第4章弯曲内力 4-1概述 CH TTTHITITTH 2P. 山HH 5-4 M M 受力特点:力偶或外力作用垂直于轴线。 变形特点:杆件的轴线由直线变为曲线。 F 把以弯曲为主要变形的杆称为梁。 R B
第 4 章 弯曲内力 4 -1 概述 受力特点：力偶或外力作用垂直于轴线。 变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。 把以弯曲为主要变形的杆称为梁。 M M F RA RB
平面力系: 三类外载荷 平衡方程3个 集中力 约束反力3个 集中力偶 静定梁3种 分布力(均布力) 悬臂梁 简支梁 外伸梁
平面力系： 平衡方程 3 个 约束反力 3 个 静定梁 3 种 悬臂梁 外伸梁 简支梁 三类外载荷 集中力 集中力偶 分布力（均布力）
4-2梁的内力及其符号规则 F Q =F垂直与外法线,平行于 横截面,称为剪力。 M=Fx矢量方向垂直于外法线,FX+,M 称为弯矩。 Q=Q大小相等,方向相反, n M=M产生同样的变形。 O n M R 符号规则:外法线顺针向转90 度为剪力正方向;使横梁 上侧受压为弯矩正方向
4-2 梁的内力及其符号规则 x l F Q = F 垂直与外法线，平行于 横截面，称为剪力。 M = F x 矢量方向垂直于外法线， 称为弯矩。 M M Q Q = = 大小相等，方向相反， 产生同样的变形。 符号规则：外法线顺针向转90 度为剪力正方向；使横梁 上侧受压为弯矩正方向．． x n’ Q’ M’ R m Q M n F x
4-3剪力弯矩方程与剪力弯矩图 剪力方程Q(x),弯矩方程M(x) 描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化 规律的方程。 M(x) n例4-1求下列各梁的剪力弯矩 方程并作Q、M图。 x1 o( 解:作分离体,列平衡方程 、M(x)=-x2 2 gm=gl M max 2 g2/2
4-３ 剪力弯矩方程与剪力弯矩图 描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化 规律的方程。 剪力方程 Q ( x )，弯矩方程M ( x ) 例4-1 求下列各梁的剪力弯矩 方程并作 Q、M 图。 解：作分离体，列平衡方程 Q(x) = −qx 2 2 ( ) x q M x = − Q = ql max 2 2 max ql M = Q(x) M(x) x n q l Q − ql M 2 2 − ql
q 解:支反力RA=RB= R R B 2 M(x RRi n e() Q 2 M=x-x 22 Q l/2 q M q max 2 max 8 -ql/2 M /8
Q(x) M(x) x RA n Q − ql / 2 ql / 2 /8 2 ql M q l RA RB 解：支反力 2 ql RA = RB = qx ql Q = − 2 2 2 2 x q x ql M = − 2 max ql Q = 8 2 max ql M =
解:支反力 Mo F R=R=F/2 n RAx e() Q=RA=F/2, M=Rx=Fx/2 R 2 2 R 1/2FM(x) (0<x</2) Q F/2 0=R-F=-F2 n R O() M=Rx-F(x-1/2) -F2 力区:能够用一个 =F(-x)/2 M Fl/4 方程描述内力 (l2×x<) 变化的区间 M(x”) Ql=F/2 Q(x)=-R8=-F2 n M(x)=RRx=Fx/2 M=Fl/ R o(xr)x B max (0<x<2)
RA R B F l 2 l 2 解：支反力 R R F 2 A B = = Q R F 2 , = A = M = RA x = Fx 2 ( 0 ＜ x ＜ l 2 ) ( l 2 ＜ x ＜ l ) Q R F F 2 = A − = − M R x F ( x l 2 ) = A − − 力区：能够用一个 = F ( l − x ) 2 方程描述内力 变化的区间。 Q ( x ) R F 2 = − B = − M ( x ) R x Fx 2 B = = (0＜x＜l 2 ) Q F 2 − F 2 M Fl 442 max max M Fl Q F== Q (x’) M(x’) n’ x R B Q (x )M(x ) x n RA Q (x ) 2 F M(x ) l x RA n
解:支反力R4 M() n RA-RB=m// ro(r) R 1/21/2RBO=R MERx= x(0<x≤l/2) Q 12 mM(c) 717 O=R M n M=Rx-m m/2 R o() (-1) (l/2≤x<l) g=m/I, M=m/2 max
解：支反力 R R m l A = − B = , lm Q = R A = x lm M R x = A = ( 0 ＜ x ＜ l 2 ) lm Q = R A = M = RA x − m = ( − 1 ) lx m ( l 2 ＜ x ＜ l ) Q m l M m 2 − m 2 , 2 max max Q = m l M = m l 2 l 2 m RA R B Q (x )M(x ) x n RA Q (x ) m M(x ) l 2x RA n
1.载荷对称弯矩图正对称, 剪力图反对称。 2.q=0的区间,Q不变,M M 了”为直线;q为常数(向下) M1 的区间,Q为斜率向下的 直线,M为向下凹的曲线。 3.Q>0,M的斜率为正, Q=0时M取驻值,其左 右区间如果反号,则M为 极值。正变负取极大。 4集中力F作用点剪力图 M个 M 有间断,突跳值等于F, 弯矩图有拐点。 5集中力偶M作用点,弯矩 图有间断,突跳值等于M
QMq 2. q = 0 的区间 , Q 不变 , M 为直线; q 为常数 (向下) 的区间, Q 为斜率向下的 直线, M 为向下凹的曲线。 3. Q ＞0, M 的斜率为正, Q = 0 时 M 取驻值 , 其左 右区间如果反号, 则 M 为 极值。正变负取极大。 4.集中力 F 作用点剪力图 有间断, 突跳值等于 F , 弯矩图有拐点。 5.集中力偶 M 作用点 ,弯矩 图有间断, 突跳值等于 M 。 MQq F QM m QM 1. 载荷对称弯矩图正对称 , 剪力图反对称
4-4M、Q、q之间的微分关系 y glx M) M(x)+dM X O(x)+do L O(x)+do=O(x)=(x)dx ax M(x)+dM=M(x)+@(x)dx+q(x)dn do(x) dM(x) g(x)l d M(x) do(x) ax d d 作业:4-1(a),4-2(c,e,h,D)
4-4 M、Q、q 之间的微分关系 x y x dx dx q(x) M(x) Q(x) M(x)+dM Q(x)+dQ Q(x) + dQ = Q(x) − q(x)dx ( ) d d ( ) q x x Q x = − 2 d ( ) d ( ) ( )d ( )d x M x + M = M x + Q x x + q x x ( ) d d ( ) Q x x M x = ( ) d d ( ) d d ( ) 2 2 q x x Q x x M x = = − 作业：4 -1(a)，4 -2(c, e, h, l )
4-4M、Q、q之间的微分关系 d M(x) do(x) dx2 -g(x) dx 1.q=0的区间,Q不变,M为直线;q为常数(向下)的区间, Q为斜率向下的直线,M为向下凹的曲线。 2.Q>0,M的斜率为正,Q的值越大,M的斜率越大:Q=0 时M取驻值,其左右区间如果反号,则M为极值。 3.集中力F作用点剪力图有间断,突跳值等于F,突跳方向与 载荷方向相同;弯矩图有拐点。 4.集中力偶M作用点,弯矩图有间断,突跳值等于M。 5.载荷正对称,Q反对称,M正对称
4-4 M、Q、q 之间的微分关系 ( ) d d ( ) d d ( ) 2 2 q x x Q x x M x = = − 1 . q = 0 的区间，Q 不变，M为直线； q 为常数 (向下)的 区间， Q 为斜率向下的直线，M为向下凹的曲线。 2. Q＞0，M 的斜率为正，Q的值越大，M的斜率越大：Q = 0 时 M 取驻值，其左右区间如果反号，则M为极值。 3. 集中力 F 作用点剪力图有间断，突跳值等于F ，突跳方向与 载荷方向相同；弯矩图有拐点。 4. 集中力偶 M 作用点，弯矩图有间断，突跳值等于M。 5. 载荷正对称，Q反对称，M正对称