上海交通大学：《热力系统设计与实践 Design and Practice of Thermodynamic System》课程教学资源（课件讲稿）第12讲 实际气体性质及热力学一般关系式 Behavior of real gases and generalized thermodynamic relationships（热力学性质一般关系式）

3 §6-6热力学能、焓和熵的一般关系式 一.熵的微分方程式(generalized entropy relations) 令S=s(v,T),则 0s 0s ds dv+ dT =1→ v Bu T 8s h p S r) ds= dv g u T 第一ds方程(the first Tds equation) 上游充通大粤 2019年3月29日 3 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 3 3 §6–6 热力学能、焓和熵的一般关系式 一.熵的微分方程式(generalized entropy relations) 令s=s(v,T)，则 d d d T v v s s s v T T                   T s v         第一ds方程(the first Tds equation) p s T v h f g u v V v v u s T c T T u s                            1 v v v s T u T u s                          d d d V v c p s T v T T           v p T         

4 类似可得 d-r{） 第二ds方程 T dp dv 第三ds方程 讨论： 1)三式可用于任意工质 dp dv dT 如理想气体pv=PgT 二 p T ds dT+ dT dv dv T +R2 V 上游充通 2)c实验测定较易，所以第二ds方程应用更广 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSI

2019年3月29日 4 4 类似可得 d d d d d d d d p p V p v p c v s T p s T T c T T c s p v s T p T v                           第二 方程 第三 方程 讨论： 1）三式可用于任意工质 如理想气体 g d d d p v T pv R T p v T     g d d d V T v s c R T v   2）cp实验测定较易，所以第二ds方程应用更广 d d d V v c p s T v T T           g 1 v p p R T T v          

5 二热力学能微分方程 (generalized internal energy relations) 将第一ds方程 T dy→du=Tds-pdy→ da=r等)-p 第一du方程(the first du equation) 类层o-e,r,* dp 第二du方程 上游充通大学 2019年3月29日 5 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 5 5 二.热力学能微分方程 (generalized internal energy relations) 将第一ds方程 d d d V v c p s T v T T           d d d u T s p v   第一du方程(the first du equation) d d d p p p T v v v u c p T T p p T T p                                           第二du方程 类似得 d d d V v p u c T T p v T                 

6 对于理想气体： d4dr7器）p dp dv dT PV=RgT ”> p T T -py--0→ =0 u与v无关，只取决于T 三.焓的微分方程(generalized enthalpy relations)) 将ds方程代入dh=Tds+vdp可得 dp 或 dh= +v T 熟 上游充通大学 2019年3月29日 6 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 6 6 对于理想气体： g pv R T  u与v无关，只取决于T 三.焓的微分方程(generalized enthalpy relations) 将ds方程代入dh=Tds+vdp可得 d d d p p v h c T T v p T                    dp dv dT p v T   g v p p R T T v           g 0 v p R T T p p T v             0 T u v          d d d V v v T p p p h c v T T v v T T v                                         或 d d d v V p T p T u c T v                 

7 §6-7比热容的一般关系式 generalized relations for c and cr) 研究比热容一般关系式的目的： 1)S,u,h的微分方程中均含有cp,cv 2)利用较易实验测量的c,计算cv; 3)利用由实验数据构造的c导出状态方程。 一比热容与p,v关系 ds-ar- T dp (A 二阶混合 偏导数相等 ds-&dT+ dv T (B) 上游究通大粤 2019年3月29日 7 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 7 7 §6–7 比热容的一般关系式 研究比热容一般关系式的目的： 1）s，u，h的微分方程中均含有cp，cV； 2）利用较易实验测量的cp计算cV； 3）利用由实验数据构造的cp导出状态方程。 一.比热容与p，v关系 d d d p p c v s T p T T          (generalized relations for cp and cV )   2 2 p T p c v T A p T                    2 2 V T v c p T B v T                 d d d V v c p s T v T T           二阶混合 偏导数相等

8 oc, =-7 (A) 讨论： 1)若已知气体状态方程f(p,y,T)=0,只需测得该数据 在某一足够低压力时的cn,可据（A) 式计算任 意压力p时的c。,大大减少实验工作量。因为定温下 积分（A)式 dp 其中若p足够小，c即为理想气体定压比热容， 只是温度的函数，右边积分即可得任意压力下Cp 无需实验测定。 2)利用cpT,p)数据，求 ,然后对T两次 积分，结合少量p,v,T数据可确定f(p,y,T)=0 3)利用A)式或B)式，可确定已有数据精度。 上游充通大 2019年3月29日 8 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 8 8 讨论： 1）若已知气体状态方程f (p,v,T)=0，只需测得该数据 在某一足够低压力时的cp，可据（A）式计算任 意压力p时的cp， 大大减少实验工作量。因为定温下 积分（A）式 0 0 2 2 d p p p p p v c c T p T             其中若p0足够小，cp0即为理想气体定压比热容， 只是温度的函数，右边积分即可得任意压力下cp 无需实验测定。 2）利用cp=f(T,p)数据，求 T p p c           积分，结合少量p，v，T数据可确定f (p,v,T)=0 ,然后对T两次 3）利用A）式或B）式，可确定已有数据精度。   2 2 p T p c v T A p T                 

9 二.Cp一c的一般关系 第一ds方程 第二ds方程 dv ds-ar- T dp Tds-cdT+T T Ov T aT) dT=- dv Cp-Cy Cp-Cy ) T=T(p,)→dT= dv 上游通大学 2019年3月29日 9 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 9 9 二. cp–cV的一般关系 d d d p p c v s T p T T          d d d V v c p s T v T T           第一ds方程 d d d V v p T s c T T v T           第二ds方程 d d d p p v T s c T T p T           d d d p v p V p V v p T T T T T p v c c c c                     T T p v  ( , ) d d d v p T T T p v p v                   p V p v v p c c T T T                  

10 应- =Ty 讨论： 1)C。c取决于状态方程； 2) T,y,K均为正，o2≥0→cp≥Cv a)4摄氏度的水av=0 Cp =Cy b)T=0时 3)因液体，固体v,a均很小， 故工程上近似取 Cp=Cv 上游充通大学 2019年3月29日 10 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 10 10 2 2 V p V p v p T T v p v p c c T T Tv T T T v                                        讨论： 1）cp–cV取决于状态方程； 2） 2 , , , 0 T v c c   T V p V 均为正    ) 4 0 ) 0 V p V p V a c c b T c c      摄氏度的水 时 3）因液体，固体v，αV 均很小，故工程上近似取 cp =cV

例题第六章\A320309 某气体服从p(-b)=R。T,式中b为常数，若其比热 容cv常数，试证其比热比y=Ccv是常数。 已知 证明： 6-可〔8 R,T p= v-b a R R ,v-b R.T T p pT 两边均除以cv,则 Cp/c,-1= or y=1+ B=常数 Cy 上游充通大学 2019年3月29日 11 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 11 某气体服从p(v-b)=RgT，式中b为常数，若其比热 容cV=常数，试证其比热比γ=cp /cV是常数。 p V p v v p c c T T T                   已知 证明： g p V p V v P R T c c T p T T v b                     两边均除以cV，则 g g / 1 1 p V V V R R c c or c c       常数 g g g p V g v p p R R R T p T v b T R T p                      g p V g R p c c T R p T    例题\第六章\A320309

12 例题1第六章\A320377 导出遵守范德瓦尔状态方程的气体的c,c的表达式，并 说明范德瓦尔方程并不能准确的描述实际气体的性质。 解：范德瓦尔方程 p+-b创=Rr v3(v-b)2 据循环关系 .〔， aT 上游通大学 2019年3月29日 12 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY

2019年3月29日 12 12 导出遵守范德瓦尔状态方程的气体的cp -cV的表达式，并 说明范德瓦尔方程并不能准确的描述实际气体的性质。 解：范德瓦尔方程 2 g ( ) a p v b R T v          3 2 g g g 2 3 3 2 2 2 ( ) ; ( ) ( ) v T p p a R R T R Tv a v b T v b v v b v v v b                            据循环关系   1                          p v T v p p T T v v p T p v T T p v                           p v p v T p T v c c T                   例题\第六章\A320377