四元数在刚体定位问题中的应用C苏】I.H.勃拉涅茨、M.Ⅱ.什梅格列夫斯基著梁振和译汪朝群校國防工堂出版社
内容简介本书介绍了四元数这个敏学工具在刚体旋转运动的运动学的一般理论问题中及其在控制系统设计中的应用。根据四元数的乘法运算提出了刚体的有限转动理论和角运动的运动学；探讨了运动学方程及其数值积分的研究间题、叫元数在刚体角运动控制以及空间转弯最佳化间题中的应用问题；用例子证明了在搭制问题中使用四元数的优点。本书对于从事自动控制技术、飞行器运动控制系统设计以及从事刚体力学一般理论研究的读者，均有参考价值。HIPMEHEHHEKBATEPHIOHOBBBAIAHAXOPHEHTAIMHTBEPAOIOTEIAB. H. BpaHen, H. II. IHblerckatL3raTeMbcTRo 4Hayka>MockBa1973四元数在刚体定位问题中的应用[苏】B.H.勃拉涅茨、H.ⅡI.什梅格列夫斯基著梁振和译汪朝群校國防董品趣社出版北东市书刊出版业营业醉可旺出字筑074号新学書屋北京发行所发行各地長葬書庄经售国防工业出版社印刷厂印装850×11681/32印张83/16816千字197个年8月第~-版1977年8月第一次印刷印数：0，001一4600册统-书号：15034·1534定价：1.05元
译序遵照伟大领袖毛主席关于“洋为中用”的教导，我们翻译出版了《四元数在刚体定位问题中的应用》这本书，供从事这方面工作的同志们参考。四元数的数学概念是在十九世纪中叶提出来的，它是代数学中的一个内容。近些年来，随着控制理论、陀螺技术、计算技术的蓬勃发展，为了更简便地描述刚体的角运动，设计控制系统，采用了四元数这个数学工具，用它来弥补通常插述刚体角运动的三个欧拉参数（或类似的克雷洛夫参数等）在设计现代控制系统时的不足，当然问题的实质并没有发生变化。本书比较全，系统地介绍了：四元数的基本概念，如何用四元数描述刚休的角运动以及它与经典的欧拉参数描述角运动方法之间的内在联系，也介绍了在实际设计控制系统中的应用，最后还提出了个最佳控制的实际问题，虽然这个问题在最佳控制理论中是一个简单的实例，但也是很有意义的。本书对于从事自动控制技术、飞行器控制系统设计的工程技术人员有一定的参考价值，对于从事一般刚体力学研究的读者，也能有所神益。由于我们水平所限，书中难免有错误和不当之处，敬请读者批评指正。译者
目录3译序.6前言第一章四数及其性质.9.91.1四九数代数$1.2四元数在球面上的丧示….1791.3.23旋转变换$1.4.28球而几甸第章刚体的有限转动理论·36$2.1正交变换..3762.2正交变换的四元数乘法的表示式-45$2.3基的变换...48$2.4不变欠量的分量变换。超复数映像...50$2.5.-52旋转运算的不变性。罗得里格-哈密顿参数，.$2.6转动的相加...5682.7罗得里格-哈密顿参数同其它运动学参数的关系.-63第三章运动学方程·.7783.1无限小变换，角速度失景·.7783.2.81运动学方程的推导…$3.3...87其它参数的运动学方程.63.4.100运动学方程的研究83.5特殊形式的运动学方程的解.108$3.6-117运动学方程的形式解.121第四章运动学方程的近似积分和数值积分84.1..121数值法的建立..12684.2川规范化四元数的运动学方程、范数修正.1284.3范数修正的数值法4.4定步长情况下数值法的误差.132
5.-J12$4.5变步长的数值积分法.150$84.6旋化误茶...152$4.7消松方星事模的的稳定..157第五草四数在刚体运动控制问题中的应用85.1.158控制信马与运动学参数竹关系$5.2.161时性坐标系中定位的运动学间墅.168$5.3施转坐标系功定位的运功学问惠85.413定位的动力学问边$5.5.-137.-136第六章刚体的最佳空间转变86.1.190运动学最佳转湾问题的拍出...20086.2运动学最任转弯问题的解$6.3.204为速度矢量的模有界时的最售控制...208芬 6.4在说度失最的分有界时的证任我制86.5-236动力学最住转弯问跑的说出$6.6控制力炬的模有界时，对十球对称刚体心力学件转间题.211的解的特殊情说.2.316.77补充说明..256主要符号.259参考资料
前言刚体角运动古典理论的主要结果是在上一个世纪取得的。为了描述刚体绕固定点的运动，曾提出诸如罗得里格-哈密顿参数、凯里-克莱茵参数，欧拉-克雷洛夫角和方向余弦之类的许多运动参数。当时，研究人员都致力于寻求方程的简便表示形式和探讨运动的可积分情况。此后，研究的重心移到陀螺的应用理论方面。这时，刚体的运动仅由欧拉-克洛夫角给定，后者在所有的力学著作中，其中包括研究运动对象控制的著作中，已经获得广泛的应用。此外，在理论著作中还采用了短阵方法；这时，物体的状态由方向余弦给定。描述角运动的其它方法，主要是为了叙述的完整而提了一下。在最近十来年里，情况发生了变化。飞行体控制系统的发展，数字计算机在运动控制中的应用，使得合理描述各种控制问题中刚体的空间运动有了实际意义。属于这类问题的，特别是建立捷联式惯性系统以及建立刚体空间转弯、定位和稳定控制系统。在这些问题中利用欧拉-克雷洛失角有某些不便之处。任何一个角系统，本质上都是模拟某一常平架。在一定的角度下，会发生反映常平架框架的重合效应的运动学方程的退化。这种退化并不是由加给刚体角运动的实际物理限制引起的。此外，运动方程的积分和欧拉-克雷洛夫角坐标变换都涉及到三角运算，而这些运算会降低电了计算机的使用效率。在所有的运动学参数中，罗得里格一哈密顿和凯里一克莱茵参
数占有特殊的地位。与欧拉角不同，这些参数不论刚体处于任何状态都不会退化，其数目等于四，因此，与方向余弦（有六个）不同，它们只有一个连系方程。所有这一切都使运动学方程的数值积分问题得到简化。此外，罗得里格-哈密顿和凯里-克莱茵参数使得有效地解决刚体有限旋转理论、受控运动稳定性等许多问题有了可能。尽管有这样的优点，利用这些参数仍然是复杂的，这是因为它要应用有限旋转欠量理论或者进行立体平面投影和没有简单儿何意义的单式变换。而应用四元数能够建立使用罗得里格一哈密顿参数的极其方便和直观的形式体系。1843年，B.P哈密顿首先在数学中引入四元数。从1838年起，他开始研究他所建立的四元数理论，力求为研究空间儿何找到类似解决平面问题中我们以复效形式使用的挪种简便方法。他的工作成果是两本书：“四元数讲义”55]和“四元数基础"[54]。以后，研究四元数理论的有工，凯里和.克莱茵。但直到最近，四元数还没有得到任何实际应用，而是作为四维线性代数的形式数学模式的范例。本书中介绍了作者应用四元数研究刚体角运动方面的有关工作。在以四元数乘法运算表示正交变换的基础上，发展了正交变换和刚体有限转动理论的形式体系。并在建立四元数的形式体系同其它运动参数联系方面作了尝试。详细地研究了运动学方程的一般性质。提出了推导这些方程的一般方法，这种方法适用于各种运动学参数并很好地说明了这些参数的物理意义。利用四元数能够以统一的矢量形式来表示决定角速度矢量的无限小旋转以及作为有限转动的任意变换。四元数为研究刚体运动学提供了非常方便的T具，原因是四元数单位具有两重性：一方面，它是实际三维空间的单位尖；另一方面，它又是变换算子。由
8于四元数的这种性质，罗得里格一哈密顿和凯里一克莱茵参数得到了简单明了的物理内容。本书还探讨了在控制刚体运动的实际课题中应用角运动运动学的问题。详细地研究了运动学方程的数值积分问题和运动学参数（特别是四元数元素）在控制中的应用问题，也探讨了空间转弯最佳化问题的若于特定情沉。作者的目的在于说明在一般理论问题或刚体运动控制的实际问题中应用四元数这一数学工具的可能性，并使飞行器运动控制系统、捷联式系统方间T作的人们以及所有对刚体力学的一一般问题感兴趣的人们，重视这一强有力的工具
第章四元数及其性质$1.1四元数代数将三维欠量代数运算推广到乘法和除法运算的必要性，促使哈密惯（1843年）建立了四维数或四元数的代数[54,55。所谓四元数，是指由一个实数单位1和三个虚数单位让，，组成并具有下列形式实元的数：A（)=我们先来叙述决定四元数运算的基本公设。1）如果两个四元数A和M的谐元和等，即入u（一0，12，3)，则这两个四元数相等。2）四元数A和M之和为四元数，其诸元为入+叫：+M()l+(+)+()+()3）当四元数A乘以标量α时，其所有各元都乘以该数：aA=anl+ani+anis+angis特别是，四元数^的负数将是-A=1-i1-30而零是四元数（0，0，0，0）。从这些定义得出，四元数加法以及四元数同标量的乘法都服从于一般代数规则：4)A+M-M+A,(A+M)+N-A+(M+N);5)aA-Aa,(ab)A-A(ba);6)(a+b)A=aA+bA,a(A+M)-aA+aM.哈密顺用，，表示三个虚数单位，但是，为了叙述上的方便，我们利用月凯里采用的符号：，，3。我们注意到，可以把超复数进-一步推广到？本身亦为复数时的情识。这样构成的数称为双四元数，并已用于描还刚体的螺旋运动。本书中不研究双四元数
10单位1、可以看成是用符号耳表示的四维空间中的欠量（单位欠）。于是，任何四元数都可用点或欠径在该空间中表示出来。在空间耳中四元数的相加以及四元数同标量的相乘，和在普通失量空间中是一样的。空问耳的特点在于，就乘法和除法运算来说，它是封闭的。7）为了求出四元数之积，必须给出单位1，，，的乘法规则。这些规则如下：lci=ioli,liigoli,o-igoli,1olli=-1,1,r-1,g在这样的乘法规则下，两个四元数之积仍为四元数。乘法规则是非常成功的，由于有了这种乘法规则，四元数代数包括实数和复数代数以及三维久量代数。。在三维空间中，四元数含有具有唯-单位1的实数（a，0，0,0)具有两个单位1、的复数（α，6,0,0)和失量（0，，6，c)。但若实数和复数构成数域（即经加法、乘法和除法重新给出所讨论的数集的元），则两失量之积，正如下面将要证明的一样，已经不是天量，而是四元数。乘法规则7）表明，乘以1不会使四元数改变，就是说，分量1保持普通标量的性质；由于这种缘故，以后在四元数的表达式中，第一项（）将不写出单位。其次，可将单位、、语看作是三维失量牵间的单位矢。，而将这些单位的系数看作是失量的分量。因此，我们将四元数表示为标量部分和失量部分之和，而这两部分分别用sqalA和veotA当按上述规则定义了它的乘法后，它就构成了实数域上的4阶不可易代数，这一代数就称为四元代数。下述性质7）表明，它还是一个可除代数，即是一个广城。并且可以证明：实数域和四元广域是实数域上仅有的可解的可除代数。校者因为荐引人单位i的正交变换致（-c)，则由正交性CxCu一可以看到，，也服从于四元数单位的乘法规则：iigo--Ccm=-1,og=-car+C21CaCcnf:+C12ia+e1aig=i等等。CstCsoC3s