《材料力学》第六章 弯曲变形

第6章弯曲变形 6-1概述 刚度: 构件抵抗变形的能力 拉压变形△ 扭转变形 弯曲变形 弯曲刚度 6 挠度截面形心的竖向位移 挠度曲线 转角O截面绕中性轴转过的角度

第 6 章 弯曲变形 拉压变形 l 扭转变形  弯曲变形 挠度v 截面形心的竖向位移 挠度曲线 转角 截面绕中性轴转过的角度  v 6-1 概 述 

6-2直接积分法 v(x)挠度曲线方程 tan6≈b= v(x) dv=0 dx (x)转角方程 M 挠度曲线 El 挠曲线 v"(x)= M(x)1 基本微分方程 E (1+12)2≈v(x) MO v(x Er dx+C ElV(x)= M(x)dx+C 40)+(x+DB2)=M+(+D 边界条件已知的挠度和转角

v(x) 挠度曲线方程  (x) 转角方程 tan v ( x) dx dv         dv   dx E Z I M   1 2 3 2 (1 ) 1 v v      v (x) Z E I M x v x ( ) ( )  挠曲线 基本微分方程    dx  C EI M x v x Z ( ) ( ) dxdx Cx D EI M x v x Z     ( ) ( )  EI Z v ( x)  M ( x)dx  C  EIZ v(x)  M (x)dxdx Cx  D 边界条件 已知的挠度和转角 6-2 直接积分法  挠度曲线 v 

例6-1求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角 解:弯矩方程M(x)=-9x El,v(x) x dx+C El,v(x) 3dx+Cx+D +Cx+d 24 边界条件: =l:v=0 0 C D 8 (31-4l3x+x)v(x) q 24E 6El max gEl 6El

例6-1 求下列各梁的挠曲线方程及最大挠度和转角 解： 2 2 ( ) x q 弯矩方程 M x   C qx x dx C q EI v x Z         2 6 ( ) 3 2 Cx D qx x dx Cx D q EI v x Z          6 24 ( ) 4 3 边界条件： x  l : v  0 , v   0 6 3 ql C  8 4 ql D   (3 4 ) 24 ( ) 4 3 4 l l x x EI q v x z     ( ) 6 ( ) 3 3 l x EI q v x z    x l q EIz ( ) 8 4 max    E z I ql v ( ) 6 3 m max ax E z I ql v    

F 解: Fb/I M(x=R (0<x<a) R RB M,(x)=Rx- F(x-a F6 F6 El x+o F(x-a)(a<x<1) F6 边界条件 El (x-a)2+ x=0:V=0,x=7:v2=0 F6 连续条件 E/2v1 +cix+D =d. y F6 El 得D=D,=0 Fb +c x+D (2-b

解： R Fb l A  R Fa l B  x l Fb M x R x 1 ( )  A  ( 0＜ x ＜ a ) M 2 (x)  RA x  F (x  a)  x F (x a) l Fb    ( a ＜ x ＜ l ) 1 2 1 2 x C l Fb EI vZ    1 1 3 1 6 x C x D l Fb EI vZ    边界条件 a b F RA RB l 0: 0, : 0 x  v1  x l v2  1 2 1 2 x  a : v   v  , v  v 连续条件 3 3 2 ( ) 6 6 x a F x l Fb EI vZ    2 D2  C x  2 2 2 2 ( ) 2 2 x a C F x l Fb EI vZ      得 0 D1  D2  ( ) 6 2 2 1 2 l b l Fb C  C   

F b 12+b bELz B Fb v [x3-x(2-b2)-2(x-a)3 leL 奇异函数法 Elv=M(x)=RAx-F(x-a=IEx-F( E18 F FIx-a+C Ely b-2b6 F +Cx+D 边界条件x=0:v1=0,x=l:v2=0 得D=0C F6 6/

( ) 6 2 2 2 1 x x l b l EI Fb v Z    [ ( ) ( ) ] 6 3 2 2 3 2 x a b l x x l b l EI Fb v Z      a F v1 v2 A B C b 奇异函数法 Fx F x a l b M x R x F x a EIv   ( )  A      Fx F x a C l b EI     2 2 2 1 2  Fx F x a Cx D l b EIv      3 3 6 1 6 边界条件 0 : 0 , : 0 x  v1  x  l v2  得 D  0 ( ) 6 2 2 l b l Fb C   

讨论:最大挠度 F b b B A M∥|B v v2 a>b极值点在AC段b→>0「b形成一个力偶M 12-b 极值点x0=1/√3=0.571 3 M max FbV(12-b2) 9√3EIz max 9√3EI21 中点挠度 M 16El a=b极值点在C点 相对误差 Fl Vmy%=2.64% max 48EI

a＞b 极值点在 AC 段 ( ) 9 3 ( ) 2 2 3 max    EI l Fb l b v Z a  b 极值点在 C 点 ( ) 48 3 max   E Z I Fl v b0 Fb 形成一个力偶 M 极值点 x l 3 0.577 l 0   3 2 2 0 l b x   ( ) 9 3 2 max   E Z I Ml v 中点挠度 E Z I l Ml v v 16 ) 2 2 中  （1  相对误差 中 ％ 2.64％ max max    v v v  a F v1 v2 A B C b a A B b F M 讨论：最大挠度

6-3查表叠加法 解 例6-3求梁指定截面 5g(2a) sqa 的挠度和转角。 385E/z24E/z (1)v,O F(2 q F=ga 48EIZ 6El B 8ElZ q(2 B A1 24 EI gEl g(2a) ga 16 El 2 El B A 2 6 El

6-3 查表叠加法 例6-3 求梁指定截面 的挠度和转角。 （1） c A v ,  解： ( ) 24 5 385 5 (2 ) 4 4 1    Z Z C EI qa EI q a v ( ) 48 6 (2 ) 3 4 2    Z Z C EI qa EI F a v ( ) 8 3 4  1  2   Z C C C EI qa v v v ( ) 24 3 ( 2 ) 3 3 1 Z Z A EI qa EI q a    ( ) 16 2 ( 2 ) 3 3 2 Z Z A EI qa EI q a    a a F = q a A B q C q a a A B C a a F A B C ( ) 6 5 3 1 2 Z A A A EI qa      

ec,6A解: (F)+vc(m) m=Fl2 Fl Vc(f) 48E/z B 6c=0c(F)+8c(m) 1/2 Fl 8c(m) 24 EI Fl B(F) 16 El Z /2 Fl B(m) 48 El ()) BA=0(F)+0(m) Fl Fl 648 24 EI

（2） C C A v ,  ,  解： vC  vC (F )  vC (m)  ( ) 48 ( ) 3    Z C EI Fl v F  C   C (F )   C (m )  ( ) 24 ( ) 2 Z C EI Fl   m  (F) (m)  A   A   A F A B C l 2 l 2 ( ) 16 ( ) 2 Z A EI Fl  F  ( ) 48 ( ) 2 Z A EI Fl  m  ( ) 24 ) 48 1 16 1 ( 2 2 Z E Z I Fl EI Fl    F A B C l 2 l 2 m=Fl/2 A B C l 2 l 2 m

讨论:车削加工时,弯曲变形造成的“让刀”使工件 尺寸产生何种误差? (A) (B) C (D) 思考题: 画如何证明弯时梁的轴向位移远小于梁 的挠度? 作业6-1(b),6-3(c,d),6-6, 6-2画在书上

作业 6-1 (b) ，6-3 (c,d) , 6-2 画在书上 思考题： 如何证明弯曲时梁的轴向位移远小于梁 的挠度？ 讨论：车削加工时，弯曲变形造成的“让刀”使工件 尺寸产生何种误差？ (B) (C) (A) (D)