第三章平均教、标准差与变异系数 第二章的次数分布表和次数分布图,可以形象 直观地表示出资料的两个特征集中性和离散 性。为了更简单、精确地描述资料的特征,本章 介绍三个统计量:平均数、标准差和变异系数。 平均数反应资料的集中性,标准差和变异系数 反应资料的离散性。 第一节平均数 第二节标准差 第三节变异系数
1 第三章 平均数、标准差与变异系数 • 第二章的次数分布表和次数分布图，可以形象、 直观地表示出资料的两个特征——集中性和离散 性。为了更简单、精确地描述资料的特征，本章 介绍三个统计量：平均数、标准差和变异系数。 • 平均数反应资料的集中性，标准差和变异系数 反应资料的离散性。 • 第一节 平均数 • 第二节 标准差 • 第三节 变异系数
第一节平均数(Mean) 平均数的意义:平均数用来描述资料的集中性 即指出资料中数据集中较多的中心位置。 平均数的作用:平均数是资料的代表数 e常用于同类性质资料间的相互比较 平均数的种类:其中应用最为普遍的是算术平 均数,此外还有几何平均数、中数、众数和调和 平均数
2 第一节 平均数(Mean) • 平均数的意义： 平均数用来描述资料的集中性， 即指出资料中数据集中较多的中心位置。 • 平均数的作用：平均数是资料的代表数； • 常用于同类性质资料间的相互比较。 • 平均数的种类：其中应用最为普遍的是算术平 均数，此外还有几何平均数、中数、众数和调和 平均数
算术平均数 (Arithmetic mean) (一)算术平均数的定义 资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得 的商,称为算术平均数。在统计学中,简称为平 均数或均数。用符号示。 (二)计算方法 1、直接法对样本含量较小,未分组的资料 适用
3 一、算术平均数 (Arithmetic mean) • （一）算术平均数的定义 • 资料中各观察值的总和除以观察值的个数所得 的商，称为算术平均数。在统计学中，简称为平 均数或均数。用符号 表示。 • （二）计算方法 • 1、直接法 对样本含量较小，未分组的资料 适用。 x
xX1+X+··+x ·其中,∑(Sgma)为总和符号 示从第 一个观察值x累加到第n个观察值xn,若在意 义上已明确时,简记为
4 • 其中，（Sigma）为总和符号， 表示从第 一个观察值 x1 累加到第n个观察值 xn ，若在意 义上已明确时，简记为 。 n x n x x x x n i i n = = + + + = 1 2 1 x = n i xi 1
关于恿和符号的几个性质 0常数的总和等于该常数的n倍,即 其中C为常数;注意:在后面一些章节 经常会遇到C代表一个为常量的式子 ·②代数和的总和等于总和的代数和,即 ∑(x+y-=)=∑x+∑y-∑ xC e总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之 外,即 ax (a为常数)
5 关于总和符号的几个性质 • 常数的总和等于该常数的n倍，即 • 代数和的总和等于总和的代数和，即 • • 总和符号内的常数因子可以提取到总和符号之 外，即C nC n i = =1 其中C为常数；注意：在后面一些章节 经常会遇到C代表一个为常量的式子 i + i − i = i + i − i (x y z ) x y z = = = = = n j k i i j k i n j xi j x 1 1 1 1 axi = axi （a为常数）
2、加权法 适用于已分组的资料 f11+.f2X2+…+fAxk f1+.f2+……+fA ∑fx x各组组中值 k f ∑f各组次数 k—分组数。 各组的次数后是权衡各组中值x在资料中所占 比重大小的数量,因此f被称为是x的“权” ( right),加权法也由此而得名
6 2、加权法 • 适用于已分组的资料 k k k f f f f x f x f x x + + + + + + = 1 2 1 1 2 2 = = = = f f x f f x k i i k i i i 1 1 各组的次数 fi 是权衡各组中值 xi 在资料中所占 比重大小的数量，因此f被称为是x的“权” （right）,加权法也由此而得名。 xi —各组组中值； fi —各组次数； k —分组数
(三)平均数的基本性质 1、样本各个观察值与平均数之差的和为零,即 离均差之和为零 ∑(x-x)=0简记为∑(x-x)=0 2、样本各观察值与平均数之差的平方和为最小 即离均差的平方和最小 ∑(x1-x)2<∑( (常数a≠x) 简记为∑(x-x)2<∑(x-a)2
7 (三)平均数的基本性质 • 1、样本各个观察值与平均数之差的和为零，即 离均差之和为零； • 2、样本各观察值与平均数之差的平方和为最小， 即离均差的平方和最小。 ( ) 0, 0 1 − = − = = x x 简记为 （x x） n i i − − − − = = 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a a x x x x a n i i n i i 简记为：（ ） 常数
3、统计学已证明,样本平均数是总体平均 数n无偏估计值。 对总体而言,用7表示平均数 对于有限总体 N有限总体所包 = 含的个体数目。 无偏估计:当一个统计量的数学期望值等于等 于相应总体参数时,称该统计量为其总体参数的 无偏估计
8 3、统计学已证明，样本平均数 是总体平均 • 数 的无偏估计值。 • 对总体而言，用 表示平均数。 • 对于有限总体 • 无偏估计：当一个统计量的数学期望值等于等 于相应总体参数时，称该统计量为其总体参数的 无偏估计。 N x N i i = =1 N——有限总体所包 含的个体数目。 x
几何平均数 (Geometric mean (-)定义指n个观察值乘积的n次方根。即 G=n 2 1~2 (二)运用 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资 料,算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体 效价(1:10,1:100,1:1000,1: 10000)、增长率或生长率、动态发展速度等 ·(三)计算
9 二、几何平均数 (Geometric mean) • （一）定义 指n个观察值乘积的n次方根。即 • （二）适用条件 • 主要应用于数据呈倍数关系或不对称分布的资 料，算术平均数对这类资料的代表性差。如抗体 效价（1：10，1：100，1：1000，1： 10000）、增长率或生长率、动态发展速度等。 • （三）计算 n n n n G x x x x x x 1 .... ( .... ) = 1 2 = 1 2
1、应用公式计算(实际应用时常取对数) G=v X1xX···x G=-(gx+1gx2+…+gxn) gx G=∑x
10 1、应用公式计算（实际应用时常取对数） n n G x x x = 1 2 ( ) n x x x n G lg lg lg 1 lg = 1 + 2 ++ = = n i i x n 1 lg 1 = = − n i i x n G 1 1 lg 1 lg