高等数学(1)棋拟试思之二 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1,函数y=e'-l的反函数是（. A.y=Inx+I B.y=h(x+1) C.y=hx-I D.y=h(x-1) 2.当x→0时，下列变量中，无穷大量是(). A.2 B.27 C.cotx D.tan x 玉设曲线y=x+x一2在点M处的切线的斜率为3，则点M的坐标为(1. A(1,00 B(01D C(0,o) D.(1,1) 4.若J八x=2++1+C,则f)= 2+x2+x A.h22 B.2+1C.2+1 D.2h2+1 5下列级数中不牧敛的是( k-r品 B. -r方 。-r 二，填空题（每小题2分，共10分》 L.若函数y=C和y=的x的图形美于 对称。 2.如果橘数 x2 x≤1 f(x)= ax-L x>I 在点x=1处可导，则a= nlte')=
高等数学（1）模拟试题之二 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．函数 = e −1 x y 的反函数是（ ）． A． y = ln x +1 B． y = ln( x +1) C． y = ln x −1 D． y = ln( x −1) 2．当 x →0 时，下列变量中，无穷大量是 ( )． A． x 2 B． −x 2 C．cot x D． tan x 3. 设曲线 2 2 y = x + x − 在点 M 处的切线的斜率为 3，则点 M 的坐标为（ ）． A. (1, 0) B. (0, 1) C.(0, 0) D. (1, 1) 4．若 f x x = + x + + C x ( )d 2 1 ，则 f (x) = （ ）． A． x x x + + 2 2 1 ln 2 2 B． 2 +1 x C． 2 1 1 + x+ D．2 ln 2 +1 x 5. 下列级数中不收敛的是（ ）． A． = + − 1 1 ( 1) n n n n B． = − 1 1 ( 1) n n n C． = − 1 3 2 1 ( 1) n n n D． = − 1 2 1 ( 1) n n n 二、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1．若函数 x y = e 和 y = ln x 的图形关于 对称． 2．如果函数 − = 1, 1 , 1 ( ) 2 ax x x x f x 在点 x =1 处可导，则 a = ． 3． = + →+ x x x ln(1 e ) lim ．
4.设/为备通数，且在区饲5aaa>0)上可积，则Cf出。 5.微分方程0少？+yY+少=0的阶是 三、计算题（每小题6分，共54分） m ( sm2x+cos刘 1.0Vx+1- 2.cosx 3.设y=油(3+5)，求山 d山 4.已知e'-e7=2,求dw. 6.L('+re+dr 了n+x1 7,求帮级数n+1 的收敛半径， 2 8。求微分方程+y=面*满足初始条件2厅的特解 9.求微分方程广-9y=3x的通解 四、应用题（本题12分》 从直径为的圆形树干中切出横断面为矩彩的梁，此矩形的底等于b,高为h,若梁的 强度与加成正比，问梁的横断面尺寸如转，其强度最大？ 五、证明题（本题4分） 0<x< 试证：当2时，有如x<x成立
4．设 f (x) 为奇函数，且在区间 [−a, a] (a 0) 上可积，则 − a a f (x)dx = ． 5．微分方程 ( ) ( ) 0 2 2 4 y + y y + xy = 的阶是 ． 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1． cos ) 1 1 sin 2 lim ( 0 x x x x + + − → 2． 2 0 e cos 1 lim x x x x x − − → 3．设 sin (3 5) 2 y = x + ，求 dy ． 4．已知 2 xe ye x y y − = − ，求 d 0 d x= x y ． 5． x x x d ln(1 ) + 6． + + 1 1 3 2 ( e )d 2 - x x x x x 7．求幂级数 = + + + 1 1 1 ln( 1) n n x n n 的收敛半径． 8．求微分方程 xy + y = sin x 满足初始条件 2 ) 2 y( = 的特解． 9．求微分方程 2 y − 9y = 3x 的通解． 四、应用题（本题 12 分） 从直径为 d 的圆形树干中切出横断面为矩形的梁，此矩形的底等于 b ，高为 h ，若梁的 强度与 2 bh 成正比，问梁的横断面尺寸如何，其强度最大？ 五、证明题（本题 4 分） 试证：当 2 0 x 时，有 sin x x 成立．
高等数学(1)模拟试题参考答案 单项选择圈（每小题3分，共15分） 1.B2C3.A4.D5A 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.直线y=x22314.05,2 三、极限与微分计算愿（每小题6分，共12分） .mx+-+es)四 (x+1+1)sn 2x +cos0 (√x+1-1Vx+1+) (3分) lim (x+1+1)lim sin 2x 0X+1 =2×2+1=5 (6分) m cs-l-mcosx-m-」 2.解： 0 2x (3分) ,2咖 2 =0 (6分) 3.解：因为广=2sim3x+5)e0(3x+5)×3 =3sm2(3x+5) 所以d少-3sn2(3x+5)dr 4.解当x=0时，由己知e’-e”=x之，得y=0 因为在方程等号两边分别对x求导，得 e"+xe'y-(1-yhe"y'=2x (3分) 将x=0,y=0代入，得 e°+0ey-1-0ey=0 =1 dy 所以d血 (6分) 5.解：设1=G,则x=户，d血=2抛，于是 (2 分)
高等数学（1）模拟试题参考答案 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．B 2. C 3. A 4. D 5. A 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 直线 y = x 2. 2 3. 1 4. 0 5．2 三、极限与微分计算题（每小题 6 分，共 12 分） 1．解： cos ) 1 1 sin 2 lim ( 0 x x x x + + − → = cos0 ( 1 1)( 1 1) ( 1 1)sin 2 lim 0 + + − + + + + → x x x x x （3 分） = x x x x x sin 2 lim ( 1 1)lim →0 →0 + + +1 =2 2 + 1 = 5 （6 分） 2．解： 2 0 e cos 1 lim x x x x x − − → = x x x x x 2 e (cos sin ) 1 lim 0 − − → （3 分） = 2 2e sin lim 0 x x x − → = 0 （6 分） 3．解：因为 y = 2sin( 3x + 5) cos(3x + 5)3 = 3sin 2(3x + 5) 所以 dy = 3sin 2(3x + 5)dx . 4．解 当 x = 0 时，由已知 2 xe ye x y y − = − ，得 y = 0 . 因为在方程等号两边分别对 x 求导，得 x y y y x y y y e + e − (1− )e = 2 − （3 分） 将 x = 0, y = 0 代入，得 e 0 e (1 0)e 0 0 0 0 + y − − y = 所以 1 d d 0 = x= x y （6 分） 5．解：设 t = x ，则 2 x = t ，dx = 2tdt ，于是 （2 分）
1r-器 .21-f4 2(1+)-4r+4arctan/+C (5分) 21+x)-4+4arctan +C (6分) 6解+e+rd3+e应r (2 分) (6分) hn+2) m m+2 m hn+1) 7.解：因为 a。 n+1 (2 分) m Nn+2).n+1 .+n+1)n+2 (4分) 所以原幂级数的收敛半径为：1 (6 分) 8.解：因为原方程即 x,且 P(x)=I Q(x)= y=ex。+ 用公式 (2分) d+C]
x x x d ln(1 ) + = t t t t 2 d ln(1 ) 2 + = d ] 1 2 2[ ln(1 ) 2 2 2 + + − t t t t t = + + − + − t t t t t d 1 1 1 2 ln(1 ) 4 2 2 2 = 2t ln(1+ t ) − 4t + 4arctan t +C 2 （5 分） = 2 x ln(1+ x) − 4 x + 4arctan x + C （6 分） 6．解 + + 1 1 3 2 ( e )d 2 - x x x x x = + 1 1 3 ( e )d 2 - x x x x + 1 1 2 d - x x （2 分） = 0+ 1 0 2 2 x dx = 3 2 （6 分） 7．解：因为 n n n a a 1 lim + → = 1 ln( 1) 2 ln( 2) lim + + + + → n n n n n （2 分） = 1 2 1 ln( 1) ln( 2) lim = + + + + → n n n n n （4 分） 所以原幂级数的收敛半径为：1 （6 分） 8．解： 因为原方程即 x x y x y 1 sin + = ，且 x P x 1 ( ) = ， x x Q x sin ( ) = 用公式 e d ] sin e [ d 1 d 1 x C x x y x x x x + = − （2 分） e d ] sin e [ ln ln x C x x x x = + −
c0+C] (4分) )-2 ,得C= y=-[1-cosx] 所以原方程的特解为 (6分) 9。解：原方程对应的齐次方程的特征方程为及一9=0， 特征根为名=-3，名=3，故齐次方程的通解为 y=Ce-+Cze 其中C,C为任意常数。 (3分) 设原方程的一个特解为少=杠+卧+C,代入原方程得 2A-%Ar2+m+C)=3x2 [-9A=3 B=0 1 比较系数得 24-9C=0,解得43，B=0, A=- 27 由此得原方程的通解为 (8分) 四、应用题（本恩12分） 解，因为2+-d产.即h=d护-2 设函数f)=M=M-b),则 "(b=d2-3 (6分) (名去) 八6)=-66=-6 d<0 d 又由 方4<0，有雨数在4=万经取得根大.电是最大 值
[ cos ] 1 x C x = − + （4 分） 由 2 ) 2 y( = ， 得 C =1 所以原方程的特解为 [1 cos ] 1 x x y = − （6 分） 9．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 9 0 2 − = ， 特征根为 1 = −3，2 = 3 ，故齐次方程的通解为 x x y C C 3 2 3 1 = e + e − 其中 1 2 C , C 为任意常数． （3 分） 设原方程的一个特解为 y = Ax + Bx +C 2 ，代入原方程得 2 2 2A− 9(Ax + Bx +C) = 3x 比较系数得 − = = − = 2 9 0 0 9 3 A C B A ，解得 3 1 A = − ， B = 0， 27 2 C = − ． 由此得原方程的通解为 x x y x C C 3 2 3 1 2 e e 27 2 3 1 = − − + + − （6 分） 四、应用题（本题 12 分） 解： 因为 2 2 2 b + h = d ，即 2 2 2 h = d − b 设函数 ( ) ( ) 2 2 2 f b = bh = b d − b ，则 2 2 f (b) = d − 3b （6 分） 令 f (b) = 0 ，得 3 1 d b = ， 3 2 d b = − （舍去） 又由 0 3 6 f (b1 ) = −6b1 = − d ，得函数 f (b) 在 3 1 d b = 处取得极大值，也是最大 值
d 所以当横梁的底边长为5，高为V3时，其常度最大。 (12分) 五、证明题（本题4分） 证： 设(x)=sx-x 因为x)=csx-1 0<x< 当 2时，有0<c0sx<1,得x)=c0sX-1<0,即f单调减少.有 snx-x=f(x)<f(0)=0 即 smX←X 0<xcI 所以，当2时，snx<x。 (4分)
所以当横梁的底边长为 3 d ，高为 d 3 2 时，其强度最大． （12 分） 五、证明题 （本题 4 分） 证： 设 f (x) = sin x − x 因为 f (x) = cos x −1 当 2 0 x 时，有 0 cos x 1 ，得 f (x) = cos x −1 0 ，即 f (x) 单调减少. 有 sin x − x = f (x) f (0) = 0 即 sin x x 所以，当 2 0 x 时， sin x x . （4 分）