《材料力学》附录A平面图形的几何性质

附录A平面图形的几何性质 A-1静矩和形心 da ∫Ayd4=yA yJ4ZdA=z AU O 截面对形心轴的静矩为零, yAA静矩为零的坐标轴必为形心轴。 组合图形S==∑S1=∑A1yA=∑A y2=2A1=a =2,/4静矩单位:m3 可正可负可零

截面对形心轴的静矩为零， 静矩为零的坐标轴必为形心轴。 组合图形 z zi i ci A A i S = S =  A y =  静矩单位： 3 m yc =  A i zci A zc =  A i yci A Sz =  A ydA Sy =  A zdA = yc A = zc A C yc c z A S z A S y y c z c = = A -1 静矩和形心 z y dA y z O 可正可负可零 附录A 平面图形的几何性质

A-2惯性矩与惯性积 12=JAy2dA4,=J4zdA>0单位:m4 =Dd=+!=1y1/d 零次矩:面积 次矩:静矩 二次矩:惯性矩 ∫yzdA 截面图形对 惯性积为零的 对称轴的惯性积 坐标轴称为主惯性 为零 轴

A-2 惯性矩与惯性积 I p =  A dA 2  z I I = y + x = I 单位：m 4 I z =  A y dA 2 I y =  A z dA 2 ＞0 y =  A I z y z dA 截面图形对 对称轴的惯性积 为零。 零次矩：面积 一次矩：静矩 二次矩：惯性矩 z y dA y z  y y -z z z 惯性积为零的 坐标轴称为主惯性 轴

例A-1计算圆形和矩形对形心轴的惯性矩。 解:矩形12=y4=2by3p=b dr 圆形1=12=2=64 例A-2计算T形截面的 D 形心和惯性短。 解: S 36+a b S,=ab+ab(b+ yc ab 14 b-yc.2 b-y+a 2 Zc yc ady+ b y bd b ab(5a+6ab+5b2 24

例A-1 计算圆形和矩形对形心轴的惯性矩。 12 d d 3 2 2 2 2 b h I y A b y y h z A h =  =  = − 圆形 2 64 4 z I D I I P y  = = = 例A -2 计算 T 形截面的 形心和惯性矩。 解： ) 2 ( 2 z a ab b b S = ab + + 4 3 2 z b a ab S yc + = = y z b a a b zc c y   − + − − − = + b y a b y b y c y c c c c I y a d y y bd y 2 2 z 24 (5 6 5 ) 2 2 ab a + ab + b = 解： z y b h dy D z y 矩形

A-3平行移轴公式 y da yc +a L=yda 12=J4(y+a)2d LJCdA+2aljcdA+a'A 1=2+a24=1y+b24n=l Jez +aba 例A-2(续)用平行移轴公式计算Ic b 3 30+a =1+1 +abl(b+ ZC 12 2 b2 b 36+a 5a-+6ab+5 sb2 +abl ab 12 2 24

I I c a A 2 z = z + I y I yc b A 2 = + I I abA c c y y = + z z A -3 平行移轴公式 z y dA y z C c y c z a b c z c y I c =  A yc dA 2 z I =  A y dA 2 z y y a c = + y A a y A a A I y a A A c A c A c 2 2 2 z d 2 d ( ) d = + + = + =    例A -2（续） 用平行移轴公式计算 c Iz y z b a a b zc c y 1 2  +  zc = zc zc I I I 3 2 4 3 12 2       + + + − b b a ab ab  +      + = + + − 3 2 4 3 ) 2 ( 12 a b a ab b ba 24 5 6 5 2 2 a ab b ab + + =

例A-3计算图示型钢组合截面的 形心和对形心轴的惯性矩 46 解:查表A1=395cm2A2=21.3cm2 y 395×10+21.3×(20+1.67) =856.8cm320b S y =14.1cm 1=609.4cm4 A1+A2 169cm 1n=1n+l12=6094+169=7784cm4 2500cm 12=61.1cm4 +A1(y2-y)2+l2+A2(0y2-y) 12 =2500+39.5×(141-102+611+21.3×(2167-14.1)2 4996cm

例A -3 计算图示型钢组合截面的 形心和对形心轴的惯性矩 解： 4 1 2 I y = I y + I y = 609.4 +169 = 778.4 c m Sz = A1 y1 + A2 y2 = 14.1c m 1 2 = + = A A S y z c 14b 20b  +  c = c c I I I z z z 2 2 = 2500 + 39.5(14.1−10) + 61.1+ 21.3(21.67 −14.1) 4 = 4996cm 3 = 856.8cm y z 1 z 2 z c y c z = 39.510 + 21.3(20 +1.67) 4 1 I y = 609.4 cm4 2 I y =169 cm 4 1 I z = 2500 cm4 2 I z = 61.1cm 2 1 A = 39.5 cm 2 2 查表 A = 21.3 cm 2 z2 2 2 2 z1 1 1 ( ) ( ) c c = I + A y − y + I + A y − y

例A-4计算图示圆孔截面的形心 和对形心轴的惯性矩 解:用负面积法 C D Z D +S,=0 42 4 64 丌D3/64 16D D AxD2/4-xD2/1664×312 D +642)4D4.1515zD4 ID I D 64 64161024 n=1,+4=2-1n-A2(D/4-=)2 丌D2D2zD4丌D2,D、2 64 41441024163 119xD 9216

例A -4 计算图示圆孔截面的形心 和对形心轴的惯性矩 4 64 ) 2 ( 4 0 3 2 1 2 D D D Sy Sy Sy   = + = −  = − 64 3 12 16 4 16 64 2 2 3 D D D D D A S z z c c − =  − = − − = =    1024 15 16 15 64 ) 2 ( 64 64 4 4 4 4 D D D D I z     = − =  = z y D y1 c z c 2 1 2 2 1 ( 4 ) yc y c y c I = I + Az − I − A D − z 2 4 2 2 4 2 ) 3 ( 64 4 144 1024 16  D  D D  D  D D = +  − − 9216 119 4  D = 解：用负面积法

A-3转轴公式 VI=ycosa-2sin a =z a+ sin a Z1 2 dA=cos a y dA- 2 cosasin a yzdA+sin a = dA +1,=1+=C Ⅰ+1.Ⅰ-1 +cos 2a-lv2 sin 2a =I =0 I +_5cos 2a+i sin 2a 主惯性轴 a+90 主惯性矩 IvI 2sin 2a+ cos 2a=I 2 y二 分别取极 思考:L与Ⅰ,有何关系? 大极小值

A -3 转轴公式 z y dA y z z1 y1 y1 z1  y1 = y cos − zsin z1 = z cos + ysin     − + = = − y zd A z d A I z y d A y d A 2 2 2 2 2 1 1 2cos sin sin cos     cos 2 sin 2 2 2 y z z y z y I I I I I − − + + = cos 2 sin 2 2 2 1 y z z y z y y I I I I I I + − − + =   y z  yz z y z y I I I I I + = − = sin 2 cos 2 2 1 1 I y1 + Iz1 = I y + Iz = C  = I = +90 I 思考：I  与 I yz 有何关系？ 主惯性轴 = 0  yz I 主惯性矩 1 1 , y z I I 分别取极 大极小值

作业:A-3 奇异函数简介 A-4 6 定义: 2A-8 n x-a)y(x≥a) X-al 0 < x-a〉n称为x的n次奇异函数。形式上象幂函数, 实质上间断函数。 dF. x n+1 d d x n+1

奇异函数简介 定义： ( )      −  = − = 0 ( ) ( ) x a x a x a F x x a n n n 称为 x 的 n 次奇异函数。 n x − a F0 x 1 a F1 a x F2 a x −1 = − n n n x a dx dF x 1 1 1 + − +  = n n x a n F x dx 形式上象幂函数， 实质上间断函数。 作业：A - 3 A - 4 A – 6 *A – 8

均质等厚度薄板的重心 dv=tda dQ=rtdA da dM= yyt da dM, =EytdA A YIDa tyL ydA=Fxy 力F2=A1y 作用点 zytdA=F ∫yl4 A

z c z dA y y z O x 均质等厚度薄板的重心 dV = t dA dQx =  t dA dM z = y t dA dMy = z t dA M y t dA z A  =  t y dA  A =  合 力 x c = F y F At x = 作用点 A y dA F M y A x z c  = = A Sz = C yc M z t dA y A  =  x c = F z x y c F M z = A Sy =

材料力学图形元素库 式框 圆柱 固定支座 可动支座 固定端∠ 均布载荷「丁↓↓I{↓ 单元体 字母框OCz <><>≠+

材料力学图形元素库  = N A 公式框 圆柱 固定支座 可动支座 固定端 均布载荷 单元体 字母框   ＜＜ ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ ≯ ≮ 