《材料力学》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 弯曲应力

第5章弯曲应力 5-1概述 平面弯曲梁的横截面具有纵向对称线,所有 对称线组成纵向对称平面,外载荷作用 在纵向对称平面内,梁的轴线在纵向对 称平面内弯曲成一条平面曲线

第5章 弯曲应力 5-1 概述 F F 梁的横截面具有纵向对称线，所有 对称线组成纵向对称平面，外载荷作用 在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对 称平面内弯曲成一条平面曲线。 平面弯曲 F

剪切(横力)弯曲 xQ≠0,M≠0 纯弯曲 Q=0,M≠0 已知内力求应力= 已知合力求分力 超静定问题 合力少,分力多 平衡方程有6个 ∑x=∑Y=∑z=0∑m=∑m=∑m2=0

M Fa F －F Q Q  0 , M  0 剪切（横力）弯曲 Q = 0 , M  0 纯弯曲 已知内力求应力＝ 已知合力求分力 合力少，分力多， 平衡方程有６个。 a a F F x y X =Y =Z = 0 mx =my =mz = 0 超静定问题

5-2弯曲正应力 变形观察 平截面假设: 横截面在弯曲变形后仍然保持平面。 1.横向线仍为直线但相对转动d; 2纵向线由直线变成曲线有些伸长有些缩短; dx 3.纵向线与横向线仍然互相垂直。 中性层既不伸长又不缩短纤维层 M 中性轴中性层与横截面的交线。 y dx=b, 2=0,02=0,02=pde ,b,=(p+y)de b,b2-b,b2 (p+ y)de 6 E=y/P几何关系 ode

变形观察 dx n1 m1 m2 n2 a1 a2 b1 b2 o1 o2 5 -２ 弯曲正应力 1. 横向线仍为直线,但相对转动 d ; 2. 纵向线由直线变成曲线,有些伸长,有些缩短; 平截面假设： 横截面在弯曲变形后仍然保持平面。 中性层 既不伸长又不缩短纤维层。 3. 纵向线与横向线仍然互相垂直。 z y y 中性轴中性层与横截面的交线。 dx = b1 b2 = o1 o2 = 1 2 o o =  d 1 2 b b = ( + y) d        d ( )d d 1 2 1 2 1 2 + − = = − y b b b b b b  = y  几何关系 M d M

物理关系:G=E=Ey中性层(y的起点)在哪里? P1怎样算? 平衡条件找答案 ∑Y=∑Z=0∑m1=0自动满足 M X=0 m.=0 M E O dA=E dA S.=0 中性层yz为形心1M 通过形心主惯性轴PBz1dA=,=yp=0 E M 公式适用条件y0d4=2yd4=1=M y1.比例加载 2纯弯曲与注意事项:M,y与a的 剪切弯曲;正负号之间的关系 得到实验验证3.平面弯曲 通过变形来判断

物理关系：    y = E = E 中性层( y 的起点 )在哪里？ 1 怎样算  ? 平衡条件找答案 Y = Z = 0  = 0 my mx = 0 自动满足 X = 0 中性层 通过形心 yz 为形心 主惯性轴 mz = M I M E y A E y A z A A  =  = =    d d 2 y I M z  = EIZ M =  1 d = d = = 0   y z A A J E z y A E z A     = A  dA =  = A y A E d  = 0 z S E   A A y E d  得到实验验证 公式适用条件 1. 比例加载; 2. 纯弯曲与 剪切弯曲; 3. 平面弯曲。 注意事项：M，y 与  的 正负号之间的关系 dA M x z y 通过变形来判断

例5-1已知图示简支梁a=80mm,F=5kN 截面为b×h=30×60mm2的矩形 求:(1)截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力σm h (2)截面横放时的最大正应力σm 解:M=F=5×103×0.18=900Nm b 竖放时1=b230 横放时 54cm 12 hb360×303 13.5cm y=20 mm: O=y=-333MPa 900×0.15 max max 900×0.03 13.5×10 50 MPa max max 54×10 =100 MPa=2o

解: 5 10 0.18 900 Nm 3 M = Fa =   = 竖放时 4 3 3 54cm 12 30 60 12 =  = = b h I Z 求:(1)截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力 ; (2)截面横放时的最大正应力 .  max   max  = 20mm: = y = −33.3MPa I M y Z  50MPa 54 10 900 0.03 max max 4 =    = y = I M Z  横放时 4 3 3 13.5cm 12 60 30 12 =  = = h b I Z max max 4 13.5 10 900 0.15    = y = I M Z  max =100MPa = 2 例5-1 已知图示简支梁 2 bh = 3060mm 的矩形. a =180mm , F = 5kN 截面为 h b 20 y a a F F

5-3弯曲正应力强度条件 M M 十 max max M max max H去=1z/ynxH=lz/ya wr.N7 max 抗截面系数 M M max max ≤|a弯曲正应力 强度条件

5 -3 弯曲正应力强度条件 + + max = max y I M Z  − − max = max y I M Z  + + = max W I y Z Z − − = max W I y Z Z + − WZ WZ , 抗弯截面系数 弯曲正应力 强度条件 max [ ] + + +  =   WZ M max [ ] − − −  =   WZ M y I M z  =

例5-2已知简支梁的最大弯矩Mm=75kNm,[o]=160MPa 15kN/m 求:按正应力强度条件选择下列 截面的尺寸并比较其重量。 2m 解 圆形W= D 圆环W zDb C M 7.5kNm 32 32 矩形=的工字钢 max 圆形D 7.5×10°×32 78.2mm 2h=2工字钢 160丌 A=48cm242=376m2圆环D=750×32 799mm A3=34cm2A1=14cm2 V160z(1-0.4) A:A:点mhy? 矩形b 75×100×6 160A=413mm 343:2. 工字钢W2=469cm3N910Wz=49cm3

例5-2 已知简支梁的最大弯矩 7.5kNm ,[ ] 160MPa Mmax =  = 求：按正应力强度条件选择下列 截面的尺寸并比较其重量。 解： 圆形 32 3 D WZ  = 6 2 bh 矩形 WZ = 圆环 (1 ) 32 4 3   = − D WZ 工字钢 [ ] max  M WZ = 78.2mm 160 7.5 10 32 3 6 =   =  圆形 D 79.9mm 160 (1 0.5 ) 7.5 10 32 3 4 6 = −   =  圆环 D 41.3mm 160 4 7.5 10 6 3 6 =    矩形 b = 工字钢 3 WZ = 46.9cm №10 3 WZ = 49cm 2 1 A = 48cm 2 2 A = 37.6cm 2 3 A = 34cm 2 4 A =14cm A1 : A2 : A3 : A4 = = 3.43: 2.69: 2.43:1 2m 15kN/m M 7.5kNm = 2 d D = 2 b h 工字钢

M na nax wZ 例53图示悬臂梁F=5KNo]=40MPa,la]=90Ma F Im 求:校核强度 解:Mm=kN m 533cm 100 固定端:yth=40mm,y 80mm max 40 M5×10 100 ×40=37.5MPa max W533×10 M 同理 5MPa 作业:5-2,5-5 5-6,5-7 构件安全倒过来将不安全

例 5-3 图示悬臂梁 = 5kN ,[ ] = 40MPa ,[ ] = 90MPa + − F   20 100 20 100 40 80 c z 解： 5kNm max M = 4 I Z c = 533cm 固定端： max = 40mm , max = 80mm + − y y 40 37.5MPa 533 10 5 10 4 6 max  =   = = + + WZ M  max = = 75MPa − − WZ M 同理  ∴构件安全 倒过来将不安全！ max [ ] + + +  =   WZ M max [ ] − − −  =   WZ M 作业：5-2，5-5 5-6，5-7 求：校核强度 F 1m

5-4弯曲切应力(剪应力)及强度条件 剪切弯曲Q≠0,τ≠0横截面不再保持平面(翘曲) 实心细长梁≤o,工程上一般忽略不计 薄壁或短粗梁τ≈σ,需要考虑切应力及其强度条件 矩形截面梁.Q通过yτ对称于 截面两侧z平行于y d b 假设所有的τ都平行于y M. M b≤h假设同一高度y处τ相等 ∑X=0N2-M1=dQ 2dx M+dM M+dM o da x AdA M+dM dM S*=do=t'bdx N2 dx dM s dr bl b/

b I Z Q S   = 假设所有的  都平行于 y 5-4 弯曲切应力（剪应力）及强度条件 剪切弯曲 Q  0 ,  0 横截面不再保持平面（翘曲） 实心细长梁 工程上一般忽略不计。 薄壁或短粗梁   , 需要考虑切应力及其强度条件 F dx dx Q M Q M+dM b h 矩形截面梁： y N1 N2 dx dQ N − N = dQ 2 1 X = 0  = = =     S I M dA I M N dA Z A Z A 1   +  = S I M dM N Z 2 = dQ =  bdx bIZ S dx dM    = M+dM M dx  − = S I dM N N Z 2 1 Q 通过 y,  对称于 y 截面两侧  平行于 y ＜＜, b h ＜＜ 假设同一高度 y 处  相等

b Q =m25bd占 b h maX y=y y b(h-y)* bh b h 24 y)60h2 y ±h/2:r=0 J bh bh4 3030 b 12 y=0:t=t 26h 2A 例5-4比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切应力。 F 解: M=Fl F max maX 6Fl 3F h max max bh 26h

) 4 ( 2 2 ( ) 2 2 y b h y b h y S A y = − − = =     ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 y h y h y = y + − = +  ) 4 ( 2 d 2 2 2 y b h S b h y =  = −    12 ) 4 ( 2 3 2 2 bh b y b h Q −  = y = h 2: = 0 A Q bh Q y 2 3 2 3 0: =  = max = = 例 5-4 比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大切应力。 解： , max M = F l Q = F max , 6 max 2 bh F l  = bh F 2 3  max = F l h b h 4l max max =   max  ) 4 ( 6 2 2 3 y h bh Q = − b 2 h 2 h y  A Q  y