第三章扭转 3-1概述 扭转示例
第三章 扭 转 3 -1 概述
3-2扭转载荷与扭转内力 T=9549 P(KW) (Nm) n(rpm) 扭转内力:扭矩Mn Mn 扭矩符扭矩矢量与截面外法线方向 号规则 致时为正;反之为负
n 3-2 扭转载荷与扭转内力 (Nm) ( ) ( W) 9549 n r pm P k T = 扭转内力 : 扭矩 Mn 扭矩矢量与截面外法线方向 一致时为正;反之为负。 T T T Mn n Mn T 扭矩符 号规则 :
例 已知:PA=40kW,PB=100kW,Pc=60kW, n=955 rpm 求:作图示传动轴的扭矩图。 解:TA=400Nm TB=1000 Nm TC=600 Nm Mni=400 Nm Mn2=-600Nm n 讨论:交换AB轮的位置扭矩 T 将如何变化? Mn 400 -600 600 -1000
例３-1 已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW， n = 955 rpm 求:作图示传动轴的扭矩图。 解: TA = 400 Nm TB =1000 Nm TC = 600 Nm Mn1 = 400 Nm 讨论：交换AB轮的位置扭矩 将如何变化？ 400 - 600 x Mn -1000 - 600 x Mn Mn2 = -600 Nm TA TB TC 1-1 2-2 TA Mn1 n TC n Mn2
3-3圆轴扭转的应力与强度条件 薄壁圆筒扭转应力 n D 横截面的应力分量z,τσ切应力互等定理位移规律 平衡条件 0 ∑ M.=0 0 0 N=odA= Z2兀RtR=Mn o≠0 =[dA=0 n=x=M、/2R2t 横截面保持平面, 0 大小形状不变
3-3 圆轴扭转的应力与强度条件 一 薄壁圆筒扭转应力 横截面的应力分量 r 切应力互等定理 平衡条件 r = 0 = 0 Mx R Mn 2 Rt = M R t n 2 = = 2 T x Mn r r = = 0 = = d A N d A = 0 Mn D T 位移规律 ux = 0 ur = 0 横截面保持平面， 大小形状不变。 u 0
圆轴扭转应力 Mn=T平衡方程 ∑Mn (无穷多阶超静定) 刚性平截面变形规律 横截面保持平面; D 变形几何表面y=qR 直径保持直线 方程内部y(p)=qp r(p)=pp/l 物理方程p(p)=x(D)/G补充方程:c(p)=qG/ 平衡条件:Mn=JM=」x(p)2np2dp OPG (2nF 24=l GI
p n GI M l = 二 圆轴扭转应力 平衡方程 Mni =Mn （无穷多阶超静定） 变形几何 方程 表面 l = R 内部 ()l = 刚性平截面变形规律： 横截面保持平面； 直径保持直线。 () = l 物理方程 () = () G Mn = dMn = d 2 平衡条件： ( )2 补充方程： () = G l n p I l G d l G M = = 3 2 p n I M = T l Mn = T D
极惯性矩 ∫AP2l2dlp=2∫p4b=x D(1-0 32 圆轴扭转的应力分布与强度条件 M M R max 抗扭截面系数 、D 强度 16 条件 max ≤[z
三 圆轴扭转的应力分布与强度条件 p n I M = p n p n W M R I M max = = 强度 条件 = p n W M max ( ) 4 3 1 16 = − D Wp 抗扭截面系数 p = A I dA 2 极惯性矩 = d d 2 = d 3 2 32 4 D = (1 ) 4 −
例32已知汽车传动主轴D=90mm,d=85mm/m=AAm分 IT]=60MPa, T=1.5 kNm 求:(1)校核轴的强度; 2)改用实心轴,确定轴的直径 (3)比较实心轴和空心轴的重量。 解:(1)Mn=T=1.5kNm,a=d/D=0.944 D (1-a)=29x10°m 16 mn=Mn=51MP<以]强度安全 P 元D M (2)W D=53mm P 16 maX 2 (3)们=Q D =32空心优于实 D
例3-2 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] = 60MPa, T = 1.5 kNm 求：（1）校核轴的强度； （2）改用实心轴，确定轴的直径； （3）比较实心轴和空心轴的重量。 解：（1）Mn = T = 1.5 kNm , = d D = 0.944 ( ) 4 6 3 3 1 29 10 m 16 − = − = D Wp max = = 51.7MPa＜ p n W M 强度安全。 = Wp Mn max （2） max 3 16 n p D M W = = D = 53mm （3） 3.2 2 2 2 = − = = = D d D A A Q Q 空心优于实心 T T
3-4圆轴扭转变形与刚度条件 扭转变形与刚度条件 M G,|单位:(弧度) GⅠ:截面抗扭刚度 M180 单位长度扭转角 l G D 0.25~0.5%/m精密轴 刚度 OM,180° ≤@]o5o-10%m一般轴 条件 l G/ 0~3.0°/m粗糙轴 G1>G2思考:组合圆筒扭转 应力如何分布?
3-4 圆轴扭转变形与刚度条件 : p G I 截面抗扭刚度 p n GI M l = 单位：(弧度) p n G I M l = = ( ) 180 m 刚度 条件 = = 180 p n G I M l m m m 1.0 3.0 / 0.50 1.0 / 0.25 0.5 / ～ ～ ～ 精密轴 一般轴 粗糙轴 单位长度扭转角 思考：组合圆筒扭转 应力如何分布？ G1 G2 G1 G2 T 一 扭转变形与刚度条件
例33对汽车传动轴,设:G=80GPa,[@]=2/m (1)校核刚度;(2)改用实心轴;(3)比较重量 解:L, 丌D c4=1.31×100m 32 ①=0.82/m<@]刚度足够 32M.180° D 0.06m 作业:3-1(b) G①兀 3-3 7=Q”/Q=A"A=4.1 3-7 3-8
例3-3 对汽车传动轴，设： G 80GPa, 2 / m = = (1)校核刚度；(2)改用实心轴；(3)比较重量。 解： ( ) 4 6 4 4 1 1.31 10 32 mm D I p − = − = = 0.82 / m＜ 刚度足够 m G M D n 0.06 32 180 4 = = = Q Q = A A= 4.1 作业: 3-1(b), 3-3, 3-7, 3-8
扭转的超定静问题 G P 例3-4两端固定的阶梯圆截面杆,在C处作用一力偶T, 求固定端的约束力偶 2GL T GI B B B 解:解除约束 平衡方程m4+m8=T物理方程: N MnBc-mB Mnac= mA C WUr Cor t wuu 变形协调方程 0=OBC+0=0 解得 B 寸 3
二 扭转的超定静问题 例3-4 两端固定的阶梯圆截面杆，在 C 处作用一力偶 T， 求固定端的约束力偶. 解：解除约束 平衡方程 变形协调方程 = + = 0 BA BC CA 物理方程： P BC BC GI Mn 2a = P CA P CA CA GI Mn a GI Mn a 2 = + mA + mB = T mA T 7 4 = mB T 7 3 = MnBC= - mB MnAC= mA a 2a T C A a B 2GIp GIp T mB C B mA A 解得 p n GI M l =