定的光电门，当滑块通过两个光电门的 速度基本一致时（挡光板的通过时间差不超过 3 ms），可认为气垫导轨水平．若误差较大， 可调节单脚螺钉，使气垫导轨水平． （2）将滑块联上两个弹簧，装上单挡光片，自动计数器面板上的功能档放在“T”档．当 振子连续在某一光电门左右振动时，计数器记录 10 个周期的时间，记录振子质量 M1和振 动周期 T1． （3）在振子上加砝码 5 克，重复实验内容（2），记录质量 M2，振动周期 T2． （4）重复（3）工作，共记录 5~6 个点，作图，观察 M 与 T 2 是否线性． （5）考虑折合质量，计算 k = k1+k2值，并和实验值比较． 【注意事项】 1．作简谐振动的弹簧绝对不能用手随便拉伸，以免超过其弹性限度，不能恢复原状． 2．调节焦利氏秤时，应使小镜子在玻璃管内能自由振动，而不与管壁发生摩擦，每次 加砝码时应托住码盘，以免引起振动导致测量误差． 【预习思考题】 1．实验前为什么要将气垫导轨调水平？如何调整？ 2．实验前为什么要将焦利氏秤调垂直？如何调整？ 【思考题】 1．滑块的振幅在振动过程中不断减少，是什么原因？对实验结果有无影响？ 2．如果 M ~ T 2图不是一条直线，说明什么？ 3．为测准弹簧的伸长量，你采取了那些方法？有效吗？