第四章根轨迹法 1948年,W.R. Evans根据反馈控制系统开环传递 函数与其闭环特征方程式之间的内在联系,提出了 种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法 根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数(例如开环增 益K、时间常数T)连续由零变化到无穷大时,特征 方程式的根连续变化而在s平面上形成的运动轨迹, 即为闭环系统特征根的根轨迹 根轨迹法简单、实用,是经典控制理论的基本 分析方法之
第四章 根轨迹法 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递 函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了 一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－ 根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增 益 、时间常数 ）连续由零变化到无穷大时，特征 方程式的根连续变化而在 平面上形成的运动轨迹， 即为闭环系统特征根的根轨迹。 s K T 根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本 分析方法之一
第一节根轨迹图 系统开环传递函数为 R(s) C(s) K s(+p) G(S) s(s+p) 对应的闭环传递函数为 K R(s 5+ps+K 系统特征方程为D(s)=s2+ps+K=0 系统特征根为52=-±12)2-k
第一节 根轨迹图 系统开环传递函数为 ( ) ( ) s s p K G s + = 对应的闭环传递函数为 s ps K K R s C s + + = 2 ( ) ( ) 系统特征方程为 ( ) 0 2 D s = s + ps + K = K p p s = − ± −2 1,2 ) 2( 系统特征根为 2
根轨迹图 可见,当0≤K<p214时,S2为两相异的实根; 当K=p2/4时,S2为两相等实根;当p2/4<K≤时,S2 为一对共轭复根,实郡为j0→j燼邮 遨味着这些复根都集中在根 5<0.707 平面上离虚轴-p/2的垂直 5=0707 线上。 实际中,最常用的可变=422 参数是系统的开环增益K 以K为可变参数而得到的根 轨迹称为常规根轨迹
根轨迹图 可见，当 时， 为两相异的实根； 当 时， 为两相等实根；当 时， 为一对共轭复根，实部为 ， 虚 部 为 ， 0 / 4 2 ≤ K < p 1,2 s / 4 2 K = p 1,2 s p / 4 < K ≤ ∞ 2 1,2 s − p / 2 j0 → j∞,− j∞ 意味着这些复根都集中在根 平面上离虚轴 的垂直 线上。 − p / 2 实际中，最常用的可变 参数是系统的开环增益 ， 以 为可变参数而得到的根 轨迹称为常规根轨迹。 K K
第二节绘制根轨迹的数学依据 开环传递函数的两 R(s E(s 种表达式 kI(x,+1) B(s) H(s G(SH(S) =1 I(r,+1) K(+=) i=1 KL(s K∏ G(SH(S) (S+p;) ∏
第二节 绘制根轨迹的数学依据 开环传递函数的两 种表达式 ∏ ∏ = = + + = n j j m i i T s k s G s H s 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 J s KL s s p K s z G s H s n j j m i i = + + = ∏ ∏ = = ∏ ∏ = = = n j j m i i p K z k 1 1 (n ≥ m)
闭环特征方程的几种表达形式 闭环传递函数有以下两种表示形式: (s)b。S"+bs"+…+bn3S+bn R(s S"+a,s"++as+a C(s) G(s) R(s 1+G(S)H(S) 相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的 表达形式,可根据实际需要选择合适的表达式。 (1)s"+a,s/-+.+as+a=0
闭环特征方程的几种表达形式 闭环传递函数有以下两种表示形式： n n n n m m m m s a s a s a b s b s b s b R s C s + + + + + + + + = − − − − 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) L L 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s R s C s + = 相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的 表达形式，可根据实际需要选择合适的表达式。 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n （1） s a s L a s a
闭环特征方程的几种表达形式 (2)1+G(s)H(s)=0 (3)1+ KL(S S (4)J(s)+K(s) (5)G(s)H(s)=-1=1∠±180°(2k+1 (6)∠G(s)H(s)=±180°(2k+1)G(s)H(s) 需要指出的是,上述六种表达方式其实质是 致的,都是根据特征方程1+G(s)H(s)=0而得到的
闭环特征方程的几种表达形式 （2） 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 0 ( ) ( ) 1 + = J s KL s （3） （4） J ( s ) + KL ( s ) = 0 （5） G ( s ) H ( s ) = − 1 = 1 ∠ ±180 ° ( 2 k + 1 ) （6） ∠ G ( s ) H ( s ) = ±180 ° ( 2 k + 1 ) G ( s ) H ( s ) = 1 需 要 指 出 的 是，上 述 六 种 表达方式其实质是一 致的，都是根据特征方程 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 而得到的
会制根轨迹的数学依据 由于系统闭环特征方程为 +G(s)H(s)=0 X G(SH(s) 根据上式等号两边的幅值和相角应分别相等的 条件,可得 ∠G(s)H(S)=±180(2k+1) (S)H(s)=1 上式就是绘制根轨迹的相角条件和幅值条件, 相角条件是绘制根轨迹的依据一根平面上凡满足相 角条件的点的全体就是根轨迹
绘制根轨迹的数学依据 根据上式等号两边的幅值和相角应分别相等的 条件，可得 由于系统闭环特征方程为 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 或 G ( s ) H ( s ) = − 1 ∠ G ( s ) H ( s ) = ±180 ° ( 2 k + 1 ) G ( s ) H ( s ) = 1 上式就是绘制根轨迹的相角条件 和幅值条件， 相角条件是绘制根轨迹的依据－根平面上凡满足相 角条件的点的全体就是根轨迹
会制根轨迹的数学依据 因此,利用相角条件就可画出根轨迹,即绘制 根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根 轨迹上某一点所对应的K值,即根轨迹上凡满足幅 值条件的点就是相应K值所对应的系统闭环极点, 反之亦然。 相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与K值 无关。因此,将满足相角条件的s值代入幅值条件, 定能求得与之对应的K值,即凡满足相角条件的点 必定同时满足幅值条件。反之,满足幅值条件的点 未必都能满足相角条件
绘制根轨迹的数学依据 因 此，利 用 相 角 条 件 就 可 画出根轨迹，即绘制 根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根 轨迹上某一点所对应的 值，即根轨迹上凡满足幅 值条件的点就是相应 值所对应的系统闭环极点， 反之亦然。 K K 相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与 值 无关。因此，将满足相角条件的 值 代 入 幅 值 条 件， 定能求得与之对应的 值，即凡满足相角条件的点 必定同时满足幅值条件。反之，满足幅值条件的点 未必都能满足相角条件。 K s K
会制根轨迹的数学依据 图示系统由幅值条件可得 R(s 4K C(s) 4K (s+3) s+3 s+3 K 令s=0+j0,上式化为 135° K=1.5 (a+3)2+o2=(4K)2 可见,系统的等增益轨迹是 一簇同心圆。对某个K值,对 应圆周上无穷多个s值都能满 足上式,但只有同时满足相 角条件的s值才是特征根
绘制根轨迹的数学依据 图示系统由幅值条件可得 令 s = σ + j ω ，上式化为 2 2 2 ( σ + 3 ) + ω = ( 4 K ) 1 3 4 = s + K s K 1 3 4 = 即 + 可见，系统的等增益轨迹是 一簇同心圆。对某 个 值，对 应圆周上无穷多个 值 都 能 满 足上式，但只有同时满足相 角条件的 值才是特征根。 K s s
会制根轨迹的数学依据 如图中s=-5点,由于相角∠(s+3)=180°,满足根 轨迹的相角条件,表明该点是根轨迹上的一个点 至于该s值所对应的K值,根据幅值条件得K=0.5 不难看出,图中-3~-∞0实轴段上的s值均满足相角条 件,因此该部分线段是系统的根轨迹。 综上所述,根轨迹就是平面上满足相角条件点 的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础,因此 绘制根轨迹的一般步骤是:先找出平面上满足相角 条件的点,并把它们连成曲线;然后根据需要,用 幅值条件确定相关点对应的K值
绘制根轨迹的数学依据 如图中 点，由于相角 ，满足根 轨迹的相角条件，表明该点是根轨迹上的一个点。 至于该 值所对应的 值，根据幅值条件 得 。 不难看出，图中 实轴段上 的 值 均 满 足 相 角 条 件，因此该部分线段是系统的根轨迹。 K K = 0.5 s = − 5 ∠ ( s + 3 ) = 180 ° s − 3 ~ − ∞ s 综上所述，根轨迹就是 s平面上满足 相 角 条 件 点 的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因此 绘制根轨迹的一般步骤是：先找出 平面上满 足 相 角 条件的点，并把它们连成曲线；然后根据需要，用 幅值条件确定相关点对应的 K 值。 s