实验一LC串联电路特性的研究 电阻、电容及电感是电路中的基本元件，由C、RL、LC构成的串联电路具有不同 的特性，包括暂态特性、稳态特性、谐振特性.它们在实际应用中都起着重要的作用. 【实验目的】 1.通过研究RC、L和RLC串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感 的电磁感应特性及振荡回路特点的认识： 2.掌握RC、RL和RLC串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法： 3.用实验的方法测量LC电路的谐振频率，利用幅频曲线求出电路的品质因数Q值. 【实验原理】 1.RC、RL、RLC暂态过程 (1)RC串联电路 在由R、C组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程.图1为RC串联电路.其 中信号源用方波信号.在上半个周期内，方波电压+E,其对电容充电：在下半个周期内， 方波电压为零，电容对地放电.充电过程中的回路方程为 RCUE+Ue=E (1) dt 由初始条件1=0时，Uc=0,得解为 Uc=E(1-e RC) (2) Ug=iR=Ee RC 图1RC串联电路 从Uc、UR二式可见，UC是随时间1按指数函数规律增长，而电阻电压UR随时间1按指 数函数规律衰减，如图2中U-1、Uc-1及UR-1曲线所示. 在放电过程中的回路方程为 Rcd0e+U。=0 (3) dt 由初始条件t=0时，Uc=E,得解为 Ue =Ee (4) UR=iR=-Ee定 从UC、U式可见，它们都随时间1按指数函数规律衰减.式中的RC=x具有时间的量纲， -1-
实验一 RLC 串联电路特性的研究 电阻、电容及电感是电路中的基本元件，由 RC、RL、RLC 构成的串联电路具有不同 的特性，包括暂态特性、稳态特性、谐振特性．它们在实际应用中都起着重要的作用． 【实验目的】 1．通过研究 RC、RL 和 RLC 串联电路的暂态过程，加深对电容充、放电规律，电感 的电磁感应特性及振荡回路特点的认识； 2．掌握 RC、RL 和 RLC 串联电路的幅频特性和相频特性的测量方法； 3．用实验的方法测量 RLC 电路的谐振频率，利用幅频曲线求出电路的品质因数 Q 值． 【实验原理】 1．RC、RL、RLC 暂态过程 （1）RC 串联电路 在由 R、C 组成的电路中，暂态过程是电容的充放电的过程．图 1 为 RC 串联电路．其 中信号源用方波信号．在上半个周期内，方波电压+E，其对电容充电；在下半个周期内， 方波电压为零，电容对地放电．充电过程中的回路方程为 EU t U RC C C =+ d d （1） 图 1 RC 串联电路 由初始条件t = 0 时，UC = 0，得解为 RC t R RC t C EeiRU eEU − − == −= )1( （2） 从UC、UR 二式可见，UC 是随时间 t 按指数函数规律增长，而电阻电压UR 随时间 t 按指 数函数规律衰减，如图2中U – t、UC – t 及UR – t 曲线所示． 在放电过程中的回路方程为 0 d d C =+ C U t U RC （3） 由初始条件t = 0 时，UC = E，得解为 RC t R RC t C EeiRU EeU − − −== = （4） 从UC、UR式可见，它们都随时间 t 按指数函数规律衰减．式中的RC = τ 具有时间的量纲， - 1 -
称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重 要物理量.与时间常数π有关的另一个在实验中较容 U E 易测定的特征值，称为半衰期T12,即当Uc(t)下降 到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同 样反映了暂态过程的快慢程度，与x的关系为 T2=tln2=0.693x(或x=1.443Tn)(5) (2)L串联电路 与RC串联电路进行类似分析可得，RL串联电路 的时间常数r及半衰期Ti2分别为： ,7:=0.693r=0.693 T=L (6) R E (3)RLC串联电路 先讨论LC电路中突然接入电源，电容器上电压 满足的微分方程为 LCUE+RC UE+Uc-E (7) dr2 dt E 等式边同除以LC,并令 图2RC串联电路充放电曲线 B=R/2L0。= (8) VLC 则上式可化为 dU+2BaC+oU。=aE dr2 (9) dt 式(9)为一阻尼振荡方程，B为阻尼系数，o为电路的固有频率.又由本过程的两个初始 条件 Ucl-o=0; =0 (10) dt 所以(10)式最终解的形式取决于B和oo的相对大小. 下面就分三种情况给出结果 (1)欠阻尼 当B2-o<0时，称为欠阻尼， 其解为 U=E-Ee cos+sin o (11) -2-
E 0 t UC T E 0 U t T E 0 t UR T -E 图 2 RC 串联电路充放电曲线 称为时间常数，是表征暂态过程进行得快慢的一个重 要物理量．与时间常数τ 有关的另一个在实验中较容 易测定的特征值，称为半衰期T1/2，即当UC（t）下降 到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同 样反映了暂态过程的快慢程度，与τ 的关系为 T1/2 = τ ln2 = 0.693 τ （或τ = 1.443T1/2） （5） （2）RL串联电路 与RC 串联电路进行类似分析可得，RL串联电路 的时间常数τ 及半衰期T1/2分别为： R L T R L 693.0693.0 , τ = 2/1 τ == （6） （3）RLC 串联电路 先讨论 RLC 电路中突然接入电源，电容器上电压 满足的微分方程为 EU t U RC t U LC C C C + =+ d d d d 2 2 （7） 等式边同除以 LC，并令 β = 2LR LC 1 ω0 = （8） 则上式可化为 EU t U t U C C C 2 0 2 2 0 2 d d 2 d d =++ ωωβ （9） 式（9）为一阻尼振荡方程，β为阻尼系数，ω 0为电路的固有频率．又由本过程的两个初始 条件 0 0 = C t = U ； 0 d d 0 = t= C t U （10） 所以（10）式最终解的形式取决于β 和ω 0的相对大小． 下面就分三种情况给出结果 （1）欠阻尼 当 2 ωβ 0 2 <− 0 时，称为欠阻尼， 其解为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= + − ttEeEU t C ω ω β ω β cos sin （11） - 2 -
式中，o=√o-B2,式(11)称为阻尼振荡解. (2)过阻尼 当B2-o>0时，称为过阻尼. 其解为 u=E号ela+--h叫 (12) 式中：y=VB2-o6 (3)临界阻尼 当B2-⊙。=0时，称为临界阻尼，此时其解为 UC=E-E(1+Bt)e- (13) 当电路达到稳定后，突然撤去电源电动势（即￡=0），电路的变化类似于充电过程.方 程的解也分为三种情况 以上讨论的充、放电的条件是加阶越波且源内阻=0.在实验中，我们可以用源内阻 很小的方波源来代替上述条件.只要方波的周期远大于电路的时间常数就可以. 上述三种情况下Uc随时间的变化如图3所示 欠阻尼 方波 过阻尼 临界阻尼 图3RLC串联电路充、放电波形 2.RC、RL稳态电路 当把正弦交流电U,输入到RC(或L)组成的串联电路时，电容或电阻两端的输出电压 U6的幅度及相位将随输入电压U的频率而变化.在这样的回路中的只要测得在不同输入频 率下的各元件的电压量值，就可以得到幅频和相频的关系， 0-8UL (14) UR R -3-
式中， 22 0 −= βωω ，式（11）称为阻尼振荡解． （2）过阻尼 当 2 ωβ 0 2 >− 0 时，称为过阻尼． 其解为 [( )( ) ]t t t C ee e r E EU 2 γ β γ γβγβ − − −= −−+ （12） 式中： 2 0 2 −= ωβγ （3）临界阻尼 当 2 ωβ 0 2 =− 0 时，称为临界阻尼，此时其解为 ( ) t C etEEU β β − 1+−= （13） 当电路达到稳定后，突然撤去电源电动势（即 E = 0），电路的变化类似于充电过程．方 程的解也分为三种情况． 以上讨论的充、放电的条件是加阶越波且源内阻 = 0．在实验中，我们可以用源内阻 很小的方波源来代替上述条件．只要方波的周期远大于电路的时间常数就可以． 上述三种情况下UC 随时间t的变化如图 3 所示 图 3 RLC 串联电路充、放电波形 0 t UC E 欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 方波 2．RC、RL 稳态电路 当把正弦交流电Ui输入到RC（或RL）组成的串联电路时，电容或电阻两端的输出电压 U0的幅度及相位将随输入电压Ui的频率而变化．在这样的回路中的只要测得在不同输入频 率下的各元件的电压量值，就可以得到幅频和相频的关系． R L tg U U tg R L ω ϕ −1 −1 == （14） - 3 -
0=g1C=g(-R (15) 3.RLC谐振电路 UL-Uc 图4RLC串联电路 (1)如图4所示的是RLC串联电路.RLC串联电路的阻抗和相位差可通过矢量图的 方法计算，因为通过各元件的电流是共同的.取电流矢量I为水平基准，又由于各分电压 与电流的相位差为 m,=0,以=受0=号 2 所以各元件的电压有效值为 Ug=IZ IR,U IZ loL,Uc=IZc =1/@C (16) 总电压 U=0+0,-万度U=R+- (17) 电路总阻抗为 Z=1 R2+(@L-- (18) 电流与信号电压的位相差为 p=g二Uc=g l、1 (19) UR R -4-
) 1 ( 1 1 CR tg U U tg R C ω ϕ −= − = − − （15） 3．RLC 谐振电路 图 4 RLC 串联电路 （1）如图 4 所示的是 RLC 串联电路．RLC 串联电路的阻抗和相位差可通过矢量图的 方法计算，因为通过各元件的电流是共同的．取电流矢量 I 为水平基准，又由于各分电压 与电流的相位差为 ϕ R = 0 ， 2 π ϕ L = ， 2 π ϕc −= 所以各元件的电压有效值为 R == , L = L = ω , C = C = /ωCIIZULIIZUIRIZU （16） 总电压 2 2 )( R −+= UUUU CL 或 2 2 ) 1 ( C LRIU ω ω −+= （17） 电路总阻抗为 2 2 ) 1 ( C LRZ ω ω −+= （18） 电流与信号电压的位相差为 R C L tg U UU tg R CL ω ω ϕ 1 1 1 − = − = − − （19） - 4 -
(2)谐振现象 从上述可知，当电压一定时，若电源频率满足 0L= (20) 0C LC 则电路阻抗达到其极小值Zo=R,电路中，电流达到其极大值Im=R.这种现象，称为谐 振现象，发生谐振时的频率6称为谐振频率 1 人=2m0 (21) 利用上述关系式，可以得到串联谐振电路的阻抗Z、电流和相位差p=p,随频率变 化的曲线，如图5所示.定性而言，由式(17)和(18)可以看出，低频时f L,容抗大于感抗，p6,oL>1/oC,感抗大于容抗，p>0,此时总电压超前于 电流，整个电路呈电感性。 π/2 fo -π/2 10 fifof2 (a) (b) (c) 图5串联谐振电路的谐振曲线以及相位随频率的变化 (3)谐振电路中的品质因数 (I)Q值的一种定义和电压分配 利用式I=UR,可以得到串联谐振电路中电阻、电感和电容上的电压分别为 UR=I R=U U,=1.Z,=R05 (22) Uc=IZe=RO _U1 -=UL 谐振时电感上的电压U与总电压U的比值，称为谐振电路的品质因数，用Q表示，即 -5-
（2）谐振现象 从上述可知，当电压一定时，若电源频率满足 C L 0 0 1 ω ω = 或 LC 1 ω0 = （20） 则电路阻抗达到其极小值Z0 = R.，电路中，电流达到其极大值Im = U/R．这种现象，称为谐 振现象，发生谐振时的频率f0称为谐振频率 LC f 2π 1 0 = （21） 利用上述关系式，可以得到串联谐振电路的阻抗Z、电流I和相位差ϕ = ϕu-ϕi 随频率变 化的曲线，如图 5 所示．定性而言，由式（17）和（18）可以看出，低频时 f ωL，容抗大于感抗，ϕ f0， ωL >1/ωC，感抗大于容抗，ϕ > 0，此时总电压超前于 电流，整个电路呈电感性． O f R Z f 0 f 0 f 1 f 2 O I I m I m 2 f f 0 O f (a) (b) (c) 图 5 串联谐振电路的谐振曲线以及相位随频率的变化 （3）谐振电路中的品质因数 （I）Q 值的一种定义和电压分配 利用式Im = U/R，可以得到串联谐振电路中电阻、电感和电容上的电压分别为 mR == URIU L R U ZIU LmL == ω0 （22） CmC UL CR U ZIU =⋅== 0 1 ω 谐振时电感上的电压UL与总电压U的比值，称为谐振电路的品质因数，用Q表示，即 - 5 -
(23) 当总电压一定时，Q值越高，U和Uc越大.Q值是一个标志谐振电路性能好坏的物理量. (Ⅱ)谐振电路的频率选择性 谐振电路在无线电技术中最重要的应用是选择讯号.为了定量地说明频率选择性的好 坏程度，通常规定在谐振峰两边1=/√2业处的频率宽度为通频带宽度△∫如图5(b) 所示，有 △f=f2-f (24) )=1)= (25) 2 可以证明，谐振电路的通频带宽度△∫反比于谐振电路的Q值，即 4y= 0 (26) Q值越大，通频带宽度△∫越小，谐振峰越尖锐.因此，Q值越大，谐振电路的频率选择性 就越好 【实验仪器】 数字万用表，数字式电容表，功率函数信号发生器，存贮示波器，晶体管毫伏表，实 验接线板，电阻、电容和电感等 【实验内容】 1.取不同参数的RC或RL组成串联电路，测量并描绘当时间常数小于或大于方波的 半周期时的电容或电感上的波形，计算时间常数并与理论值比较： 2.选择不同的LC组成的串联电路，测量并描绘欠阻尼过程、临界阻尼过程、过阻 尼过程时电容上的波形，计算时间常数并与理论值比较.注意，方波的周期应远大于LC 串联电路的时间常数： 3.把正弦交流电U输入到RC和RL组成的串联电路，测量电容和电阻两端的输出电压 幅度随U的频率变化，分别测量10个频点.在同一时间轴下绘出幅频和相频的关系曲线， 幅频曲线的幅值用相对变化表示： 4.把正弦交流电U输入到RLC组成的串联电路时，测量各元件两端的输出电压幅度随 U的频率的变化.绘出幅频和相频的关系曲线，绘图要求同3.确定谐振频率，计算品质 因素，分别测量20个频点；取不同的电容两个进行测量并进行比较分析. 【注意事项】 1.应用各种仪器前，仔细查阅有关说明书和使用方法 -6-
R L U U Q L ω0 == （23） 当总电压一定时，Q值越高，UL和UC越大．Q值是一个标志谐振电路性能好坏的物理量． （II）谐振电路的频率选择性 谐振电路在无线电技术中最重要的应用是选择讯号．为了定量地说明频率选择性的好 坏程度，通常规定在谐振峰两边 ( ) m = 21 II 处的频率宽度为通频带宽度Δ f．如图 5（b） 所示，有 12 Δ −= fff （24） () () 2 1 2 mI fIfI == （25） 可以证明，谐振电路的通频带宽度Δ f 反比于谐振电路的 Q 值，即 Q f f 0 =Δ （26） Q 值越大，通频带宽度Δ f 越小，谐振峰越尖锐．因此，Q 值越大，谐振电路的频率选择性 就越好． 【实验仪器】 数字万用表，数字式电容表，功率函数信号发生器，存贮示波器，晶体管毫伏表，实 验接线板，电阻、电容和电感等． 【实验内容】 1．取不同参数的 RC 或 RL 组成串联电路，测量并描绘当时间常数小于或大于方波的 半周期时的电容或电感上的波形，计算时间常数并与理论值比较； 2．选择不同的 RLC 组成的串联电路，测量并描绘欠阻尼过程、临界阻尼过程、过阻 尼过程时电容上的波形，计算时间常数并与理论值比较．注意，方波的周期应远大于 RLC 串联电路的时间常数； 3．把正弦交流电Ui输入到RC和RL组成的串联电路，测量电容和电阻两端的输出电压 幅度随Ui的频率变化，分别测量 10 个频点．在同一时间轴下绘出幅频和相频的关系曲线， 幅频曲线的幅值用相对变化表示； 4．把正弦交流电Ui输入到RLC组成的串联电路时，测量各元件两端的输出电压幅度随 Ui的频率的变化．绘出幅频和相频的关系曲线，绘图要求同 3．确定谐振频率，计算品质 因素，分别测量 20 个频点；取不同的电容两个进行测量并进行比较分析． 【注意事项】 1．应用各种仪器前，仔细查阅有关说明书和使用方法． - 6 -
2.各电路元件在测量时，接地点应于仪器的接地点一致。 【思考题】 1.在RC暂态过程中，固定方波的频率，而改变电阻的阻值，为什么会有不同的波形？ 而改变方波的频率，会得到类似的波形吗？ 2.在RLC暂态过程中，若方波的频率很高或很低，能观察到阻尼振荡的波形吗？如 何由阻尼振荡的波形来测量LC电路的时间常数？ 3.在RC、RL电路中，当C或L的损耗电阻不能忽略不计时，能否用本实验测量电 路中时间常数？ 4.把一个幅值为U,角频率o=1/RC的正弦交流电加在RC串联电路的输入端，如果R =1k2,C=0.5F,试计算UR、Uc、I UdUI及pc,并用矢量图表示 5.根据LC串联谐振的特点，在实验中如何判断电路达到了谐振？ 6.串联谐振时，电路和电感上的瞬时电压的相位关系如何？若将电容和电感接到示波 器的X和Y轴上，将看到什么现象？为什么？ 【参考资料】 []赵凯华，陈熙谋.电磁学（下册）.北京：人民教育出版社，1980 [2]程守珠，江之永.普通物理学（第五版）.北京：高等教育出版社，1998 [3]谢行怒，康士秀.大学物理实验（第二册）.北京：高等教育出版社，2001 .7-
2．各电路元件在测量时，接地点应于仪器的接地点一致． 【思考题】 1．在 RC 暂态过程中，固定方波的频率，而改变电阻的阻值，为什么会有不同的波形？ 而改变方波的频率，会得到类似的波形吗？ 2．在 RLC 暂态过程中，若方波的频率很高或很低，能观察到阻尼振荡的波形吗？如 何由阻尼振荡的波形来测量 RLC 电路的时间常数？ 3．在 RC、RL 电路中，当 C 或 L 的损耗电阻不能忽略不计时，能否用本实验测量电 路中时间常数？ 4．把一个幅值为U i，角频率ω = 1/RC的正弦交流电加在RC串联电路的输入端，如果R = 1 kΩ，C = 0.5 μF，试计算UR、UC、｜UC/ Ui｜及ϕC ，并用矢量图表示． 5．根据 RLC 串联谐振的特点，在实验中如何判断电路达到了谐振？ 6．串联谐振时，电路和电感上的瞬时电压的相位关系如何？若将电容和电感接到示波 器的 X 和 Y 轴上，将看到什么现象？为什么？ 【参考资料】 [1] 赵凯华，陈熙谋．电磁学（下册）．北京：人民教育出版社，1980 [2] 程守珠，江之永．普通物理学（第五版）．北京：高等教育出版社，1998 [3] 谢行怒，康士秀．大学物理实验（第二册）．北京：高等教育出版社，2001 - 7 -
【附录】 示波器的介绍 面板分为几个功能区，有这个概念后，使用和寻找都很方便.下面概要介绍本实验所 需使用的控制钮以及屏幕上显示的信息.（附图1） 功能区 Tektronix TDS210 多 功能菜 单 参数显示及功能提示 面 ⊙ 垂直 水平 触发 控制区 控制区 控制区 附图1示波器面板图 1.显示区 显示图象中除了波形外，还包含许多有关波形和仪器控制设定值的细节， 2.VERTICAL:垂直控制区 (1)CH1 波形输入、放大倍数调整、垂直位置调整、屏幕菜单 (2)CH2 同上 3.HORIZONTAL:水平控制区 波形输入、扫描速度、水平位置调整、屏幕菜单 4. TRIGGER:触发控制区 触发电平调整、触发菜单、触发模式常用键 5.功能区 (1)SAVE/RECALL:储存/调出菜单 可储存或调出波形 (2)MEASURE:测量菜单 使多功能键进入测量模式 (3)ACQUIRE:采样方式菜单 -8-
【附录】 示波器的介绍 面板分为几个功能区，有这个概念后，使用和寻找都很方便．下面概要介绍本实验所 需使用的控制钮以及屏幕上显示的信息．（附图 1） HARDCOPY RUN/STOP AUTOSET MENUS SAVE/RECALL MEASURE ACQUIRE UTILITY CURSOR DISPLAY POSITION CURSOR1 CH1 MENU VOLTS/DIV 5V 2mV POSITION CURSOR1 CH2 MENU VOLTS/DIV 5V 2mV POSITION HORIZONTAL MENU SEC/DIV 5S 5ns VERTICAL HORIZONTAL MATH MENU HOLDOFF TRIGGER MENU LEVEL SET LEVEL TO 50% FORCE TRIGGER TRIGGER VIEW PROB COMP CH1 CH2 EXT TRIG -5V TWO CHANNEL DIGITAL REAL-TIME OSCILLOSCOPE 60MHZ 1GS/S TRIGGER 垂直 控制区 水平 控制区 触发 控制区 功能区 多 功 能 菜 单 参数显示及功能提示 附图 1 示波器面板图 1．显示区 显示图象中除了波形外，还包含许多有关波形和仪器控制设定值的细节． 2．VERTICAL：垂直控制区 （1）CH 1 波形输入、放大倍数调整、垂直位置调整、屏幕菜单 （2）CH 2 同上 3． HORIZONTAL：水平控制区 波形输入、扫描速度、水平位置调整、屏幕菜单 4． TRIGGER：触发控制区 触发电平调整、触发菜单、触发模式常用键 5． 功能区 （1）SAVE/RECALL：储存/调出菜单 可储存或调出波形 （2）MEASURE：测量菜单 使多功能键进入测量模式 （3）ACQUIRE：采样方式菜单 - 8 -
显示点采样方式选择 (4)CURSOR:光标菜单 屏幕读出功能，垂直区的两个位置旋钮分别控制两个光标. (5)DISPLAY:显示模式菜单 (6)OUTOSET:自动最佳参数设置 由仪器根据输入波形自动设置扫描参数，适用于多数测量情况. (7)RUN/STOP:启动/停止键 扫描启动、停止键. -9-
显示点采样方式选择 （4）CURSOR：光标菜单 屏幕读出功能，垂直区的两个位置旋钮分别控制两个光标． （5）DISPLAY：显示模式菜单 （6）OUTOSET：自动最佳参数设置 由仪器根据输入波形自动设置扫描参数，适用于多数测量情况． （7）RUN/STOP：启动/停止键 扫描启动、停止键． - 9 -